Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorie des modèles - Wikipédia</title>
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<h1 class="firstHeading">Théorie des modèles</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<p>La <b>théorie des modèles</b> est une théorie de la vérité mathématique. Elle consiste essentiellement à dire qu’une théorie est mathématiquement valide si on peut définir un univers dans lequel elle est vraie.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Pr.C3.A9sentation_de_la_th.C3.A9orie_des_mod.C3.A8les"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Présentation de la théorie des modèles</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Les_mod.C3.A8les_du_calcul_propositionnel_classique"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Les modèles du calcul propositionnel classique</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Exemples"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Exemples</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Les_mod.C3.A8les_dans_le_calcul_des_pr.C3.A9dicats"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Les modèles dans le calcul des prédicats</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#L.27interpr.C3.A9tation_des_formules_atomiques_dans_un_mod.C3.A8le"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">L'interprétation des formules atomiques dans un modèle</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#La_d.C3.A9finition_de_la_v.C3.A9rit.C3.A9_des_formules_complexes"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">La définition de la vérité des formules complexes</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-3"><a href="#Exemples_2"><span class="tocnumber">3.2.1</span> <span class="toctext">Exemples</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Les_mod.C3.A8les_de_la_logique_intuitionniste"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Les modèles de la logique intuitionniste</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Exemples_d.27application_des_mod.C3.A8les"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Exemples d'application des modèles</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_.C3.A9galement"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Voir également</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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<p><a name="Pr.C3.A9sentation_de_la_th.C3.A9orie_des_mod.C3.A8les" id="Pr.C3.A9sentation_de_la_th.C3.A9orie_des_mod.C3.A8les"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Présentation de la théorie des modèles">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Présentation de la théorie des modèles</span></h2>
<p>Elle a été formulée d’une façon complète et cohérente d’abord par <a href="../../../../articles/a/l/f/Alfred_Tarski_518d.html" title="Alfred Tarski">Alfred Tarski</a>, qui l'appelait aussi la <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/m/S%C3%A9mantique.html" title="Sémantique">sémantique</a> du <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_pr%C3%A9dicats.html" title="Calcul des prédicats">calcul des prédicats</a>, pour deux raisons.</p>
<ul>
<li>Elle donne une définition de la vérité et de la conséquence logique indépendante de ce que donnent les démonstrations<sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> en <a href="../../../../articles/l/o/g/Logique.html" title="Logique">logique</a>.</li>
<li>Elle donne une réponse partielle à la question de la signification du langage, parce que les mots ont du sens s'ils permettent de faire des phrases vraies dans un monde possible.</li>
</ul>
<p>Mais ses racines sont beaucoup plus lointaines. Un premier modèle délibérément créé apparaît avec la naissance des <a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/G%C3%A9om%C3%A9trie_non_euclidienne.html" title="Géométrie non euclidienne">géométries non euclidiennes</a>. D'abord purement déductives, ces géométries ont peu à peu été acceptées à partir du moment où l'on a pu en donner des modèles, c'est-à-dire des supports géométriques avec des interprétations spécifiques pour désigner les droites. Poincaré par exemple donne un <a href="../../../../articles/d/e/m/Demi-plan_de_Poincar%C3%A9_1f41.html" title="Demi-plan de Poincaré">modèle du plan hyperbolique</a> à partir d'un demi-plan du plan complexe.</p>
<p>Symétriquement, si l'on peut dire, l'abbé Buée et <a href="../../../../articles/j/e/a/Jean-Robert_Argand_77e2.html" title="Jean-Robert Argand">Jean-Robert Argand</a> (plan d'Argand), puis ensuite <a href="../../../../articles/c/a/r/Carl_Friedrich_Gauss_b24e.html" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a> et <a href="../../../../articles/c/a/u/Cauchy.html" title="Cauchy">Cauchy</a> donnent un modèle géométrique des <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombres_complexes.html" class="mw-redirect" title="Nombres complexes">nombres complexes</a>.</p>
<p>Un modèle sert d'abord de structure pour valider une théorie logique ou mathématique.</p>
<p>On dira qu'une théorie est <b>non contradictoire</b> s'il existe un modèle dans lequel elle est vraie. On dira qu'elle est <b>consistante</b> (ou <b>cohérente</b>) si elle ne permet pas de prouver à la fois une formule et sa négation. Il n'est pas toujours facile ou possible de montrer qu'une théorie est consistante. Il est parfois plus facile de montrer qu'elle est non contradictoire, puisqu'il suffit pour cela de mettre en évidence un modèle. Le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del_eb7c.html" title="Théorème de complétude de Gödel">Théorème de complétude de Gödel</a> peut être considéré comme le théorème fondamental de la théorie des modèles. Il établit une équivalence entre les deux notions de non-contradiction et de consistance, et permet de montrer qu'une formule est vraie dans tout modèle si et seulement si elle est prouvable dans un système de déduction adéquat. Il clôt des recherches qui remontent au <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem_2ecd.html" title="Théorème de Löwenheim-Skolem">théorème de Löwenheim</a> (1915) et qui s’inspirent d’une approche hilbertienne de la vérité mathématique. Un modèle donne donc la certitude de travailler sur une théorie qui ne débouchera pas sur une contradiction.</p>
<div class="references-small" style="column-count:1; -moz-column-count:1; -webkit-column-count:1;">
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
<li id="cite_note-0"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-0" title="">↑</a></span> Une <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/m/D%C3%A9monstration.html" title="Démonstration">démonstration</a> est donnée par des règles de déduction et des axiomes.</li>
</ol>
</div>
</div>
<p><a name="Les_mod.C3.A8les_du_calcul_propositionnel_classique" id="Les_mod.C3.A8les_du_calcul_propositionnel_classique"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Les modèles du calcul propositionnel classique">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les modèles du calcul propositionnel classique</span></h2>
<p>En <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_propositionnel.html" class="mw-redirect" title="Calcul propositionnel">calcul propositionnel</a> de la <a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_classique.html" title="Logique classique">logique classique</a>, il n'y a pas de quantificateurs existentiels ou universels. Les formules sont constituées de propositions atomiques reliées itérativement par des connecteurs logiques. Un modèle consiste à définir, pour chaque variable propositionnelle atomique, une valeur de vérité (vraie ou fausse). On peut alors en déduire la vérité ou la fausseté de toute formule complexe.</p>
<p>La complexité d'une formule est mesurée par le nombre maximal d’opérateurs emboîtés. Par exemple dans <img class="tex" alt="(\lnot P) \lor (Q \land R)" src="../../../../math/d/4/e/d4e6f870510da6c10db9b94b9236c995.png" /> , le <i>ou</i> <img class="tex" alt="\lor" src="../../../../math/5/a/d/5addb134385e47a2efa484f6306e75a1.png" /> et le <i>non</i> <img class="tex" alt="\lnot" src="../../../../math/8/e/f/8efca960b209402104b448a5ad9486a8.png" /> sont emboîtés l’un dans l’autre. Mais le <i>non</i> et le <i>et</i> <img class="tex" alt="\land" src="../../../../math/9/c/a/9cae4437756a15b8e44ec23e07fb1f65.png" /> ne le sont pas. Cette proposition est de complexité 2 parce qu’elle a au maximum deux opérateurs emboîtés.</p>
<p>Les formules de complexité 0 sont les formules atomiques. C'est le modèle choisi qui définit leur valeur de vérité.</p>
<p>Supposons que la vérité et la fausseté de toutes les formules de complexité <span class="texhtml"><i>n</i></span> ait été définie. Montrons comment définir la vérité et la fausseté des formules de complexité <span class="texhtml"><i>n</i> + 1</span>. Soit <span class="texhtml"><i>P</i></span> une formule de complexité <span class="texhtml"><i>n</i> + 1</span>, obtenue à partir de la formule ou des formules <span class="texhtml"><i>Q</i></span> et <span class="texhtml"><i>R</i></span> de complexité <span class="texhtml"><i>n</i></span> ou inférieure, au moyen d'un connecteur logique. La vérité ou la fausseté de <span class="texhtml"><i>Q</i></span> et <span class="texhtml"><i>R</i></span> est donc déjà définie.</p>
<p>a) <img class="tex" alt="P = \lnot Q" src="../../../../math/3/e/d/3edf46b843efcf5f8d68efd7919627d1.png" /> : Si <span class="texhtml"><i>Q</i></span> est vrai alors <span class="texhtml"><i>P</i></span> est faux, par définition de la négation. Si <span class="texhtml"><i>Q</i></span> est faux alors <span class="texhtml"><i>P</i></span> est vrai, pour la même raison.</p>
<p>b) <img class="tex" alt="P = (Q \land R)" src="../../../../math/e/4/b/e4b4bbaa188eede860e3e7fd91e0540c.png" /> : Si <span class="texhtml"><i>Q</i></span> et <span class="texhtml"><i>R</i></span> sont tous les deux vrais alors <span class="texhtml"><i>P</i></span> aussi, mais <span class="texhtml"><i>P</i></span> est faux dans tous les autres cas.</p>
<p>c) <img class="tex" alt="P = (Q \lor R)" src="../../../../math/7/6/5/7658553ddcb2b771b8ad4a10a8cd0f88.png" /> : Si <span class="texhtml"><i>Q</i></span> et <span class="texhtml"><i>R</i></span> sont tous les deux faux alors <span class="texhtml"><i>P</i></span> aussi, mais <span class="texhtml"><i>P</i></span> est vrai dans tous les autres cas.</p>
<p>d) <img class="tex" alt="P = (Q \to R)" src="../../../../math/d/5/0/d503864cdee9d6bd20dd466e63d48cb4.png" /> : Si <span class="texhtml"><i>Q</i></span> est vrai et <span class="texhtml"><i>R</i></span> est faux alors <span class="texhtml"><i>P</i></span> est faux, mais <span class="texhtml"><i>P</i></span> est vrai dans tous les autres cas.</p>
<p>Une formule vraie dans tout modèle s'appelle une <b>tautologie</b>. Si la formule possède <span class="texhtml"><i>n</i></span> variables propositionnelles atomiques, il suffit en fait de vérifier la vérité de la formule dans les <span class="texhtml">2<sup><i>n</i></sup></span> modèles possibles donnant les diverses valeurs de vérité aux <span class="texhtml"><i>n</i></span> propositions atomiques. Le nombre de modèles étant fini, il en résulte que le calcul des propositions est décidable : il existe un algorithme permettant de décider si une formule est une tautologie ou non.</p>
<p>Par ailleurs, le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compl%C3%A9tude_du_calcul_des_propositions.html" class="mw-redirect" title="Théorème de complétude du calcul des propositions">théorème de complétude du calcul des propositions</a> établit l'équivalence entre être une tautologie et être prouvable dans un système de déduction adéquat.</p>
<p><a name="Exemples" id="Exemples"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Exemples">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemples</span></h3>
<p>Montrons que <img class="tex" alt="((P \to Q) \to P) \to P" src="../../../../math/f/7/7/f77c615b51b2f57260fee39e469eb962.png" /> (<a href="../../../../articles/l/o/i/Loi_de_Peirce_e645.html" title="Loi de Peirce">loi de Peirce</a>) est une tautologie, en utilisant la règle d). Si <span class="texhtml"><i>P</i></span> est vraie, alors <img class="tex" alt="((P \to Q) \to P) \to P" src="../../../../math/f/7/7/f77c615b51b2f57260fee39e469eb962.png" /> étant de la forme <img class="tex" alt="R \to P" src="../../../../math/6/2/d/62de19d841e57a9fcab267d13984b481.png" /> est vraie. Si <span class="texhtml"><i>P</i></span> est faux, alors <img class="tex" alt="P \to Q" src="../../../../math/4/8/e/48e16a4e3a881e6ad393cf2d69cd6a78.png" /> est vrai, <img class="tex" alt="(P \to Q) \to P" src="../../../../math/9/7/6/9766fbee27c53a1ab29622462f62e32b.png" /> est faux, et <img class="tex" alt="((P \to Q) \to P) \to P" src="../../../../math/f/7/7/f77c615b51b2f57260fee39e469eb962.png" /> est vrai.</p>
<p>Étant vrai dans tout modèle, <img class="tex" alt="((P \to Q) \to P) \to P" src="../../../../math/f/7/7/f77c615b51b2f57260fee39e469eb962.png" /> est une tautologie. Elle est donc également prouvable au moyen de systèmes de déduction, par exemple la <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/d/D%C3%A9duction_naturelle.html" title="Déduction naturelle">déduction naturelle</a>.</p>
<p>Par contre, <img class="tex" alt="(P \to Q) \to P" src="../../../../math/9/7/6/9766fbee27c53a1ab29622462f62e32b.png" /> n'est pas prouvable. En effet, dans un modèle où <span class="texhtml"><i>P</i></span> est faux, <img class="tex" alt="(P \to Q) \to P" src="../../../../math/9/7/6/9766fbee27c53a1ab29622462f62e32b.png" /> est également faux.</p>
<p><a name="Les_mod.C3.A8les_dans_le_calcul_des_pr.C3.A9dicats" id="Les_mod.C3.A8les_dans_le_calcul_des_pr.C3.A9dicats"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Les modèles dans le calcul des prédicats">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les modèles dans le calcul des prédicats</span></h2>
<p>Dans le <a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_pr%C3%A9dicats.html" title="Calcul des prédicats">calcul des prédicats</a> du premier ordre de la <a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_classique.html" title="Logique classique">logique classique</a>, les prédicats utilisés s'appliquent sur des variables. Pour définir un modèle, il convient donc d'introduire un ensemble dont les éléments serviront de valeurs à attribuer aux variables. Comme pour le calcul propositionnel, on commence par définir la vérité ou la fausseté des formules atomiques dans un domaine donné, avant de définir de proche en proche la vérité ou la fausseté des formules composées. On peut ainsi définir par étapes successives la vérité de toutes les formules complexes de la logique du premier ordre composées à partir des symboles fondamentaux d’une théorie.</p>
<p>Une formule est atomique lorsqu’elle ne contient pas d’opérateurs logiques (négation, conjonction, existentiation, ...). Atomique ne veut pas dire ici qu’une formule ne contient qu’un seul symbole mais seulement qu’elle contient un seul symbole de prédicat fondamental. Les autres noms qu’elle contient sont des noms d’objet et ils peuvent être très complexes. Qu’une formule est atomique veut dire qu’elle ne contient pas de sous-formule. Il s’agit d’une atomicité logique.</p>
<p><a name="L.27interpr.C3.A9tation_des_formules_atomiques_dans_un_mod.C3.A8le" id="L.27interpr.C3.A9tation_des_formules_atomiques_dans_un_mod.C3.A8le"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : L'interprétation des formules atomiques dans un modèle">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">L'interprétation des formules atomiques dans un modèle</span></h3>
<p>Une interprétation d'un langage du premier ordre est définie par les éléments suivants.</p>
<ul>
<li>Un ensemble U non vide, l’univers de la théorie. À chaque nom d’objet (constante) mentionné dans le langage est associé un élément de U.</li>
<li>A chaque prédicat unaire (à une place) fondamental mentionné dans le langage est associé une partie de U, l’extension de ce prédicat. C'est l'ensemble des valeurs pour lequel on décide que le prédicat est vrai. À chaque prédicat binaire fondamental mentionné dans le langage est associé une partie du produit cartésien U × U, c’est l’ensemble de tous les couples pour lesquels le prédicat est vrai. De même pour les prédicats ternaires, ou d’arité supérieure.</li>
<li>A chaque opérateur unaire mentionné dans le langage est associé une fonction de U dans U. À chaque opérateur binaire mentionné dans le langage est associé une fonction de U × U dans U. De même pour les opérateurs d’arité supérieure.</li>
</ul>
<p>L’ensemble U, ou l’interprétation dont il fait partie, est un modèle d’une théorie lorsque tous les axiomes de cette théorie sont vrais relativement à cette interprétation.</p>
<p>L'usage du mot, modèle, est parfois multiple. Tantôt il désigne l'ensemble U, tantôt l'ensemble des formules atomiques vraies, tantôt l'interprétation. Souvent, quand on dit un modèle d'une théorie, on suppose automatiquement qu'elle y est vraie. Mais on dit aussi qu'une théorie est fausse dans un modèle.</p>
<p><a name="La_d.C3.A9finition_de_la_v.C3.A9rit.C3.A9_des_formules_complexes" id="La_d.C3.A9finition_de_la_v.C3.A9rit.C3.A9_des_formules_complexes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : La définition de la vérité des formules complexes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">La définition de la vérité des formules complexes</span></h3>
<p>Dès qu’on a une interprétation d’une théorie, la vérité de toutes les formules qui mentionnent seulement les constantes, les prédicats et les opérateurs fondamentaux, peut être définie. On commence par les formules atomiques et on procède récursivement aux formules plus complexes.</p>
<p>On reprend les règles définies dans le paragraphe relatif aux modèles du calcul propositionnel, et on définit les deux règles supplémentaires, relatives au quantificateur universel et existentiel.</p>
<p>e) <img class="tex" alt="P = \forall x \;Q" src="../../../../math/e/7/8/e7876051754af0ec4dc2a3644c344d66.png" /> : Si l'une des formules obtenues en substituant un élément de U à toutes les occurrences libres de <span class="texhtml"><i>x</i></span> dans l'interprétation de <span class="texhtml"><i>Q</i></span> est fausse alors <span class="texhtml"><i>P</i></span> est fausse, sinon, si <span class="texhtml"><i>Q</i></span> n'a pas d'autres variables libres que <span class="texhtml"><i>x</i></span>, <span class="texhtml"><i>P</i></span> est vraie.</p>
<p>f) <img class="tex" alt="P = \exists x \;Q" src="../../../../math/3/f/b/3fb9615add8cfab7c6363f51eaae5ab1.png" /> : Si l'une des formules obtenues en substituant un élément de U à toutes les occurrences libres de <span class="texhtml"><i>x</i></span> dans l'interprétation de <span class="texhtml"><i>Q</i></span> est vraie alors <span class="texhtml"><i>P</i></span> est vraie, sinon, si <span class="texhtml"><i>Q</i></span> n'a pas d'autre variables libres que <span class="texhtml"><i>x</i></span>, <span class="texhtml"><i>P</i></span> est fausse.</p>
<p>e) et f) permettent de définir la vérité et la fausseté de toutes les formules closes, c’est-à-dire sans variables libres.</p>
<p>La vérité et la fausseté de toutes les formules complexes, sans variables libres, de la logique du premier ordre, peut donc être déterminée dans un modèle donné.</p>
<p>Une formule vraie dans tout modèle s'appelle loi logique ou théorème. Comme pour le calcul propositionnel, le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del_eb7c.html" title="Théorème de complétude de Gödel">théorème de complétude de Gödel</a> énonce l'équivalence entre loi logique et formule prouvable dans un système de déduction adéquat. Ce résultat est remarquable, compte tenu du fait que, contrairement au calcul des propositions, le nombre de modèles pouvant être envisagé est en général infini. D'ailleurs, contrairement au calcul des propositions, le calcul des prédicats n'est pas décidable.</p>
<p><a name="Exemples_2" id="Exemples_2"></a></p>
<h4><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Exemples">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemples</span></h4>
<p>La formule <img class="tex" alt="\exist x \; \forall y \; (R(x) \to R(y))" src="../../../../math/1/e/1/1e18f0fc8f45fa0be24ae4edef428834.png" /> est une loi logique. En effet, considérons un modèle U non vide. Il y a alors deux possibilités.</p>
<ul>
<li>Ou bien on attribue la valeur vraie à R(<i>y</i>) lorsque <i>y</i> se voit attribué une valeur quelconque dans <i>U</i>, et dans ce cas, on attribue à <i>x</i> une valeur quelconque dans U. L'implication <img class="tex" alt="R(x) \to R(y)" src="../../../../math/f/1/b/f1bd93f5f7a54fbfaa90141010c947f2.png" /> est alors vraie pour tous les <i>y</i> dans U, donc <img class="tex" alt="\forall y \; (R(x) \to R(y))" src="../../../../math/2/5/d/25d67903ff5529fd7db176f35c57c0f5.png" /> est également vraie dans U, et <i>x</i> désignant également un élément de U, <img class="tex" alt="\exist x \; \forall y \; (R(x) \to R(y))" src="../../../../math/1/e/1/1e18f0fc8f45fa0be24ae4edef428834.png" /> est vraie dans U.</li>
<li>Ou bien on attribue la valeur faux à R(<i>y</i>) pour au moins un <i>y</i> dans U. Désignons alors par <i>x</i> cet élément. Alors pour tout <i>y</i> de U, <img class="tex" alt="R(x) \to R(y)" src="../../../../math/f/1/b/f1bd93f5f7a54fbfaa90141010c947f2.png" /> est vraie, donc <img class="tex" alt="\forall y \; (R(x) \to R(y))" src="../../../../math/2/5/d/25d67903ff5529fd7db176f35c57c0f5.png" /> est vraie dans U, et donc <img class="tex" alt="\exist x \; \forall y \; (R(x) \to R(y))" src="../../../../math/1/e/1/1e18f0fc8f45fa0be24ae4edef428834.png" /> est également vraie.</li>
</ul>
<p>Dans les deux cas, la formule est vraie. U étant quelconque, la formule est vraie dans tout modèle, et peut également être prouvée au moyen d'un système de déduction.</p>
<p>Par contre, la formule <img class="tex" alt="\exists x (P \to Q(x)) \to (P \to \forall x Q(x))" src="../../../../math/6/0/6/6067fdc8e3a99c998bcf37c10e206e46.png" /> n'est pas prouvable. Il suffit de prendre comme modèle un ensemble U à deux éléments <i>a</i> et <i>b</i>, à poser P et Q(<i>a</i>) vraies, et Q(<i>b</i>) faux. <img class="tex" alt="P \to \forall x Q(x)" src="../../../../math/2/2/0/220a9ab1d74dc1b958562d68e8f7b688.png" /> est faux dans U, alors que <img class="tex" alt="\exists x (P \to Q(x))" src="../../../../math/f/a/8/fa8b75d2e2d5bfb7ad6f6fafae8957c6.png" /> est vraie (avec <i>x</i> = <i>a</i>). Il en résulte que <img class="tex" alt="\exists x (P \to Q(x))\to (P \to \forall x Q(x))" src="../../../../math/6/0/6/6067fdc8e3a99c998bcf37c10e206e46.png" /> est fausse dans U. La formule étant falsifiable n'est pas un théorème.</p>
<p><a name="Les_mod.C3.A8les_de_la_logique_intuitionniste" id="Les_mod.C3.A8les_de_la_logique_intuitionniste"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Les modèles de la logique intuitionniste">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les modèles de la logique intuitionniste</span></h2>
<p>Les modèles présentés jusqu'ici sont des modèles de la <a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_classique.html" title="Logique classique">logique classique</a>. Mais il existe d'autres logiques, par exemple la <a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_intuitionniste.html" title="Logique intuitionniste">logique intuitionniste</a> qui est une logique qui construit les démonstrations à partir des prémisses. Il existe pour cette logique une théorie des modèles, les <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/m/S%C3%A9mantique_de_Kripke_2f8d.html" title="Sémantique de Kripke">modèles de Kripke</a> avec un théorème de complétude : une formule est démontrable en logique intuitionniste si et seulement si elle est vraie dans tout modèle de Kripke.</p>
<p>Ces modèles permettent par exemple de répondre aux questions suivantes. Soit <span class="texhtml"><i>F</i></span> une formule close :</p>
<ul>
<li>Ou bien <span class="texhtml"><i>F</i></span> n'est pas un théorème de la logique intutionniste. Pour le montrer, il suffit d'exhiber un modèle de Kripke qui invalide la formule.</li>
<li>Ou bien <span class="texhtml"><i>F</i></span> est un théorème de la logique classique. Pour le montrer, il suffit d'en donner une démonstration dans un système de déduction de la logique classique. Il y a alors deux sous-cas :</li>
</ul>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd>Ou bien <span class="texhtml"><i>F</i></span> est également un théorème de la logique intuitionniste. Pour le montrer, il suffit d'en donner une démonstration dans un système de déduction intuitionniste (ou de montrer que <span class="texhtml"><i>F</i></span> est vraie dans tous les modèles de Kripke).</dd>
<dd>Ou bien <span class="texhtml"><i>F</i></span> n'est pas démontrable en logique intuitionniste. Pour le montrer, il suffit de donner un modèle de Kripke invalidant la formule.</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>C'est ainsi qu'on peut démontrer que :</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="(\lnot \forall x \;F(x)) \to (\exists x \; \lnot F(x))" src="../../../../math/e/8/c/e8cbe3742ba4fb5a0839639a860704e5.png" /> est un théorème de la logique classique, mais pas de la logique intuitionniste.</dd>
<dd><img class="tex" alt="(\lnot \exists x \;F(x)) \to (\forall x \; \lnot F(x))" src="../../../../math/9/6/f/96f78daa235116e9dd18310833ea85fa.png" /> est un théorème de la logique intuitionniste (et également de la logique classique).</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Les modèles de Kripke servent aussi à donner des modèles pour les <a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_%C3%A9pist%C3%A9mique.html" title="Logique épistémique">logiques modales</a>.</p>
<p><a name="Exemples_d.27application_des_mod.C3.A8les" id="Exemples_d.27application_des_mod.C3.A8les"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Exemples d'application des modèles">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemples d'application des modèles</span></h2>
<p>Nous avons déjà donné des applications des modèles :</p>
<ul>
<li>satisfaire ou au contraire falsifier une formule (par exemple distinguer formule vraie en logique classique mais fausse en logique intuitionniste : la formule est vraie dans tout modèle classique, mais il existe un modèle en logique intuitionniste qui la falsifie).</li>
<li>prouver qu'une théorie ou un système d'axiomes n'est pas contradictoire en exhibant un modèle satisfaisant tous les axiomes.</li>
</ul>
<p>En ce qui concerne les systèmes d'axiomes, les modèles interviennent également pour montrer l'indépendance des axiomes entre eux, ou établir la consistance d'un système axiomatique en s'appuyant sur la consistance d'un autre système. Donnons quelques exemples.</p>
<p>En géométrie, le V<sup class="exposant">e</sup> postulat d'<a href="../../../../articles/e/u/c/Euclide.html" title="Euclide">Euclide</a> est indépendant des autres axiomes de la géométrie. En effet, d'une part, le plan de la <a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne.html" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a> est un modèle dans lequel ce postulat est vrai. D'autre part, le <a href="../../../../articles/d/e/m/Demi-plan_de_Poincar%C3%A9_1f41.html" title="Demi-plan de Poincaré">demi-plan de Poincaré</a> est un modèle de la <a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique.html" title="Géométrie hyperbolique">géométrie hyperbolique</a> dans lequel ce postulat est faux. Dans ce modèle, l'univers (le plan hyperbolique) est constitué des points du demi-plan euclidien ouvert supérieur <img class="tex" alt="\{(x,y) \;|\; y>0 \}" src="../../../../math/7/4/3/7431c3b760a97b474bc653ff8eb4b84b.png" />. Les droites du plan hyperbolique sont les ensembles d'équation <span class="texhtml"><i>x</i> = <i>a</i></span> ou <span class="texhtml">(<i>x</i> − <i>a</i>)<sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup> = <i>R</i><sup>2</sup></span>. <a href="../../../../articles/g/e/o/Image%7EGeodes.GIF_1706.html" class="image" title="Image:geodes.GIF"><img alt="Image:geodes.GIF" src="../../../../images/local/8/82/Geodes.GIF" width="605" height="361" border="0" /></a></p>
<p>Dans cet univers, si on se donne une droite et un point extérieur à cette droite, il existe une infinité de droites passant par le point et non sécantes à la première droite.</p>
<p>Dans cet exemple, on voit qu'on peut définir les objets d'un nouveau modèle (droites du plan hyperbolique) en se servant d'autres objets d'un autre modèle (demi-droites et demi-cercles du demi-plan euclidien). Si on suppose la consistance du modèle euclidien, alors on a établi la consistance du modèle hyperbolique.</p>
<p>Cette utilisation de modèle pour montrer la consistance relative d'un autre modèle est très fréquente. Considérons par exemple la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_axiomatique_des_ensembles.html" title="Théorie axiomatique des ensembles">théorie axiomatique des ensembles</a>, notée ZF. Considérons par ailleurs ZF auquel on ajoute l'<a href="../../../../articles/a/x/i/Axiome_du_choix.html" title="Axiome du choix">axiome du choix</a>, notée ZFC. On peut montrer que si ZF est consistante, alors ZFC aussi. On est en effet capable de définir une fonction F définie sur les <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_ordinal.html" title="Nombre ordinal">ordinaux</a> qui à tout ordinal <span class="texhtml">α</span> associe un ensemble <span class="texhtml"><i>F</i><sub>α</sub></span>, et la classe <img class="tex" alt="L = \{F_{\alpha} \;|\; \alpha \;\mathrm{ordinal} \}" src="../../../../math/5/8/7/58726cbccbc4d5114e3a92e8b9f5fc50.png" /> de façon que :</p>
<ul>
<li><span class="texhtml"><i>L</i></span> vérifie tous les axiomes de ZF</li>
<li>Les ensembles <span class="texhtml"><i>F</i><sub>α</sub></span> appartenant à <span class="texhtml"><i>L</i></span> sont constructibles dans le sens où <span class="texhtml"><i>F</i><sub>α</sub></span> est défini à partir des <span class="texhtml"><i>F</i><sub>β</sub></span>, pour <span class="texhtml">β < α</span>, par <a href="../../../../articles/r/%C3%A9/c/R%C3%A9currence_transfinie.html" title="Récurrence transfinie">récurrence transfinie</a>.</li>
<li>Pour tout <span class="texhtml"><i>x</i></span> de <span class="texhtml"><i>L</i></span>, on définit l'ordre de <span class="texhtml"><i>x</i></span> comme étant le plus petit ordinal <span class="texhtml">α</span> tel que <span class="texhtml"><i>x</i> = <i>F</i><sub>α</sub></span>.</li>
<li>A tout <span class="texhtml"><i>x</i></span> de <span class="texhtml"><i>L</i></span>, on peut lui associer <span class="texhtml"><i>y</i></span> élément de <span class="texhtml"><i>x</i></span> d'ordre minimal, définissant une fonction <span class="texhtml"><i>f</i></span> de <span class="texhtml"><i>L</i></span> dans <span class="texhtml"><i>L</i></span> en posant <span class="texhtml"><i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>)</span>.</li>
</ul>
<p>On a alors défini dans <span class="texhtml"><i>L</i></span> une fonction <span class="texhtml"><i>f</i></span> vérifiant <img class="tex" alt="\forall x, f(x) \in x" src="../../../../math/c/2/3/c236bf9d89c5281f2fc2ec8308172af8.png" />. Autrement dit, <span class="texhtml"><i>f</i></span> est une fonction de choix dans <span class="texhtml"><i>L</i></span>, et <span class="texhtml"><i>L</i></span> vérifie ZF ainsi que l'axiome du choix. <span class="texhtml"><i>L</i></span> est donc un modèle de ZFC.</p>
<p>Toujours dans la théorie des ensembles, si on pose <img class="tex" alt="R_0 = \varnothing" src="../../../../math/3/0/0/300cdcba7d96cb8fffbbd2c4be3ad743.png" /> et pour tout entier <span class="texhtml"><i>n</i></span>, <img class="tex" alt="R_{n+1} = \mathfrak P(R_n)" src="../../../../math/3/e/1/3e1b0ac19ef5bc33e0a075863a598300.png" /> (ensemble des parties de <span class="texhtml"><i>R</i><sub><i>n</i></sub></span>), alors la réunion des <span class="texhtml"><i>R</i><sub><i>n</i></sub></span> pour tout <span class="texhtml"><i>n</i></span> entier définit un modèle qui vérifie tous les axiomes de ZF sauf l'<a href="../../../../articles/a/x/i/Axiome_de_l%27infini.html" title="Axiome de l'infini">axiome de l'infini</a>. Ceci prouve que ce dernier axiome ne peut être prouvé à partir des autres axiomes.</p>
<p><a name="Voir_.C3.A9galement" id="Voir_.C3.A9galement"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les.html" title="Modifier la section : Voir également">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir également</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_pr%C3%A9dicats.html" title="Calcul des prédicats">Calcul des prédicats</a></li>
<li><a href="../../../../articles/c/a/l/Calcul_des_propositions.html" title="Calcul des propositions">Calcul des propositions</a></li>
<li><a href="../../../../articles/d/%C3%A9/d/D%C3%A9duction_naturelle.html" title="Déduction naturelle">Déduction naturelle</a></li>
<li><a href="../../../../articles/s/k/o/Skol%C3%A9misation.html" title="Skolémisation">Skolémisation</a></li>
<li><a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_classique.html" title="Logique classique">Logique classique</a></li>
<li><a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_intuitionniste.html" title="Logique intuitionniste">Logique intuitionniste</a></li>
<li><a href="../../../../articles/l/o/g/Logique_minimale.html" title="Logique minimale">Logique minimale</a></li>
<li><a href="../../../../articles/m/o/d/Mod%C3%A8le.html" title="Modèle">Modèle</a></li>
<li><a href="../../../../articles/s/%C3%A9/m/S%C3%A9mantique_de_Kripke_2f8d.html" title="Sémantique de Kripke">Sémantique de Kripke</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/b/a/n/Image%7EBandeauPortailLogiqueSmall.png_2477.html" class="image" title="Icône du portail de la logique"><img alt="Icône du portail de la logique" src="../../../../images/local/thumb/8/89/BandeauPortailLogiqueSmall.png/35px-BandeauPortailLogiqueSmall.png" width="35" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/l/o/g/Portail%7ELogique_98ad.html" title="Portail:Logique">Portail de la logique</a></span></span></li>
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