Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/i/d/e/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="fr" lang="fr" dir="ltr">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<!-- headlinks removed -->
<link rel="shortcut icon" href="../../../../misc/favicon.ico"/>
<title>Identités de Bianchi - Wikipédia</title>
<style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../skins/offline/main.css"; /*]]>*/</style>
<link rel="stylesheet" type="text/css" media="print" href="../../../../skins/common/commonPrint.css" />
<!--[if lt IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE50Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE55Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 6]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE60Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE]><script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/IEFixes.js"></script>
<meta http-equiv="imagetoolbar" content="no" /><![endif]-->
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/wikibits.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/md5.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/utf8.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/lookup.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../raw/gen.js"></script> <style type="text/css">/*<![CDATA[*/
@import "../../../../raw/MediaWiki%7ECommon.css";
@import "../../../../raw/MediaWiki%7EMonobook.css";
@import "../../../../raw/gen.css";
/*]]>*/</style> </head>
<body
class="ns-0">
<div id="globalWrapper">
<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Identités de Bianchi</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Racine carrée bleue.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/35px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="35" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant les <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>Les <b>identités de Bianchi</b> sont des équations satisfaites par le <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur_de_Riemann_296b.html" title="Tenseur de Riemann">tenseur de Riemann</a> <img class="tex" alt="{R^{\alpha}}_{\beta \gamma \delta}" src="../../../../math/8/4/3/8439ebc7e51a283e1557d5e6decdbf44.png" />, objet mathématique qui reflète la courbure de la variété riemannienne sur laquelle il est calculé.</p>
<p><a name="Seconde_identit.C3.A9_de_Bianchi" id="Seconde_identit.C3.A9_de_Bianchi"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/i/d/e/Identit%C3%A9s_de_Bianchi_6b9e.html" title="Modifier la section : Seconde identité de Bianchi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Seconde identité de Bianchi</span></h3>
<p>Celle-ci est le pendant, pour le tenseur de Riemann, des équations de Maxwell pour le tenseur électromagnétique <img class="tex" alt="{F^{\alpha}}_{\beta}" src="../../../../math/2/2/0/220acb1a5371ea65e8548a6cedf64e6c.png" />. Rappelons que le premier groupe d'équations de Maxwell s'écrit :</p>
<dl>
<dd><span class="texhtml"><i>F</i><sub>αβ;γ</sub> + <i>F</i><sub>βγ;α</sub> + <i>F</i><sub>γα;β</sub> = 0</span></dd>
</dl>
<p>De même, la seconde identité de Bianchi s'énonce comme :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="{R^{\alpha}}_{\beta \gamma \delta;\epsilon} + {R^{\alpha}}_{\beta \delta \epsilon ; \gamma} + {R^{\alpha}}_{\beta \epsilon \gamma ; \delta} = 0" src="../../../../math/4/0/6/406d32af4329eea6b386248c98f8aa56.png" /></dd>
</dl>
<p>Comme <img class="tex" alt="{R^{\alpha}}_{\beta \gamma \delta} = {R^{\alpha}}_{\beta [\gamma \delta]}" src="../../../../math/7/4/c/74c290c796075a4390ca2f2cb3c6c756.png" />, cette identité peut se noter sous une forme « condensée » : <img class="tex" alt=" {R^{\alpha}}_{\beta [\gamma \delta;\epsilon]} = 0 " src="../../../../math/5/d/a/5dafd1d96183528b36777c8cb6fa8159.png" /></p>
<p><a name="Interpr.C3.A9tation" id="Interpr.C3.A9tation"></a></p>
<h4><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/i/d/e/Identit%C3%A9s_de_Bianchi_6b9e.html" title="Modifier la section : Interprétation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Interprétation</span></h4>
<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width:302px;"><a href="../../../../articles/i/l/l/Image%7EIllustration_identit%C3%A9_de_Bianchi.png_5239.html" class="image" title="Pourquoi l'identité de Bianchi ? (Schéma d'après Misner, Thorne et Wheeler, Gravitation, p. 372)"><img alt="Pourquoi l'identité de Bianchi ? (Schéma d'après Misner, Thorne et Wheeler, Gravitation, p. 372)" src="../../../../images/local/thumb/a/aa/Illustration_identité_de_Bianchi.png/300px-Illustration_identité_de_Bianchi.png" width="300" height="219" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/i/l/l/Image%7EIllustration_identit%C3%A9_de_Bianchi.png_5239.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Pourquoi l'identité de Bianchi ? (Schéma d'après Misner, Thorne et Wheeler, Gravitation, p. 372)</div>
</div>
</div>
<p>La figure à gauche aide à comprendre le pourquoi de l'identité de Bianchi. Lorsque, dans un espace courbe, le vecteur <b>A</b> est déplacé parallèlement à lui-même le long d'une des faces du cube élémentaire de dimensions {dx, dy, dz}, suivant l'une des flèches en bleu, il ne revient pas, en général, égal à lui-même à son point de départ, mais subit une « déformation » notée ici <span class="texhtml">δ<i>A</i></span>.</p>
<p>Dans le cas de la flèche bleu sombre, au premier ordre, on peut écrire que ce déplacement <span class="texhtml">δ<i>A</i></span> vérifie :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" -\delta A^\alpha = {R^\alpha}_{\beta yz} (x + dx) A^\beta dy dz." src="../../../../math/9/9/4/994423a2ea0d879db8927881606e0b67.png" /></dd>
</dl>
<p>La face opposée apporte une contribution opposée, à ceci près que <img class="tex" alt="{R^\alpha}_{\beta yz}" src="../../../../math/e/5/3/e5368dd2739981e7bd7e8aec908beeab.png" /> est maintenant évalué en <span class="texhtml"><i>x</i></span> plutôt qu'en <span class="texhtml"><i>x</i> + <i>d</i><i>x</i></span>. La somme de ces deux contributions donne :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \frac {\partial {R^\alpha}_{\beta yz}} {\partial x} A^\beta dx dy dz = {R^\alpha}_{\beta yz,x} A^\beta dx dy dz." src="../../../../math/7/2/7/727ab24de2cffcef55dfc9ca060da12d.png" /></dd>
</dl>
<p>Le même raisonnement conduit sur la face située en haut (en z + dz) et en arrière (y + dy) donne la même équation en échangeant les rôles de x, y et z. Au total, en considérant les 3 doublets de faces opposées, on trouve :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\delta A^\alpha = {R^\alpha}_{\beta yz,x} + {R^\alpha}_{\beta zx,y} + {R^\alpha}_{\beta xy,z}" src="../../../../math/9/5/6/956f8c56836af30e7fbe56933896b010.png" /></dd>
</dl>
<p>Examinons maintenant la figure. Lorsque le vecteur <b>A</b> parcourt les six faces du cube, on voit que chaque arête est parcourue une fois dans un sens, et une fois dans l'autre (chaque face étant orientée ici dans le sens des aiguilles d'une montre). Les contributions élémentaires de chaque arête s'annulent donc deux à deux (car le <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur_de_Riemann_296b.html" title="Tenseur de Riemann">tenseur de Riemann</a> est un opérateur linéaire !). Ceci implique que la valeur totale de <span class="texhtml">δ<i>A</i></span> sur l'ensemble du cube est nulle (« la frontière d'une frontière est de mesure nulle »).</p>
<p>On a donc, au final :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="{R^\alpha}_{\beta yz,x} + {R^\alpha}_{\beta zx,y} + {R^\alpha}_{\beta xy,z} = 0" src="../../../../math/3/2/6/326b0d8d67cc43b73d6070c5dd08f885.png" /></dd>
</dl>
<p>c'est-à-dire l'identité de Bianchi. Le passage de la dérivée simple « , » à la dérivée covariante « ; » s'opère en considérant que l'on raisonne avec les coordonnées normales de Riemann, où les coefficients de Riemann-Christoffel s'annulent (<img class="tex" alt="{\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} = 0" src="../../../../math/4/3/7/437987332a68690d09e381c66c05559b.png" />), donc « , » = « ; ».</p>
<!--
NewPP limit report
Preprocessor node count: 311/1000000
Post-expand include size: 2271/2048000 bytes
Template argument size: 692/2048000 bytes
Expensive parser function count: 2/500
-->
<div class="printfooter">
</div>
<div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégorie</a> : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/Cat%C3%A9gorie%7EG%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne_5b56.html" title="Catégorie:Géométrie riemannienne">Géométrie riemannienne</a></span></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-cats-hidden">Catégorie cachée : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/w/i/k/Cat%C3%A9gorie%7EWikip%C3%A9dia%7E%C3%A9bauche_math%C3%A9matiques_ff1e.html" title="Catégorie:Wikipédia:ébauche mathématiques">Wikipédia:ébauche mathématiques</a></span></div></div></div> <!-- end content -->
<div class="visualClear"></div>
</div>
</div>
</div>
<div id="column-one">
<div id="p-cactions" class="portlet">
<h5>Views</h5>
<ul>
<li id="ca-nstab-main"
class="selected" ><a href="../../../../articles/i/d/e/Identit%C3%A9s_de_Bianchi_6b9e.html">Article</a></li><li id="ca-talk"
class="new" ><a href="../../../../articles/i/d/e/Discuter%7EIdentit%C3%A9s_de_Bianchi_048a.html">Discussion</a></li><li id="ca-current"
><a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9s_de_Bianchi">Version actuelle</a></li> </ul>
</div>
<div class="portlet" id="p-logo">
<a style="background-image: url(../../../../misc/Wiki.png);"
href="../../../../index.html"
title="Accueil"></a>
</div>
<script type="text/javascript"> if (window.isMSIE55) fixalpha(); </script>
<div class='portlet' id='p-navigation'>
<h5>Navigation</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-mainpage"><a href="../../../../index.html">Accueil</a></li>
<li id="n-thema"><a href="../../../../articles/a/c/c/Portail%7EAccueil_bcc9.html">Portails thématiques</a></li>
<li id="n-alphindex"><a href="../../../../articles/t/o/u/Special%7EToutes_les_pages_fabc.html">Index alphabétique</a></li>
<li id="n-randompage"><a href="../../../../articles/p/a/g/Special%7EPage_au_hasard_9c81.html">Un article au hasard</a></li>
<li id="n-contact"><a href="../../../../articles/c/o/n/Wikip%C3%A9dia%7EContact_929e.html">Contacter Wikipédia</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class='portlet' id='p-Contribuer'>
<h5>Contribuer</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-help"><a href="../../../../articles/s/o/m/Aide%7ESommaire_c9f0.html">Aide</a></li>
<li id="n-portal"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_5272.html">Communauté</a></li>
<li id="n-recentchanges"><a href="../../../../articles/m/o/d/Special%7EModifications_r%C3%A9centes_b222.html">Modifications récentes</a></li>
<li id="n-aboutwp"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_des_nouveaux_arrivants_0784.html">Accueil des nouveaux arrivants</a></li>
<li id="n-sitesupport"><a href="http://meta.wikimedia.org/wiki/Faire_un_don:_explication">Faire un don</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="p-search" class="portlet">
<h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5>
<div id="searchBody" class="pBody">
<form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div>
<input id="searchInput" name="search" type="text"
accesskey="C" value="" />
<input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton"
value="Aller" />
</div></form>
</div>
</div>
</div><!-- end of the left (by default at least) column -->
<div class="visualClear"></div>
<div id="footer">
<div id="f-poweredbyico"><a href="http://www.mediawiki.org/"><img src="../../../../skins/common/images/poweredby_mediawiki_88x31.png" alt="Powered by MediaWiki" /></a></div> <div id="f-copyrightico"><a href="http://wikimediafoundation.org/"><img src="../../../../misc/wikimedia-button.png" border="0" alt="Wikimedia Foundation"/></a></div> <ul id="f-list">
<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 15 février 2008 à 03:11 par Utilisateur <a href="../../../../articles/l/o/v/Utilisateur%7ELoveless_6fc1.html" title="Utilisateur:Loveless">Loveless</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/s/i/g/Utilisateur%7ESigo_1635.html" title="Utilisateur:Sigo">Sigo</a>, <a href="../../../../articles/%C2%B2/%C2%B0/%C2%B9/Utilisateur%7E%C2%B2%C2%B0%C2%B9%C2%B0%C2%B0.html" title="Utilisateur:²°¹°°">²°¹°°</a>, <a href="../../../../articles/m/e/o/Utilisateur%7EMeodudlye_5644.html" title="Utilisateur:Meodudlye">Meodudlye</a> et <a href="../../../../articles/r/a/i/Utilisateur%7ERaizin_5afc.html" title="Utilisateur:Raizin">Raizin</a>.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
Wikipedia® est une marque déposée de la <a href="http://wikimediafoundation.org/wiki/Accueil" title="Wikimedia Foundation">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a class="internal" href="http://en.wikipedia.org/wiki/501(c)" title="501(c)">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br/></li> <li id="f-about"><a href="../../../../articles/%C3%A0/_/p/Wikip%C3%A9dia%7E%C3%80_propos_5de1.html" title="Wikipédia:À propos">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="f-disclaimer"><a href="../../../../articles/a/v/e/Wikip%C3%A9dia%7EAvertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux_fef1.html" title="Wikipédia:Avertissements généraux">Avertissements</a></li> </ul>
</div>
</div>
</body>
</html>