Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/p/r/i/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="fr" lang="fr" dir="ltr">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<!-- headlinks removed -->
<link rel="shortcut icon" href="../../../../misc/favicon.ico"/>
<title>Principe variationnel - Wikipédia</title>
<style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../skins/offline/main.css"; /*]]>*/</style>
<link rel="stylesheet" type="text/css" media="print" href="../../../../skins/common/commonPrint.css" />
<!--[if lt IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE50Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE55Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 6]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE60Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE]><script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/IEFixes.js"></script>
<meta http-equiv="imagetoolbar" content="no" /><![endif]-->
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/wikibits.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/md5.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/utf8.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/lookup.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../raw/gen.js"></script> <style type="text/css">/*<![CDATA[*/
@import "../../../../raw/MediaWiki%7ECommon.css";
@import "../../../../raw/MediaWiki%7EMonobook.css";
@import "../../../../raw/gen.css";
/*]]>*/</style> </head>
<body
class="ns-0">
<div id="globalWrapper">
<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Principe variationnel</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="plainlinks bandeau-niveau-modere bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="width:45px; text-align:center"><a href="../../../../articles/t/e/x/Image%7ETeX_logo.svg_ae09.html" class="image" title="TeX logo.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/6/68/TeX_logo.svg/45px-TeX_logo.svg.png" width="45" height="26" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Les formules mathématiques de cet article doivent être réécrites en <a href="../../../../articles/t/e/x/TeX_cfe6.html" title="TeX">TeX</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Pour améliorer cet article, les formules doivent être réécrites proprement en <a href="../../../../articles/t/e/x/TeX_cfe6.html" title="TeX">TeX</a>, à l'intérieur de balises <math>…</math> (<b><a href="../../../../articles/p/r/i/Discuter%7EPrincipe_variationnel_c2ee.html#TeX" title="Discuter:Principe variationnel">en discuter</a></b>). Vous pouvez y contribuer directement ou demander de l’aide sur l’<a href="../../../../articles/a/t/e/Wikip%C3%A9dia%7EAtelier_TeX_4249.html" title="Wikipédia:Atelier TeX">Atelier TeX</a> (voir à ce sujet l’<a href="../../../../articles/f/o/r/Aide%7EFormules_TeX_e6a2.html" title="Aide:Formules TeX">aide pour les formules TeX</a>).</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>Un <b>principe variationnel</b> est un <a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_physique.html" title="Principe physique">principe physique</a> issu d'un problème exprimé sous une forme <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_variations.html" title="Calcul des variations">variationnelle</a>. Dans de nombreux cas, la résolution des équations de la <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/M%C3%A9canique.html" title="Mécanique">mécanique</a> peut se ramener à la recherche de <a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/G%C3%A9od%C3%A9sique.html" title="Géodésique">géodésiques</a> dans un <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_%28notion%29.html" title="Espace (notion)">espace</a> général approprié. D'une part, nous savons que ces géodésiques sont les extrémales d'une certaine <a href="../../../../articles/i/n/t/Int%C3%A9grale.html" class="mw-redirect" title="Intégrale">intégrale</a> représentant la <a href="../../../../articles/l/o/n/Longueur_d%27un_arc.html" title="Longueur d'un arc">longueur de l'arc</a> joignant les points fixes dans cet espace. Par conséquent, nous pouvons déjà prévoir qu'au moins dans certains cas, les problèmes de mécanique pourront s'exprimer comme des <b>problèmes aux <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_variations.html" title="Calcul des variations">variations</a></b>, autrement dit, en postulant que <i>la variation première d'une certaine intégrale est nulle</i>. On dira qu'on a réduit les problèmes à leur <b>forme variationnelle</b>. D'autre part, les <a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_d%27Euler-Lagrange_2b24.html" title="Équation d'Euler-Lagrange">équations d'Euler</a> établies en <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a> pour un problème aux variations sont semblables aux <a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_d%27Euler-Lagrange_2b24.html" title="Équation d'Euler-Lagrange">équations de Lagrange</a> établies en <a href="../../../../articles/p/h/y/Physique.html" title="Physique">physique</a> pour résoudre des problèmes de mécanique ; cette similitude suggère bien évidemment aussi la possibilité de cette réduction à une forme variationnelle.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Principe_de_Fermat"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Principe de Fermat</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Fonction_de_Hamilton_ou_Hamiltonien"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Fonction de Hamilton ou Hamiltonien</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Principe_de_Hamilton_ou_principe_de_moindre_action_de_Lagrange"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Principe de Hamilton ou principe de moindre action de Lagrange</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Principe_de_Maupertuis_ou_principe_de_moindre_action"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Principe de Maupertuis ou principe de moindre action</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Principe_de_Gauss_ou_principe_de_moindre_courbure"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Principe de Gauss ou principe de moindre courbure</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Comparaison_entre_m.C3.A9canique_rationnelle_et_optique_g.C3.A9om.C3.A9trique"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#.C3.89quations_d.27Hamilton"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Équations d'Hamilton</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#.C3.89quation_d.27Hamilton-Jacobi"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Équation d'Hamilton-Jacobi</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Syst.C3.A8mes_conservatifs"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Systèmes conservatifs</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_Liouville"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Théorème de Liouville</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Passage_de_la_m.C3.A9canique_classique_.C3.A0_la_m.C3.A9canique_ondulatoire"><span class="tocnumber">11</span> <span class="toctext">Passage de la mécanique classique à la mécanique ondulatoire</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Notes"><span class="tocnumber">12</span> <span class="toctext">Notes</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">13</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Bibliographie"><span class="tocnumber">13.1</span> <span class="toctext">Bibliographie</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Articles_connexes"><span class="tocnumber">13.2</span> <span class="toctext">Articles connexes</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Liens_externes"><span class="tocnumber">13.3</span> <span class="toctext">Liens externes</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
<script type="text/javascript">
//<![CDATA[
if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "afficher"; var tocHideText = "masquer"; showTocToggle(); }
//]]>
</script>
<p><a name="Principe_de_Fermat" id="Principe_de_Fermat"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Principe de Fermat">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Principe de Fermat</span></h2>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_de_Fermat_6353.html" title="Principe de Fermat">principe de Fermat</a>.</span></span></div>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:152px;"><a href="../../../../articles/p/i/e/Image%7EPierre_de_Fermat.png_7c7d.html" class="image" title="Pierre de Fermat (1601–1665)"><img alt="Pierre de Fermat (1601–1665)" src="../../../../images/shared/thumb/4/4b/Pierre_de_Fermat.png/150px-Pierre_de_Fermat.png" width="150" height="266" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/p/i/e/Image%7EPierre_de_Fermat.png_7c7d.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
<a href="../../../../articles/p/i/e/Pierre_de_Fermat_600b.html" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> (<a href="../../../../articles/1/6/0/1601.html" title="1601">1601</a>–<a href="../../../../articles/1/6/6/1665.html" title="1665">1665</a>)</div>
</div>
</div>
<p>Bien qu'on puisse suivre la trace des principes variationnels d'une façon quasi continue de l'Antiquité à nos jours, il faut attendre plus d'un millénaire et demi — de <a href="../../../../articles/h/%C3%A9/r/H%C3%A9ron_d%27Alexandrie_e250.html" title="Héron d'Alexandrie">Héron d'Alexandrie</a> (vers la fin du I<sup class="exposant">er</sup> siècle ou le début du II<sup class="exposant">e</sup> siècle) au XVII<sup class="exposant">e</sup> siècle — jusqu'à <a href="../../../../articles/p/i/e/Pierre_de_Fermat_600b.html" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> (<a href="../../../../articles/1/6/0/1601.html" title="1601">1601</a>–<a href="../../../../articles/1/6/6/1665.html" title="1665">1665</a>) pour en retrouver une application pratique. Le <b><a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_de_Fermat_6353.html" title="Principe de Fermat">principe de Fermat</a></b>, applicable aux rayons lumineux, peut s'écrire comme suit en tenant compte des perfectionnements intervenus depuis l'époque de Fermat lui-même :</p>
<p><b>[Eqn.001]</b> δ ∫<sub>P→Q</sub> v<sup>–1</sup> ds,</p>
<p>où P et Q sont deux points fixes, v désigne la <a href="../../../../articles/v/i/t/Vitesse_de_phase.html" class="mw-redirect" title="Vitesse de phase">vitesse de phase</a> de la lumière et ds est l'élément d'arc du trajet emprunté par le <a href="../../../../articles/r/a/y/Rayon_lumineux.html" title="Rayon lumineux">rayon lumineux</a>. La vitesse de phase, autrement dit la vitesse de propagation, de la lumière peut varier avec le point considéré, mais non avec la direction du rayon en ce point.<sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> Cette équation exprime que la <i>variation</i> (indiquée par la lettre grecque δ) de l'<a href="../../../../articles/i/n/t/Int%C3%A9grale_curviligne.html" title="Intégrale curviligne">intégrale curviligne</a> ∫<sub>P→Q</sub> v<sup>–1</sup> ds est nulle, c'est-à-dire que la différence entre cette intégrale évaluée le long de la trajectoire réelle et l'intégrale évaluée le long de n'importe quelle trajectoire virtuelle <i>infiniment voisine</i> est un infiniment petit du second ordre. Il faut noter que <i>ceci ne signifie pas que l'intégrale est minimum</i>, mais seulement qu'elle est <b>extrémum</b>. En effet, c'est seulement dans le cas où le trajet PQ est suffisamment petit, de manière à ce que des rayons « voisins » ne puissent recouper le rayon réel, que l'on peut démontrer qu'il s'agit effectivement d'un minimum.</p>
<p>Seulement la propriété que la première variation est nulle peut être étendue à un trajet PQ arbitraire, d'où le nom moderne de « principe variationnel » plutôt que celui, ancien, de « principe de minimum ». Et il faut bien reconnaître que cette modification de terme et d'interprétation fait perdre au principe de Fermat, sinon de son utilité, au moins un peu de la valeur esthétique et philosophique qui a indéniablement joué un rôle dans son élaboration.</p>
<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width:452px;"><a href="../../../../articles/p/r/i/Image%7EPrincipeFermat.png_6337.html" class="image" title="PrincipeFermat.png"><img alt="" src="../../../../images/local/thumb/f/fb/PrincipeFermat.png/450px-PrincipeFermat.png" width="450" height="117" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/p/r/i/Image%7EPrincipeFermat.png_6337.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
</div>
</div>
</div>
<p>L'étude de certains systèmes optiques simples permet d'illustrer le problème. En effet, représentons le milieu hétérogène étudié par un de ces systèmes optiques. Dans cet exemple, l'<a href="../../../../articles/i/m/a/Image.html" title="Image">image</a> du point P, c'est-à-dire le lieu des points de rencontre de tous les rayons issus de P sous des angles légèrement différents, est constituée de deux <a href="../../../../articles/f/o/c/Focale.html" class="mw-redirect" title="Focale">focales</a> EF et GH dont la distance caractérise l'<a href="../../../../articles/a/s/t/Astigmatisme.html" title="Astigmatisme">astigmatisme</a> du système. On peut alors montrer que l'intégrale curviligne ∫<sub>P→Q</sub> v<sup>–1</sup> ds est minimale si le second point considéré, à savoir Q, tombe avant les deux focales, qu'elle est maximale si Q tombe après les deux focales, et qu'elle satisfait à une condition mixte (elle n'est ni un minimum, ni un maximum) si Q tombe entre les deux focales.</p>
<p><a name="Fonction_de_Hamilton_ou_Hamiltonien" id="Fonction_de_Hamilton_ou_Hamiltonien"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Fonction de Hamilton ou Hamiltonien">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Fonction de Hamilton ou Hamiltonien</span></h2>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/M%C3%A9canique_hamiltonienne.html" title="Mécanique hamiltonienne">mécanique hamiltonienne</a> .</span></span></div>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:152px;"><a href="../../../../articles/w/i/l/Image%7EWilliamRowanHamilton.jpg_7a11.html" class="image" title="William Rowan Hamilton (1805–1865)"><img alt="William Rowan Hamilton (1805–1865)" src="../../../../images/local/thumb/7/74/WilliamRowanHamilton.jpg/150px-WilliamRowanHamilton.jpg" width="150" height="183" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/w/i/l/Image%7EWilliamRowanHamilton.jpg_7a11.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
<a href="../../../../articles/w/i/l/William_Rowan_Hamilton_5d5e.html" title="William Rowan Hamilton">William Rowan Hamilton</a> (<a href="../../../../articles/1/8/0/1805.html" title="1805">1805</a>–<a href="../../../../articles/1/8/6/1865.html" title="1865">1865</a>)</div>
</div>
</div>
<p>Le <a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_de_Fermat_6353.html" title="Principe de Fermat">principe de Fermat</a> est un principe variationnel particulièrement utile à l'<a href="../../../../articles/o/p/t/Optique_g%C3%A9om%C3%A9trique.html" title="Optique géométrique">optique géométrique</a>. Pour résoudre des problèmes de mécanique, on utilise des principes variationnels faisant intervenir la fonction de <a href="../../../../articles/w/i/l/William_Rowan_Hamilton_5d5e.html" title="William Rowan Hamilton">Hamilton</a>, que l'on désigne le plus souvent sous le terme de « <a href="../../../../articles/h/a/m/Hamiltonien.html" title="Hamiltonien">Hamiltonien</a> ». Pour arriver à comprendre le sens de cette fonction, considérons un problème à <i>liaisons holonomes</i> mais pouvant dépendre du temps t et qui admet le <a href="../../../../articles/l/a/g/Lagrangien.html" title="Lagrangien">Lagrangien</a></p>
<p><b>[Eqn.002]</b> L(q<sup>k</sup>, q'<sup>k</sup>, t) = T(q<sup>k</sup>, q'<sup>k</sup>, t) – V(q<sup>k</sup>, t), avec<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1" title=""><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> q'<sup>k</sup> = dq<sup>k</sup>/dt,</p>
<p>et étudions la valeur que prend l' <b>intégrale d'action</b></p>
<p><b>[Eqn.003]</b> W = ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> L(q<sup>k</sup>, q'<sup>k</sup>, t) dt</p>
<p>au cours de l'évolution du système mécanique considéré.</p>
<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width:452px;"><a href="../../../../articles/f/c/t/Image%7EFctHamilton.png_3104.html" class="image" title="FctHamilton.png"><img alt="" src="../../../../images/local/thumb/5/5c/FctHamilton.png/450px-FctHamilton.png" width="450" height="232" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/f/c/t/Image%7EFctHamilton.png_3104.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
</div>
</div>
</div>
<p>Supposons qu'au cours du <i>mouvement naturel</i> du système, le point représentatif dans l'espace de configuration parte d'une position initiale Q<sub>o</sub> à l'instant t<sub>o</sub> pour aboutir au point Q<sub>1</sub> à l'instant t<sub>1</sub>. Cette trajectoire naturelle est représentée schématiquement sur la figure ci-contre par la courbe en rouge. Considérons un mouvement arbitraire partant de P<sub>o</sub> voisin de Q<sub>o</sub> à l'instant t<sub>o</sub> + δt<sub>o</sub> pour aboutir au point P<sub>1</sub> voisin de Q<sub>1</sub> à l'instant t<sub>1</sub> + δt<sub>1</sub>.</p>
<p>Nous désirons comparer les valeurs de W pour ces deux mouvements. Pour ce faire, nous calculons la <i>variation</i> de W, c'est-à-dire</p>
<p><b>[Eqn.004]</b> δW = δ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> L dt = ∫<sub>(P<span><sub>o</sub></span>, t<span><sub>o</sub></span>+δt<span><sub>o</sub></span>)→(P<span><sub>1</sub></span>, t<span><sub>1</sub></span>+δt<span><sub>1</sub></span>)</sub> L dt – ∫<sub>(Q<span><sub>o</sub></span>, t<span><sub>o</sub></span>)→(Q<span><sub>1</sub></span>, t<span><sub>1</sub></span>)</sub> L dt.</p>
<p>Au point M de coordonnées (q<sup>1</sup>,q²,...,q<sup>f</sup>), atteint sur la trajectoire naturelle à l'instant t, nous associerons sur la trajectoire virtuelle arbitraire le point M' de coordonnées (q<sup>1</sup>+δ'q<sup>1</sup>,q²+δ'q²,...,q<sup>f</sup>+δ'q<sup>f</sup>) atteint également <i>au même instant</i> t. Soit Q'<sub>o</sub> le point de la trajectoire variée, c'est–à-dire infiniment voisine de la trajectoire naturelle, atteint à l'instant t<sub>o</sub>, et soit Q'<sub>1</sub> celui qui correspond à l'instant t<sub>1</sub>. Notons les composantes de <b>Q<sub>o</sub>P<sub>o</sub></b>, <b>Q<sub>o</sub>Q'<sub>o</sub></b>, <b>Q'<sub>o</sub>P<sub>o</sub></b> par δq<sub>o</sub><sup>k</sup>, δ'q<sub>o</sub><sup>k</sup>, Δq<sub>o</sub><sup>k</sup> = (dq<sub>o</sub><sup>k</sup>/dt) δt<sub>o</sub>, respectivement, et celles de <b>Q<sub>1</sub>P<sub>1</sub></b>, <b>Q<sub>1</sub>Q'<sub>1</sub></b>, <b>Q'<sub>1</sub>P<sub>1</sub></b> par δq<sub>1</sub><sup>k</sup>, δ'q<sub>1</sub><sup>k</sup>, Δq<sub>1</sub><sup>k</sup> = q'<sub>1</sub><sup>k</sup> δt<sub>1</sub>, respectivement.</p>
<p>La vitesse q'<sub>1</sub><sup>k</sup> sur la trajectoire variée ne diffère de celle sur la trajectoire réelle que par une quantité infiniment petite, laquelle ne donnerait dans Δq<sub>1</sub><sup>k</sup> qu'une correction du second ordre. En séparant les intégrations sur les segments terminaux <b>Q'<sub>o</sub>P<sub>o</sub></b> et <b>P<sub>1</sub>Q'<sub>1</sub></b>, nous obtenons :</p>
<p><b>[Eqn.005]</b> δW = [L<sub>1</sub>δt<sub>1</sub>]<sub><b>Q'<sub>1</sub>P<sub>1</sub></b></sub> – [L<sub>o</sub>δt<sub>o</sub>]<sub><b>Q'<sub>o</sub>P<sub>o</sub></b></sub> + ∫<sub>(Q'<span><sub>o</sub></span>, t<span><sub>o</sub></span>)→(Q'<span><sub>1</sub></span>, t<span><sub>1</sub></span>)</sub> L dt – ∫<sub>(Q<span><sub>o</sub></span>, t<span><sub>o</sub></span>)→(Q<span><sub>1</sub></span>, t<span><sub>1</sub></span>)</sub> L dt = [L<sub>1</sub>δt<sub>1</sub>]<sub><b>Q'<sub>1</sub>P<sub>1</sub></b></sub> – [L<sub>o</sub>δt<sub>o</sub>]<sub><b>Q'<sub>o</sub>P<sub>o</sub></b></sub> + ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> δ'L dt.</p>
<p>L'intégrand δ'L dans la dernière intégrale est calculé entre des points des deux trajectoires correspondant aux mêmes instants t. On trouve que l'intégrale ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> δ'L dt vaut<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2" title=""><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></p>
<p><b>[Eqn.006]</b> ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> δ'L dt = ∑<sub>k</sub> [(∂L/∂q'<sup>k</sup>) δ'q<sup>k</sup>]<sub>1</sub> – ∑<sub>k</sub> [(∂L/∂q'<sup>k</sup>) δ'q<sup>k</sup>]<sub>o</sub> + ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> ∑<sub>k</sub> [∂L/∂q<sup>k</sup> – d(∂L/∂q'<sup>k</sup>)/dt] δ'q<sup>k</sup> dt.</p>
<p>En introduisant les <b>moments conjugués</b> p<sub>k</sub> aux coordonnées généralisées <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_tensoriel.html" class="mw-redirect" title="Calcul tensoriel">contravariantes</a> q<sup>k</sup>, qui représentent les composantes <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_tensoriel.html" class="mw-redirect" title="Calcul tensoriel">covariantes</a> de la vitesse, et en se souvenant que selon les <a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_d%27Euler-Lagrange_2b24.html" title="Équation d'Euler-Lagrange">équations de Lagrange</a>,<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3" title=""><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> l'expression figurant entre crochets dans le dernier terme est nulle, on trouve finalement</p>
<p><b>[Eqn.007]</b> δW = [L<sub>1</sub>δt<sub>1</sub>]<sub><b>Q'<sub>1</sub>P<sub>1</sub></b></sub> – [L<sub>o</sub>δt<sub>o</sub>]<sub><b>Q'<sub>o</sub>P<sub>o</sub></b></sub> + ∫<sub>(Q'<span><sub>o</sub></span>, t<span><sub>o</sub></span>)→(Q'<span><sub>1</sub></span>, t<span><sub>1</sub></span>)</sub> L dt + Σ<sub>k</sub> p<sub>k,1</sub> δ'q<sup>k</sup><sub>1</sub> – Σ<sub>k</sub> p<sub>k,o</sub> δ'q<sup>k</sup><sub>o</sub>.</p>
<p>Comme δ'<b>q</b><sub>1</sub> = <b>Q</b><sub>1</sub><b>Q'</b><sub>1</sub> = <b>Q</b><sub>1</sub><b>P'</b><sub>1</sub> – <b>Q'</b><sub>1</sub><b>P'</b><sub>1</sub>, il vient en termes de composantes : δ'q<sup>k</sup><sub>1</sub> = δq<sup>k</sup><sub>1</sub> – Δq<sup>k</sup><sub>1</sub> = δq<sup>k</sup><sub>1</sub> – q'<sup>k</sup><sub>1</sub> δt<sub>1</sub> et de même δ'q<sup>k</sup><sub>o</sub> = δq<sup>k</sup><sub>o</sub> – Δq<sup>k</sup><sub>o</sub> = δq<sup>k</sup><sub>o</sub> – q'<sup>k</sup><sub>o</sub> δt<sub>o</sub>. Dès lors, utilisant ces relations, on trouve sous <b>forme condensée</b><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4" title=""><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></p>
<p><b>[Eqn.008]</b> δW = [ Σ<sub>k</sub> p<sub>k</sub> δq<sup>k</sup> – H δt ]<sub>o</sub><sup>1</sup>,</p>
<p>en définissant la <b>fonction de Hamilton</b> (ou le <b>Hamiltonien</b>)</p>
<p><b>[Eqn.009]</b> H = Σ<sub>k</sub> p<sub>k</sub> q'<sup>k</sup> – L(q<sup>k</sup>,q'<sup>k</sup>,t).</p>
<p>La fonction de Hamilton joue un rôle essentiel dans les principes généraux de la mécanique.</p>
<p><a name="Principe_de_Hamilton_ou_principe_de_moindre_action_de_Lagrange" id="Principe_de_Hamilton_ou_principe_de_moindre_action_de_Lagrange"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Principe de Hamilton ou principe de moindre action de Lagrange">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Principe de Hamilton ou principe de moindre action de Lagrange</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:152px;"><a href="../../../../articles/j/o/s/Image%7EJoseph_Louis_Lagrange.jpg_da4a.html" class="image" title="Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)"><img alt="Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)" src="../../../../images/shared/thumb/f/ff/Joseph_Louis_Lagrange.jpg/150px-Joseph_Louis_Lagrange.jpg" width="150" height="188" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/j/o/s/Image%7EJoseph_Louis_Lagrange.jpg_da4a.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
<a href="../../../../articles/j/o/s/Joseph-Louis_Lagrange_b498.html" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> (<a href="../../../../articles/1/7/3/1736.html" title="1736">1736</a>–<a href="../../../../articles/1/8/1/1813.html" title="1813">1813</a>)</div>
</div>
</div>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_de_moindre_action.html" title="Principe de moindre action">principe de moindre action</a>.</span></span></div>
<p>Si nous admettons que toutes les trajectoires variées passent par les mêmes extrémités Q<sub>o</sub>, Q<sub>1</sub> au même instant t<sub>o</sub>, t<sub>1</sub> que la trajectoire réelle, la variation de l'intégrale d'action W s'annule :</p>
<p><b>[Eqn.010]</b> δW = ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> L dt = ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> Σ<sub>k</sub> [∂L/∂q<sup>k</sup> – d (∂L/∂q'<sup>k</sup>)/dt] δ'q<sup>k</sup> dt = 0</p>
<p>d'après les équations de Lagrange. Inversement, si</p>
<p><b>[Eqn.011]</b> δ∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> L dt = 0,</p>
<p>il faut que les équations de Lagrange soient satisfaites, puisque les δ'q<sup>k</sup> sont des quantités petites <i>arbitraires</i>. On peut encore en conclure que les équations d'Euler du problème aux variations sont identiques aux équations de Lagrange. Dès lors, le <b>principe de Hamilton</b> peut s'énoncer comme suit : <i>Un système se meut d'une configuration à une autre de telle façon que la première variation de l'action</i></p>
<p>∫<sub>t<span><sub>o</sub></span>→t<span><sub>1</sub></span></sub> L(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>,...,q<sub>f</sub>,dq<sub>1</sub>/dt,dq<sub>2</sub>/dt,...,dq<sub>f</sub>/dt,t) dt</p>
<p>entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soit nulle<i>.</i></p>
<p>Ce principe possède une importance considérable qui dépasse l'équivalence formelle entre deux formulations mathématiques équivalentes du même problème. Ceci a d'ailleurs aussi son intérêt : par exemple, cette forme reste évidemment vraie dans n'importe quel système de coordonnées et, partant, on peut en déduire immédiatement l'<b>invariance des équations de Lagrange</b> pour toute transformation de coordonnées</p>
<p>q'<sup>i</sup> = q'<sup>i</sup>(q<sup>1</sup>,q²,...,q<sup>f</sup>), i=1,2,...,f.</p>
<p>Mais surtout, ce principe ouvre la voie à une description de systèmes non-mécaniques par les méthodes mathématiques de la mécanique classique, comme dans la théorie des champs.</p>
<p><a name="Principe_de_Maupertuis_ou_principe_de_moindre_action" id="Principe_de_Maupertuis_ou_principe_de_moindre_action"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Principe de Maupertuis ou principe de moindre action">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Principe de Maupertuis ou principe de moindre action</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:152px;"><a href="../../../../articles/p/i/e/Image%7EPierreLouisMaupertuis.jpg_3378.html" class="image" title="Pierre Louis de Maupertuis (1698–1759)"><img alt="Pierre Louis de Maupertuis (1698–1759)" src="../../../../images/shared/thumb/2/20/PierreLouisMaupertuis.jpg/150px-PierreLouisMaupertuis.jpg" width="150" height="194" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/p/i/e/Image%7EPierreLouisMaupertuis.jpg_3378.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
<a href="../../../../articles/m/a/u/Maupertuis.html" title="Maupertuis">Pierre Louis de Maupertuis</a> (<a href="../../../../articles/1/6/9/1698.html" title="1698">1698</a>–<a href="../../../../articles/1/7/5/1759.html" title="1759">1759</a>)</div>
</div>
</div>
<p>Le <b>principe de moindre action de Maupertuis</b> est la forme particulière que prend le principe de Hamilton pour les systèmes <i>conservatifs à liaisons holonomes indépendantes du temps</i>. Sous ces conditions, le potentiel s'écrit</p>
<p>V = V(q<sup>k</sup>), k=1,2,...f,</p>
<p>et l'énergie cinétique devient</p>
<p>T = ½ Σ<sub>i,j</sub> a<sub>ij</sub>(q<sup>k</sup>) (dq<sup>i</sup>/dt) (dq<sup>j</sup>/dt), i,j,k=1,2,...f.</p>
<p>Dans ce cas, l'intégrale d'énergie prend la forme</p>
<p>E = T + V = constante</p>
<p>et on en tire</p>
<p>L = T – V = 2 T – E</p>
<p>ainsi que</p>
<p>H = Σ<sub>k</sub> p<sub>k</sub> dq<sup>k</sup>/dt – L = Σ<sub>k</sub> [∂T/∂(dq<sup>k</sup>/dt)] (dq<sup>k</sup>/dt) – L = 2 T – L = T + V = E.</p>
<p><a name="Principe_de_Gauss_ou_principe_de_moindre_courbure" id="Principe_de_Gauss_ou_principe_de_moindre_courbure"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Principe de Gauss ou principe de moindre courbure">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Principe de Gauss ou principe de moindre courbure</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:152px;"><a href="../../../../articles/c/a/r/Image%7ECarl_Friedrich_Gauss.jpg_ed94.html" class="image" title="Carl Friedrich Gauss (1777–1855)"><img alt="Carl Friedrich Gauss (1777–1855)" src="../../../../images/shared/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/150px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg" width="150" height="192" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/c/a/r/Image%7ECarl_Friedrich_Gauss.jpg_ed94.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
<a href="../../../../articles/c/a/r/Carl_Friedrich_Gauss_b24e.html" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a> (<a href="../../../../articles/1/7/7/1777.html" title="1777">1777</a>–<a href="../../../../articles/1/8/5/1855.html" title="1855">1855</a>)</div>
</div>
</div>
<p><a name="Comparaison_entre_m.C3.A9canique_rationnelle_et_optique_g.C3.A9om.C3.A9trique" id="Comparaison_entre_m.C3.A9canique_rationnelle_et_optique_g.C3.A9om.C3.A9trique"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique</span></h2>
<p>On peut consulter à ce sujet l'<a href="../../../../articles/c/h/e/Chemin_optique.html#Analogie_entre_l.27optique_et_la_m.C3.A9canique" title="Chemin optique">analogie entre l'optique et la mécanique</a>.</p>
<p><a name=".C3.89quations_d.27Hamilton"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Équations d'Hamilton">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Équations d'Hamilton</span></h2>
<p><a name=".C3.89quation_d.27Hamilton-Jacobi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Équation d'Hamilton-Jacobi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Équation d'Hamilton-Jacobi</span></h2>
<p><a name="Syst.C3.A8mes_conservatifs" id="Syst.C3.A8mes_conservatifs"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Systèmes conservatifs">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Systèmes conservatifs</span></h2>
<p><a name="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_Liouville" id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_Liouville"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Théorème de Liouville">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorème de Liouville</span></h2>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Liouville_%28Hamiltonien%29_0021.html" title="Théorème de Liouville (Hamiltonien)">Théorème de Liouville (Hamiltonien)</a>.</span></span></div>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:152px;"><a href="../../../../articles/j/o/s/Image%7EJoseph_liouville.jpeg_7402.html" class="image" title="Joseph Liouville (1809–1882)"><img alt="Joseph Liouville (1809–1882)" src="../../../../images/shared/thumb/d/d3/Joseph_liouville.jpeg/150px-Joseph_liouville.jpeg" width="150" height="182" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/j/o/s/Image%7EJoseph_liouville.jpeg_7402.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
<a href="../../../../articles/j/o/s/Joseph_Liouville_6659.html" title="Joseph Liouville">Joseph Liouville</a> (<a href="../../../../articles/1/8/0/1809.html" title="1809">1809</a>–<a href="../../../../articles/1/8/8/1882.html" title="1882">1882</a>)</div>
</div>
</div>
<p><a name="Passage_de_la_m.C3.A9canique_classique_.C3.A0_la_m.C3.A9canique_ondulatoire" id="Passage_de_la_m.C3.A9canique_classique_.C3.A0_la_m.C3.A9canique_ondulatoire"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Passage de la mécanique classique à la mécanique ondulatoire">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Passage de la mécanique classique à la mécanique ondulatoire</span></h2>
<p><a name="Notes" id="Notes"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Notes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Notes</span></h2>
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
<li id="cite_note-0"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-0" title="">↑</a></span> Ceci est une restriction importante : on peut supposer que le milieu traversé par la lumière est <i>hétérogène</i>, mais il doit être <i>optiquement isotrope</i>. Le cas d'un milieu optiquement anisotrope, par exemple un cristal dont la symétrie n'est pas celle du système cubique, introduit une complication car il faut alors considérer un « rayon ordinaire » et un « rayon extraordinaire ».</li>
<li id="cite_note-1"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-1" title="">↑</a></span> On désignera dans la suite systématiquement une dérivée par rapport au temps d'une quelconque coordonnée généralisée q<sup>k</sup> par un prime :<br />
q'<sup>k</sup> = dq<sup>k</sup>/dt.</li>
<li id="cite_note-2"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-2" title="">↑</a></span> Puisque M et M' sont des positions simultanées (correspondant à δ't = 0), la variation δ'L de la fonction de Lagrange L est δ'L = L(M') – L(M) = ∑<sub>k</sub> [(∂L/∂q<sup>k</sup>) δ'q<sup>k</sup> + (∂L/∂q'<sup>k</sup>) δ'q'<sup>k</sup>)].<br />
D'autre part, comme δ' et d/dt sont deux opérateurs qui peuvent commuter, on a aussi δ'q'<sup>k</sup> = δ'(dq<sup>k</sup>/dt) = d(δ'q<sup>k</sup>)/dt, si bien que le dernier terme dans δ'L peut encore s'écrire (∂L/∂q'<sup>k</sup>) δ'q<sup>k</sup> = (∂L/∂q'<sup>k</sup>) d(δ'q<sup>k</sup>)/dt = d[(∂L/∂q'<sup>k</sup>) δ'q<sup>k</sup>]/dt – δ'q<sup>k</sup> d(∂L/∂q'<sup>k</sup>)/dt.<br />
En introduisant cette expression dans le dernier terme de <b>[Eqn.005]</b>, on trouve <b>[Eqn.006]</b>.</li>
<li id="cite_note-3"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-3" title="">↑</a></span> L'expression générale des équations de Lagrange en présence d'un Lagrangien L = L(q<sup>k</sup>, q'<sup>k</sup>, t) est d(∂L/∂q'<sup>k</sup>)/dt – ∂L/∂q<sup>k</sup> = 0.</li>
<li id="cite_note-4"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-4" title="">↑</a></span> Avec ces relations, <b>[Eqn.007]</b> devient δW = L<sub>1</sub> δt<sub>1</sub> + Σ<sub>k</sub> p<sub>k,1</sub> (δq<sup>k</sup><sub>1</sub> – q'<sup>k</sup><sub>1</sub> δt<sub>1</sub>) – [L<sub>o</sub>δt<sub>o</sub> + Σ<sub>k</sub> p<sub>k,o</sub> (δq<sup>k</sup><sub>o</sub> – q'<sup>k</sup><sub>o</sub> δt<sub>o</sub>)] = (L<sub>1</sub> – Σ<sub>k</sub> p<sub>k,1</sub> q'<sup>k</sup><sub>1</sub>) δt<sub>1</sub> + Σ<sub>k</sub> p<sub>k,1</sub> δq<sup>k</sup><sub>1</sub> – (L<sub>o</sub> – Σ<sub>k</sub> p<sub>k,o</sub> q'<sup>k</sup><sub>o</sub>) δt<sub>o</sub> – Σ<sub>k</sub> p<sub>k,o</sub> δq<sup>k</sup><sub>o</sub> ou δW = – H<sub>1</sub> δt<sub>1</sub> + Σ<sub>k</sub> p<sub>k,1</sub> δq<sup>k</sup><sub>1</sub> + H<sub>o</sub> δt<sub>o</sub> – Σ<sub>k</sub> p<sub>k,o</sub> δq<sup>k</sup><sub>o</sub>.</li>
</ol>
</div>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<p><a name="Bibliographie" id="Bibliographie"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Bibliographie">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bibliographie</span></h3>
<ul>
<li>H. Goldstein (1980). <i>Classical Mechanics</i> (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201--02969-3.</li>
</ul>
<p><a name="Articles_connexes" id="Articles_connexes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Articles connexes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Articles connexes</span></h3>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_variations.html" title="Calcul des variations">Calcul des variations</a></li>
<li><a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel_en_physique_quantique.html" title="Principe variationnel en physique quantique">Principe variationnel en physique quantique</a></li>
</ul>
<p><a name="Liens_externes" id="Liens_externes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html" title="Modifier la section : Liens externes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens externes</span></h3>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/l/o/g/Image%7ELogo_physics.svg_c46c.html" class="image" title="Icône du portail de la physique"><img alt="Icône du portail de la physique" src="../../../../images/shared/thumb/c/cc/Logo_physics.svg/24px-Logo_physics.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/p/h/y/Portail%7EPhysique_e73e.html" title="Portail:Physique">Portail de la physique</a></span></span></li>
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/l/o/g/Image%7ELogoG%26G.png_4c84.html" class="image" title="Icône du portail Géodésie et Géophysique"><img alt="Icône du portail Géodésie et Géophysique" src="../../../../images/local/thumb/7/7c/LogoG&G.png/24px-LogoG&G.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/Portail%7EG%C3%A9od%C3%A9sie_et_G%C3%A9ophysique_718e.html" title="Portail:Géodésie et Géophysique">Portail Géodésie et Géophysique</a></span></span></li>
</ul>
<!--
NewPP limit report
Preprocessor node count: 1363/1000000
Post-expand include size: 7184/2048000 bytes
Template argument size: 1657/2048000 bytes
Expensive parser function count: 0/500
-->
<div class="printfooter">
</div>
<div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/a/r/t/Cat%C3%A9gorie%7EArticle_%C3%A0_Texifier_9d4a.html" title="Catégorie:Article à Texifier">Article à Texifier</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/Cat%C3%A9gorie%7EM%C3%A9canique_d91a.html" title="Catégorie:Mécanique">Mécanique</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/o/p/t/Cat%C3%A9gorie%7EOptique_8c37.html" title="Catégorie:Optique">Optique</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/p/h/y/Cat%C3%A9gorie%7EPhysique_th%C3%A9orique_9231.html" title="Catégorie:Physique théorique">Physique théorique</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/p/h/y/Cat%C3%A9gorie%7EPhysique_quantique_3def.html" title="Catégorie:Physique quantique">Physique quantique</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/Cat%C3%A9gorie%7EG%C3%A9od%C3%A9sie_f1fb.html" title="Catégorie:Géodésie">Géodésie</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/p/r/i/Cat%C3%A9gorie%7EPrincipe_physique_e828.html" title="Catégorie:Principe physique">Principe physique</a></span></div></div></div> <!-- end content -->
<div class="visualClear"></div>
</div>
</div>
</div>
<div id="column-one">
<div id="p-cactions" class="portlet">
<h5>Views</h5>
<ul>
<li id="ca-nstab-main"
class="selected" ><a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_variationnel.html">Article</a></li><li id="ca-talk"
><a href="../../../../articles/p/r/i/Discuter%7EPrincipe_variationnel_c2ee.html">Discussion</a></li><li id="ca-current"
><a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_variationnel">Version actuelle</a></li> </ul>
</div>
<div class="portlet" id="p-logo">
<a style="background-image: url(../../../../misc/Wiki.png);"
href="../../../../index.html"
title="Accueil"></a>
</div>
<script type="text/javascript"> if (window.isMSIE55) fixalpha(); </script>
<div class='portlet' id='p-navigation'>
<h5>Navigation</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-mainpage"><a href="../../../../index.html">Accueil</a></li>
<li id="n-thema"><a href="../../../../articles/a/c/c/Portail%7EAccueil_bcc9.html">Portails thématiques</a></li>
<li id="n-alphindex"><a href="../../../../articles/t/o/u/Special%7EToutes_les_pages_fabc.html">Index alphabétique</a></li>
<li id="n-randompage"><a href="../../../../articles/p/a/g/Special%7EPage_au_hasard_9c81.html">Un article au hasard</a></li>
<li id="n-contact"><a href="../../../../articles/c/o/n/Wikip%C3%A9dia%7EContact_929e.html">Contacter Wikipédia</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class='portlet' id='p-Contribuer'>
<h5>Contribuer</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-help"><a href="../../../../articles/s/o/m/Aide%7ESommaire_c9f0.html">Aide</a></li>
<li id="n-portal"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_5272.html">Communauté</a></li>
<li id="n-recentchanges"><a href="../../../../articles/m/o/d/Special%7EModifications_r%C3%A9centes_b222.html">Modifications récentes</a></li>
<li id="n-aboutwp"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_des_nouveaux_arrivants_0784.html">Accueil des nouveaux arrivants</a></li>
<li id="n-sitesupport"><a href="http://meta.wikimedia.org/wiki/Faire_un_don:_explication">Faire un don</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="p-search" class="portlet">
<h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5>
<div id="searchBody" class="pBody">
<form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div>
<input id="searchInput" name="search" type="text"
accesskey="C" value="" />
<input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton"
value="Aller" />
</div></form>
</div>
</div>
</div><!-- end of the left (by default at least) column -->
<div class="visualClear"></div>
<div id="footer">
<div id="f-poweredbyico"><a href="http://www.mediawiki.org/"><img src="../../../../skins/common/images/poweredby_mediawiki_88x31.png" alt="Powered by MediaWiki" /></a></div> <div id="f-copyrightico"><a href="http://wikimediafoundation.org/"><img src="../../../../misc/wikimedia-button.png" border="0" alt="Wikimedia Foundation"/></a></div> <ul id="f-list">
<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 19 avril 2008 à 22:25 par Utilisateur <a href="../../../../articles/l/y/r/Utilisateur%7ELyricV_5fa8.html" title="Utilisateur:LyricV">LyricV</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/b/a/d/Utilisateur%7EBadmood_4dbf.html" title="Utilisateur:Badmood">Badmood</a>, <a href="../../../../articles/f/l/o/Utilisateur%7EFlo_2731.html" title="Utilisateur:Flo">Flo</a>, <a href="../../../../articles/m/m/b/Utilisateur%7EMMBot_510c.html" title="Utilisateur:MMBot">MMBot</a>, <a href="../../../../articles/d/u/m/Utilisateur%7EDumZiBoT_1015.html" title="Utilisateur:DumZiBoT">DumZiBoT</a>, <a href="../../../../articles/k/r/o/Utilisateur%7EKropotkine_113_e773.html" title="Utilisateur:Kropotkine 113">Kropotkine 113</a>, <a href="../../../../articles/v/a/n/Utilisateur%7EVan_Rijn_7959.html" title="Utilisateur:Van Rijn">Van Rijn</a>, <a href="../../../../articles/a/l/e/Utilisateur%7EAlecs.bot_6f7d.html" title="Utilisateur:Alecs.bot">Alecs.bot</a>, <a href="../../../../articles/p/i/e/Utilisateur%7EPieRRoMaN_096e.html" title="Utilisateur:PieRRoMaN">PieRRoMaN</a>, <a href="../../../../articles/g/i/l/Utilisateur%7EGillesC_4b5f.html" title="Utilisateur:GillesC">GillesC</a>, <a href="../../../../articles/j/e/r/Utilisateur%7EJerome66_56af.html" title="Utilisateur:Jerome66">Jerome66</a>, <a href="../../../../articles/c/a/r/Utilisateur%7ECarlo_denis_1da3.html" title="Utilisateur:Carlo denis">Carlo denis</a>, <a href="../../../../articles/o/x/o/Utilisateur%7EOxo_5a74.html" title="Utilisateur:Oxo">Oxo</a>, <a href="../../../../articles/p/l/d/Utilisateur%7EPld_11ee.html" title="Utilisateur:Pld">Pld</a>, <a href="../../../../articles/l/e/y/Utilisateur%7ELeYaYa_788e.html" title="Utilisateur:LeYaYa">LeYaYa</a>, <a href="../../../../articles/b/o/b/Utilisateur%7EBob08_5a46.html" title="Utilisateur:Bob08">Bob08</a>, <a href="../../../../articles/j/b/l/Utilisateur%7EJblndl_3d7c.html" title="Utilisateur:Jblndl">Jblndl</a>, <a href="../../../../articles/s/y/n/Utilisateur%7ESyntex_9c59.html" title="Utilisateur:Syntex">Syntex</a>, <a href="../../../../articles/s/i/l/Utilisateur%7ESilvi_0d34.html" title="Utilisateur:Silvi">Silvi</a> et <a href="../../../../articles/r/u/n/Utilisateur%7ERune_Obash_b60c.html" title="Utilisateur:Rune Obash">Rune Obash</a> et Utilisateur(s) non enregistré(s) de Wikipédia.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
Wikipedia® est une marque déposée de la <a href="http://wikimediafoundation.org/wiki/Accueil" title="Wikimedia Foundation">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a class="internal" href="http://en.wikipedia.org/wiki/501(c)" title="501(c)">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br/></li> <li id="f-about"><a href="../../../../articles/%C3%A0/_/p/Wikip%C3%A9dia%7E%C3%80_propos_5de1.html" title="Wikipédia:À propos">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="f-disclaimer"><a href="../../../../articles/a/v/e/Wikip%C3%A9dia%7EAvertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux_fef1.html" title="Wikipédia:Avertissements généraux">Avertissements</a></li> </ul>
</div>
</div>
</body>
</html>