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    <title>Pfaffien - Wikipédia</title>
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      <div id="column-content">
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	  <a name="top" id="contentTop"></a>
	        <h1 class="firstHeading">Pfaffien</h1>
	  <div id="bodyContent">
	    <h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
	    <div id="contentSub"></div>
	    	    	    <!-- start content -->
	    <div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Racine carrée bleue.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/35px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="35" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant les <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>En <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>, le <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/t/D%C3%A9terminant_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Déterminant (mathématiques)">déterminant</a> d'une <a href="../../../../articles/m/a/t/Matrice_antisym%C3%A9trique.html" title="Matrice antisymétrique">matrice antisymétrique</a> peut toujours être exprimé comme carré d'un <a href="../../../../articles/p/o/l/Polyn%C3%B4me.html" title="Polynôme">polynôme</a> des coefficients de la matrice. Ce polynôme est appelé le <b>Pfaffien</b>, ou le <b>déterminant pfaffien</b>, de la matrice. Le polynôme ne s'annule pas dans le seul cas des matrices antisymétriques 2<i>n</i> × 2<i>n</i>, son <a href="../../../../articles/d/e/g/Degr%C3%A9_math%C3%A9matique.html" class="mw-redirect" title="Degré mathématique">degré</a> est alors <i>n</i>.</p>
<p>Le Pfaffien d'une matrice <i>A</i> est noté <img class="tex" alt="\mathrm{Pf} \left( A \right)" src="../../../../math/2/7/1/271ef416052982bb464fa0ba1b5c6205.png" />.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Histoire"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Histoire</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Applications"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Applications</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9finition_formelle"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Définition formelle</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Simplification"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">Simplification</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#D.C3.A9finition_alternative"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">Définition alternative</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Exemples"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Exemples</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Identit.C3.A9s_remarquables"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Identités remarquables</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Identit.C3.A9s_g.C3.A9n.C3.A9rales"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Identités générales</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Matrices_diagonales_par_blocs"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">Matrices diagonales par blocs</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Matrice_n_.C3.97_n_quelconque_M"><span class="tocnumber">5.3</span> <span class="toctext">Matrice n × n quelconque M</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">6.1</span> <span class="toctext">Références</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Liens_externes"><span class="tocnumber">6.2</span> <span class="toctext">Liens externes</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Articles_connexes"><span class="tocnumber">6.3</span> <span class="toctext">Articles connexes</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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//<![CDATA[
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//]]>
</script>
<p><a name="Histoire" id="Histoire"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Histoire">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Histoire</span></h2>
<p>Le terme «&#160;Pfaffien&#160;» fut introduit par <a href="../../../../articles/a/r/t/Arthur_Cayley_9a49.html" title="Arthur Cayley">Arthur Cayley</a>, qui l'utilisa en 1852&#160;: <i>«&#160;Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerais</i> Pfaffiens<i>&#160;»</i> . Le mathématicien allemand à qui il fait référence est <a href="../../../../articles/j/o/h/Johann_Friedrich_Pfaff_88ec.html" title="Johann Friedrich Pfaff">Johann Friedrich Pfaff</a>.</p>
<p><a name="Applications" id="Applications"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Applications">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Applications</span></h2>
<p>le Pfaffien est une polynôme invariant d'une matrice antisymétrique (il n'est pas invariant par changement de base, mais par une transformation orthogonale). Il peut être utilisé pour définir la classe d'Euler d'une <a href="../../../../articles/v/a/r/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne.html" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a> utilisé dans le théorème généralisé de Gauss-Bonnet.</p>
<p>On utilise le Pfaffien en <a href="../../../../articles/p/h/y/Physique.html" title="Physique">physique</a> pour calculer la fonction de partition des modèles d'Ising. On l'utilise depuis peu pour établir des algorithmes plus efficaces pour résoudre des problèmes, par exemple des simulations de physique quantique.</p>
<p><a name="D.C3.A9finition_formelle" id="D.C3.A9finition_formelle"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Définition formelle">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Définition formelle</span></h2>
<p>Soit <i>A</i> = {<i>a</i><sub><i>i,j</i></sub>} une matrice antisymétrique 2<i>n</i>×2<i>n</i>. Le Pfaffien de <i>A</i> est défini par&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\mathrm{Pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}" src="../../../../math/a/c/5/ac58f3c12e6265e674c43cfe71350c09.png" /></dd>
</dl>
<p>où <i>S</i><sub>2<i>n</i></sub> est le <a href="../../../../articles/g/r/o/Groupe_sym%C3%A9trique.html" title="Groupe symétrique">groupe symétrique</a> et sgn(σ) est la <a href="../../../../articles/s/i/g/Signature_%28alg%C3%A8bre%29.html" title="Signature (algèbre)">signature</a> de σ.</p>
<p><a name="Simplification" id="Simplification"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Simplification">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Simplification</span></h3>
<p>Cette définition peut être simplifiée en utilisant l'antisymétrie de la matrice, ce qui évite d'additionner toutes les <a href="../../../../articles/p/e/r/Permutation.html" title="Permutation">permutations</a> possibles.</p>
<p>Soit Π l'ensemble de toutes les <a href="../../../../articles/p/a/r/Partition_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Partition (mathématiques)">partitions</a> de {1, 2, …, 2<i>n</i>} en paires, indépendamment de l'ordre. Il y en a (2<i>n</i> − 1). Un élément α ∈ Π peut être écrit sous la forme&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}" src="../../../../math/5/0/0/5009f5c342d444f31c90b7cb1ea23aaf.png" /></dd>
</dl>
<p>avec <i>i</i><sub><i>k</i></sub> &lt; <i>j</i><sub><i>k</i></sub> et <img class="tex" alt="i_1 &lt; i_2 &lt; \cdots &lt; i_n" src="../../../../math/b/7/7/b779f470f8f268ba779e2d79334befcc.png" />. Soit</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\pi=\begin{bmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; \cdots &amp; 2n \\ i_1 &amp; j_1 &amp; i_2 &amp; j_2 &amp; \cdots &amp; j_{n} \end{bmatrix}" src="../../../../math/a/b/c/abcc02cc7da72a8fae45a35e0185861a.png" /></dd>
</dl>
<p>la permutation correspondante. Elle ne dépend que de α, indépendamment du choix de π. Étant donnée une partition α,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" A_\alpha =\operatorname{sgn}(\pi)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}." src="../../../../math/8/c/4/8c45e3abcb8a1ba30c4854e168981cd8.png" /></dd>
</dl>
<p>Le Pfaffien de <i>A</i> est alors&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha." src="../../../../math/f/d/a/fda1f90228598a86fa9e4a382fd004d1.png" /></dd>
</dl>
<p>Le Pfaffien d'une matrice antisymétrique <i>n</i>×<i>n</i> pour <i>n</i> impair est défini nul.</p>
<p><a name="D.C3.A9finition_alternative" id="D.C3.A9finition_alternative"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Définition alternative">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Définition alternative</span></h3>
<p>On peut associer, à toute matrice antisymétrique 2<i>n</i>×2<i>n</i> <i>A</i> ={<i>a</i><sub><i>ij</i></sub>}, un <a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Bivecteur">bivecteur</a>&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\omega=\sum_{i&lt;j} a_{ij}\;e^i\wedge e^j." src="../../../../math/b/4/c/b4c8a4a06a54c6b7e37a56e1db5263c6.png" /></dd>
</dl>
<p>où {<i>e</i><sup>1</sup>, <i>e</i><sup>2</sup>, …, <i>e</i><sup>2<i>n</i></sup>} est la base canonique de <b>R</b><sup>2n</sup>. Le Pfaffien est alors défini par&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e^1\wedge e^2\wedge\cdots\wedge e^{2n}," src="../../../../math/5/c/c/5ccc8265f67082109c6030c43acf2b9e.png" /></dd>
</dl>
<p>Ici, ω<sup><i>n</i></sup> dénote le <a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_ext%C3%A9rieur.html" title="Produit extérieur">produit extérieur</a> de <i>n</i> copies de ω avec lui-même.</p>
<p><a name="Exemples" id="Exemples"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Exemples">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemples</span></h2>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\mbox{Pf}\begin{pmatrix}  0 &amp; a \\ -a &amp; 0  \end{pmatrix}=a." src="../../../../math/4/8/3/483ee234dcb0fd030133c54b1fa357d6.png" /></dd>
</dl>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\mbox{Pf}\begin{pmatrix}    0     &amp; a &amp; b &amp; c \\ -a &amp; 0        &amp; d &amp; e  \\   -b      &amp;  -d       &amp; 0&amp; f    \\-c &amp;  -e      &amp; -f &amp; 0 \end{pmatrix}=af-be+dc." src="../../../../math/c/1/5/c1541bfa8d24acce7f4b15da80d60aa6.png" /></dd>
</dl>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\mbox{Pf}\begin{pmatrix}\begin{matrix}0 &amp; \lambda_1\\ -\lambda_1 &amp; 0\end{matrix} &amp;  0 &amp; \cdots &amp; 0 \\0 &amp; \begin{matrix}0 &amp; \lambda_2\\ -\lambda_2 &amp; 0\end{matrix} &amp;  &amp; 0 \\\vdots &amp;  &amp; \ddots &amp; \vdots \\0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; \begin{matrix}0 &amp; \lambda_n\\ \lambda_n &amp; 0\end{matrix}\end{pmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n." src="../../../../math/8/1/b/81b99a0e4d05b9983ce4a29bf2389575.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="Identit.C3.A9s_remarquables" id="Identit.C3.A9s_remarquables"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Identités remarquables">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Identités remarquables</span></h2>
<p><a name="Identit.C3.A9s_g.C3.A9n.C3.A9rales" id="Identit.C3.A9s_g.C3.A9n.C3.A9rales"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Identités générales">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Identités générales</span></h3>
<p>Pour une matrice <i>A</i> antisymétrique 2<i>n</i> × 2<i>n</i> et une matrice arbitraire 2<i>n</i> × 2<i>n</i>, notée <i>B</i>,</p>
<ul>
<li><span class="texhtml">Pf(<i>A</i>)<sup>2</sup> = det(<i>A</i>)</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span class="texhtml">Pf(<i>B</i><i>A</i><i>B</i><sup><i>T</i></sup>) = det(<i>B</i>)Pf(<i>A</i>)</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span class="texhtml">Pf(λ<i>A</i>) = λ<sup><i>n</i></sup>Pf(<i>A</i>)</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span class="texhtml">Pf(<i>A</i><sup><i>T</i></sup>) = ( − 1)<sup><i>n</i></sup>Pf(<i>A</i>)</span></li>
</ul>
<p><a name="Matrices_diagonales_par_blocs" id="Matrices_diagonales_par_blocs"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Matrices diagonales par blocs">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Matrices diagonales par blocs</span></h3>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="A_1\oplus A_2=\begin{pmatrix}  A_1 &amp; 0 \\ 0 &amp; A_2 \end{pmatrix}" src="../../../../math/a/f/2/af201c692bc89a943855d570e7fa230e.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<dl>
<dd>Pf(<i>A</i><sub>1</sub>⊕<i>A</i><sub>2</sub>) = Pf(<i>A</i><sub>1</sub>)Pf(<i>A</i><sub>2</sub>).</dd>
</dl>
<p><a name="Matrice_n_.C3.97_n_quelconque_M" id="Matrice_n_.C3.97_n_quelconque_M"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Matrice n × n quelconque M">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Matrice <i>n</i> × <i>n</i> quelconque <i>M</i></span></h3>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\mbox{Pf}\begin{pmatrix}  0 &amp; M \\ -M^T &amp; 0  \end{pmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M." src="../../../../math/0/a/4/0a4e9998d83603ac35feb0ff99d570dc.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rences" id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Références</span></h3>
<p><br /></p>
<ul>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue&#160;: anglais">(en)</span> Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en <a href="../../../../articles/a/n/g/Anglais.html" title="Anglais">anglais</a> intitulé «&#160;<i><span class="plainlinks"><a href="http://en.wikipedia.org../../../../articles/p/f/a/Pfaffian.html" class="external text" title="http://en.wikipedia.org../../../../articles/p/f/a/Pfaffian.html" rel="nofollow">Pfaffian</a></span></i>&#160;».</li>
</ul>
<p><a name="Liens_externes" id="Liens_externes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Liens externes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens externes</span></h3>
<ul>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue&#160;: anglais">(en)</span> <a href="http://planetmath.org/encyclopedia/Pfafian.html" class="external text" title="http://planetmath.org/encyclopedia/Pfafian.html" rel="nofollow">Pfaffien (Pfaffian) sur PlanetMath.org</a></li>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue&#160;: anglais">(en)</span> <a href="http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/pfaff/" class="external text" title="http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/pfaff/" rel="nofollow">Preuve de la relation Pfaffien/Déterminant</a></li>
</ul>
<p><a name="Articles_connexes" id="Articles_connexes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/p/f/a/Pfaffien.html" title="Modifier la section&#160;: Articles connexes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Articles connexes</span></h3>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/m/a/t/Matrice_symplectique.html" title="Matrice symplectique">Matrice symplectique</a>&#160;;</li>
<li><a href="../../../../articles/d/%C3%A9/t/D%C3%A9terminant_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Déterminant (mathématiques)">Déterminant</a>&#160;;</li>
<li><a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_ext%C3%A9rieur.html" title="Produit extérieur">Produit extérieur</a>&#160;;</li>
<li><a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire.html" title="Algèbre linéaire">Algèbre linéaire</a> et <a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre_multilin%C3%A9aire.html" title="Algèbre multilinéaire">multilinéaire</a>;</li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>


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