404 Not Found

Samx Here
Server : Apache
System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64
User : hednacluml ( 122243)
PHP Version : 8.3.9
Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl
Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/p/r/i/
Upload File :
Current File : /home/hednacluml/encyclo/articles/p/r/i/Principe_du_minimum_de_Pontryagin_8446.html
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="fr" lang="fr" dir="ltr">
  <head>
    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
	<!-- headlinks removed -->
	<link rel="shortcut icon" href="../../../../misc/favicon.ico"/>
    <title>Principe du minimum de Pontryagin - Wikipédia</title>
    <style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../skins/offline/main.css"; /*]]>*/</style>
    <link rel="stylesheet" type="text/css" media="print" href="../../../../skins/common/commonPrint.css" />
    <!--[if lt IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE50Fixes.css";</style><![endif]-->
    <!--[if IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE55Fixes.css";</style><![endif]-->
    <!--[if IE 6]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE60Fixes.css";</style><![endif]-->
    <!--[if IE]><script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/IEFixes.js"></script>
    <meta http-equiv="imagetoolbar" content="no" /><![endif]-->
    <script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/wikibits.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/md5.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/utf8.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/lookup.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="../../../../raw/gen.js"></script>        <style type="text/css">/*<![CDATA[*/
@import "../../../../raw/MediaWiki%7ECommon.css";
@import "../../../../raw/MediaWiki%7EMonobook.css";
@import "../../../../raw/gen.css";
/*]]>*/</style>          </head>
  <body
    class="ns-0">
    <div id="globalWrapper">
      <div id="column-content">
	<div id="content">
	  <a name="top" id="contentTop"></a>
	        <h1 class="firstHeading">Principe du minimum de Pontryagin</h1>
	  <div id="bodyContent">
	    <h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
	    <div id="contentSub"></div>
	    	    	    <!-- start content -->
	    <p>Le <b>principe du minimum de Pontryagin</b> est utilisé dans la théorie du contrôle optimal pour trouver la commande optimale permettant d'amener un <a href="../../../../articles/s/y/s/Syst%C3%A8me_dynamique.html" title="Système dynamique">système dynamique</a> d'un état à un autre, en présence de contraintes portant sur l'état ou les commandes d'entrée.</p>
<p>Il a été formulé par le mathématicien soviétique <a href="../../../../articles/l/e/v/Lev_Semenovich_Pontryagin_b79e.html" class="mw-redirect" title="Lev Semenovich Pontryagin">Lev Semenovich Pontryagin</a> et ses étudiants. On peut le rattacher à la question plus générale du traitement des <a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_d%27Euler-Lagrange_2b24.html" title="Équation d'Euler-Lagrange">équations d'Euler-Lagrange</a> dans le domaine du <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_variations.html" title="Calcul des variations">calcul des variations</a>.</p>
<p>Le principe examine la minimisation d'un <a href="../../../../articles/h/a/m/Hamiltonien.html" title="Hamiltonien">Hamiltonien</a> sur <img class="tex" alt="\mathcal{U}" src="../../../../math/e/7/e/e7e62356c0efc1c755aa8b68155265a0.png" />, l'espace des commandes admissibles. Si <img class="tex" alt="u^*\in \mathcal{U}" src="../../../../math/a/e/b/aeb69d6c998ac8f871a2693adf6f7060.png" /> est la commande optimale pour le problème, alors le principe énonce que&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t),t) \leq H(x^*(t),u(t),\lambda^*(t),t), \quad \forall u \in \mathcal{U}, \quad t \in [t_0, t_f]" src="../../../../math/5/f/2/5f23ea16bdfff953339e6855dd15db93.png" /></dd>
</dl>
<p>où <img class="tex" alt="x^*\in C^1[t_0,t_f]" src="../../../../math/6/1/d/61d8ab972702f3b4723a61a755d7407f.png" /> est la trajectoire d'état optimale et <img class="tex" alt="\lambda^* \in BV[t_0,t_f]" src="../../../../math/2/7/b/27b8b76939dc098d8ec6bc8f2d040375.png" /> la trajectoire de co-état optimale.</p>
<p>Ce résultat a été initialement appliqué pour la résolution de problèmes de minimisation de temps de transformation avec contraintes sur les commandes d'entrées, mais il peut également être utilisé pour résoudre des problèmes à contrainte d'état.</p>
<p>Il est également possible de dériver des conditions spécifiques sur l'<a href="../../../../articles/h/a/m/Hamiltonien.html" title="Hamiltonien">Hamiltonien</a>. Si l'instant final <span class="texhtml"><i>t</i><sub><i>f</i></sub></span> est fixé et que l'hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps (<img class="tex" alt="\frac{\partial H}{\partial t} \equiv 0" src="../../../../math/0/c/e/0cec1075020ad5badc913239b5396185.png" />), alors&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv \mathrm{constant}\," src="../../../../math/c/3/4/c349e4cc41238dcba9fd940dd7d252f3.png" /></dd>
</dl>
<p>si l'instant final n'est pas fixé, alors&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv 0.\," src="../../../../math/f/f/4/ff4ec356b8fbef736971f8925f013048.png" /></dd>
</dl>
<p>Des conditions plus générales sur la commande optimale sont données ci dessous.</p>
<p>Le principe du minimum de Pontryagin énonce des <a href="../../../../articles/c/o/n/Condition_n%C3%A9cessaire.html" class="mw-redirect" title="Condition nécessaire">conditions nécessaires</a> d'optimalité. Les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman permettent d'énoncer des <a href="../../../../articles/c/o/n/Condition_suffisante.html" class="mw-redirect" title="Condition suffisante">conditions suffisantes</a> d'optimalité.</p>
<p><a name="Maximisation_et_Minimisation" id="Maximisation_et_Minimisation"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_du_minimum_de_Pontryagin_8446.html" title="Modifier la section&#160;: Maximisation et Minimisation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Maximisation et Minimisation</span></h2>
<p>Ces résultats sont parfois connus sous le nom de principe du maximum de pontryagin. Cela est du au fait que le travail initial de Pontryagin était centré sur la maximisation d'une fonctionnelle de bénéfice plutôt que la minimisation d'une fonctionnelle de coût.</p>
<p>La démonstration historique du principe du minimum est basée sur la maximisation de l'hamiltonien et non sur sa minimisation. Dans ce cadre minimiser une fonction de coût plutôt qu'un bénéfice revient à mutliplier la fonction par <span class="texhtml">− 1</span>. Les applications modernes du principe sont centrées sur la résolution de problèmes de minimisation.</p>
<p><a name="Enonc.C3.A9_complet_des_conditions_n.C3.A9cessaires_de_r.C3.A9solution_du_probl.C3.A8me_de_minimisation" id="Enonc.C3.A9_complet_des_conditions_n.C3.A9cessaires_de_r.C3.A9solution_du_probl.C3.A8me_de_minimisation"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_du_minimum_de_Pontryagin_8446.html" title="Modifier la section&#160;: Enoncé complet des conditions nécessaires de résolution du problème de minimisation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Enoncé complet des conditions nécessaires de résolution du problème de minimisation</span></h2>
<p>Les conditions nécessaires pour la minimisation d'une fonctionnelle sont les suivantes. Soit <span class="texhtml"><i>x</i></span> l'état du <a href="../../../../articles/s/y/s/Syst%C3%A8me_dynamique.html" title="Système dynamique">système dynamique</a> et <span class="texhtml"><i>u</i></span> la variable de commande, telle que&#160;:<img class="tex" alt="
\dot{x}=f(x, u), \quad x(0)=x_0, \quad u(t) \in \mathcal{U}, \quad t \in
[0,T]
" src="../../../../math/3/9/a/39aa7ef71eaad4c077dec52829697fb1.png" /> où <img class="tex" alt="\mathcal{U}" src="../../../../math/e/7/e/e7e62356c0efc1c755aa8b68155265a0.png" /> est l'espace des commandes admissibles et <span class="texhtml"><i>T</i></span> la date de l'état final su système. La commande <img class="tex" alt="u \in \mathcal{U}" src="../../../../math/7/4/9/7491b93f512cb8d86431fe252e60ad10.png" /> doit être déterminée pour tout <img class="tex" alt="t \in [0,T]" src="../../../../math/e/6/6/e66a2b7fedcba80ccb192b87440f8d9c.png" /> afin de maximiser la fonctionnelle <span class="texhtml"><i>J</i></span>, définie par&#160;:<img class="tex" alt="
J=\Psi(x(T))+\int^T_0 L(x(t), u(t)) dt
" src="../../../../math/4/4/c/44cccc477239f42b147bca841d3b8019.png" /></p>
<p>Les contraintes sur la dynamique du système peuvent être adjointes au <a href="../../../../articles/l/a/g/Lagrangien.html" title="Lagrangien">Lagrangien</a> <span class="texhtml"><i>L</i></span> en introduisant le vecteur des <a href="../../../../articles/m/u/l/Multiplicateur_de_Lagrange_3f10.html" title="Multiplicateur de Lagrange">multiplicateurs de Lagrange</a> fonction du temps <span class="texhtml">λ</span>. Ces éléments sont appelés co-états du système.</p>
<p>Cela permet de construire l'<a href="../../../../articles/h/a/m/Hamiltonien.html" title="Hamiltonien">Hamiltonien</a> <span class="texhtml"><i>H</i></span> défini pour tout <img class="tex" alt="t \in [0,T]" src="../../../../math/e/6/6/e66a2b7fedcba80ccb192b87440f8d9c.png" /> par&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
H(\lambda(t), x(t), u(t), t)=\lambda'(t)f(x(t), u(t))+L(x(t), u(t)) \,
" src="../../../../math/8/3/7/8372d6599fe3e1f91d79ec495b16d4e8.png" /></dd>
</dl>
<p>où <span class="texhtml">λ'</span> est le transposé de <span class="texhtml">λ</span>.</p>
<p>Le principe du minimum de Pontryagin énonce que la trajectoire d'état optimale <span class="texhtml"><i>x</i> <sup>*</sup></span> , la commande optimale <span class="texhtml"><i>u</i> <sup>*</sup></span> , et le vecteur des multiplicateurs de Lagrange correspondant <span class="texhtml">λ <sup>*</sup></span> doivent minimiser l'hamiltonien <span class="texhtml"><i>H</i></span> de façon à ce que</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
(1) \qquad H(x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t), t)&lt;H(x^*(t), u(t), \lambda^*(t), t) \,
" src="../../../../math/b/6/9/b69b8128b49755f0c829842b1ef57a4a.png" /></dd>
</dl>
<p>pour tout temps <img class="tex" alt="t \in [0,T]" src="../../../../math/e/6/6/e66a2b7fedcba80ccb192b87440f8d9c.png" /> et tout contrôme admissible <span class="texhtml"><i>u</i></span>.</p>
<p>Il doit être également vérifié que</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
(2) \qquad \Psi_T(x(T))+H(T)=0 \,
" src="../../../../math/7/e/6/7e6b24fd8ec3b2ca609fb70062fb8cdf.png" /></dd>
</dl>
<p>Enfin l'équation de co-état</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
(3) \qquad -\dot{\lambda}'(t)=H_x(x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t), t)=\lambda'(t)f_x(x^*(t), u^*(t))+L_x(x^*(t), u^*(t))
" src="../../../../math/8/a/2/8a209bf195376ecef94b6d9569c64156.png" /></dd>
</dl>
<p>doit être satisfaite. Si l'état final <span class="texhtml"><i>x</i>(<i>T</i>)</span> n'est pas fixé (i.e., si sa variation différentielle n'est pas nulle), alors les co-états finaux doivent vérifier que</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
(4) \qquad \lambda'(T)=\Psi_x(x(T)) \,
" src="../../../../math/8/e/2/8e23c5b2d6184b94acc0b21185349e80.png" /></dd>
</dl>
<p>Ces quatre conditions (1)-(4) constituent les conditions nécessaires d'optimalité de la commande. La condition (4) ne s'applique que lorsque <span class="texhtml"><i>x</i>(<i>T</i>)</span> n'est pas fixé, dans le cas contraire cette quatrième condition n'est pas nécessaire.</p>
<p>Les notations utilisées ci dessus s'explicitent ainsi .</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
\Psi_T(x(T))= \frac{\partial \Psi(x)}{\partial T}|_{x=x(T)} \,
" src="../../../../math/1/e/1/1e13b12d386c6406dbe37a62ece270fe.png" /></dd>
</dl>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
\Psi_x(x(T))=\begin{bmatrix} \frac{\partial
\Psi(x)}{\partial x_1}|_{x=x(T)} &amp; \cdots &amp; \frac{\partial
\Psi(x)}{\partial x_n} |_{x=x(T)}
\end{bmatrix}
" src="../../../../math/f/8/e/f8ec7152adf10489279c681ae9e136d0.png" /></dd>
</dl>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
H_x(x^*, u^*, \lambda^*, t)=\begin{bmatrix} \frac{\partial H}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*, \lambda=\lambda^*}
&amp; \cdots &amp; \frac{\partial H}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*, \lambda=\lambda^*}
\end{bmatrix}
" src="../../../../math/1/7/7/1773337d4fcb50de85947a8bbcce01be.png" /></dd>
</dl>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
L_x(x^*, u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*}
&amp; \cdots &amp; \frac{\partial L}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*}
\end{bmatrix} 
" src="../../../../math/8/2/d/82df5af1a2bf51ce491464ee78406e88.png" /></dd>
</dl>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
f_x(x^*, u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*} &amp; \cdots &amp; \frac{\partial f_1}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*} \\
\vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*} &amp;
\ldots &amp; \frac{\partial f_n}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*}
\end{bmatrix}
" src="../../../../math/8/0/a/80af562dcf1ecb2dbb638d3645be4db3.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="References" id="References"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_du_minimum_de_Pontryagin_8446.html" title="Modifier la section&#160;: References">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">References</span></h2>
<ul>
<li>Kirk, D.E. <i>Optimal Control Theory, An Introduction</i>, Prentice Hall, 1970. <a href="../../../../articles/o/u/v/Special%7EOuvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence_0486434842_ea8a.html" class="internal">ISBN 0486434842</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>


<!-- 
NewPP limit report
Preprocessor node count: 171/1000000
Post-expand include size: 736/2048000 bytes
Template argument size: 100/2048000 bytes
Expensive parser function count: 0/500
-->
<div class="printfooter">
</div>
	    <div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a>&nbsp;:&#32;<span dir='ltr'><a href="../../../../articles/o/p/t/Cat%C3%A9gorie%7EOptimisation_9e38.html" title="Catégorie:Optimisation">Optimisation</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/p/r/i/Cat%C3%A9gorie%7EPrincipe_b5ba.html" title="Catégorie:Principe">Principe</a></span></div></div></div>	    <!-- end content -->
	    <div class="visualClear"></div>
	  </div>
	</div>
      </div>
      <div id="column-one">
	<div id="p-cactions" class="portlet">
	  <h5>Views</h5>
	  <ul>
	    <li id="ca-nstab-main"
	       class="selected"	       ><a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_du_minimum_de_Pontryagin_8446.html">Article</a></li><li id="ca-talk"
	       	       ><a href="../../../../articles/p/r/i/Discuter%7EPrincipe_du_minimum_de_Pontryagin_2f95.html">Discussion</a></li><li id="ca-current"
	       	       ><a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_du_minimum_de_Pontryagin">Version actuelle</a></li>	  </ul>
	</div>
	<div class="portlet" id="p-logo">
	  <a style="background-image: url(../../../../misc/Wiki.png);"
	    href="../../../../index.html"
	    title="Accueil"></a>
	</div>
	<script type="text/javascript"> if (window.isMSIE55) fixalpha(); </script>
		<div class='portlet' id='p-navigation'>
	  <h5>Navigation</h5>
	  <div class='pBody'>
	    <ul>
	    	      <li id="n-mainpage"><a href="../../../../index.html">Accueil</a></li>
	     	      <li id="n-thema"><a href="../../../../articles/a/c/c/Portail%7EAccueil_bcc9.html">Portails thématiques</a></li>
	     	      <li id="n-alphindex"><a href="../../../../articles/t/o/u/Special%7EToutes_les_pages_fabc.html">Index alphabétique</a></li>
	     	      <li id="n-randompage"><a href="../../../../articles/p/a/g/Special%7EPage_au_hasard_9c81.html">Un article au hasard</a></li>
	     	      <li id="n-contact"><a href="../../../../articles/c/o/n/Wikip%C3%A9dia%7EContact_929e.html">Contacter Wikipédia</a></li>
	     	    </ul>
	  </div>
	</div>
		<div class='portlet' id='p-Contribuer'>
	  <h5>Contribuer</h5>
	  <div class='pBody'>
	    <ul>
	    	      <li id="n-help"><a href="../../../../articles/s/o/m/Aide%7ESommaire_c9f0.html">Aide</a></li>
	     	      <li id="n-portal"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_5272.html">Communauté</a></li>
	     	      <li id="n-recentchanges"><a href="../../../../articles/m/o/d/Special%7EModifications_r%C3%A9centes_b222.html">Modifications récentes</a></li>
	     	      <li id="n-aboutwp"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_des_nouveaux_arrivants_0784.html">Accueil des nouveaux arrivants</a></li>
	     	      <li id="n-sitesupport"><a href="http://meta.wikimedia.org/wiki/Faire_un_don:_explication">Faire un don</a></li>
	     	    </ul>
	  </div>
	</div>
		<div id="p-search" class="portlet">
	  <h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5>
	  <div id="searchBody" class="pBody">
	    <form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div>
	      <input id="searchInput" name="search" type="text"
	        accesskey="C" value="" />
	      <input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton"
	        value="Aller" />
	    </div></form>
	  </div>
	</div>
	<div id="p-lang" class="portlet">
	  <h5>Autres langues</h5>
	  <div class="pBody">
	    <ul>
	      	      <li>
	      <a href="../../../../../en/articles/p/o/n/Pontryagin%27s_minimum_principle.html">English</a>
	      </li>
	      	    </ul>
	  </div>
	</div>
	      </div><!-- end of the left (by default at least) column -->
      <div class="visualClear"></div>
      <div id="footer">
    <div id="f-poweredbyico"><a href="http://www.mediawiki.org/"><img src="../../../../skins/common/images/poweredby_mediawiki_88x31.png" alt="Powered by MediaWiki" /></a></div>	<div id="f-copyrightico"><a href="http://wikimediafoundation.org/"><img src="../../../../misc/wikimedia-button.png" border="0" alt="Wikimedia Foundation"/></a></div>	<ul id="f-list">
	  	  	  <li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 17 août 2007 à 17:22 par Utilisateur <a href="../../../../articles/p/i/e/Utilisateur%7EPieRRoMaN_096e.html" title="Utilisateur:PieRRoMaN">PieRRoMaN</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/f/l/u/Utilisateur%7EFluti_ce73.html" title="Utilisateur:Fluti">Fluti</a>, Bourrine et <a href="../../../../articles/d/i/d/Utilisateur%7EDiderot1_d9d8.html" title="Utilisateur:Diderot1">Diderot1</a>.</li>	  <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
Wikipedia® est une marque déposée de la <a href="http://wikimediafoundation.org/wiki/Accueil" title="Wikimedia Foundation">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a class="internal" href="http://en.wikipedia.org/wiki/501(c)" title="501(c)">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br/></li>	  <li id="f-about"><a href="../../../../articles/%C3%A0/_/p/Wikip%C3%A9dia%7E%C3%80_propos_5de1.html" title="Wikipédia:À propos">À propos de Wikipédia</a></li>	  <li id="f-disclaimer"><a href="../../../../articles/a/v/e/Wikip%C3%A9dia%7EAvertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux_fef1.html" title="Wikipédia:Avertissements généraux">Avertissements</a></li>	  	</ul>
      </div>
    </div>
  </body>
</html>
SAMX