Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorie de la perturbation (mécanique quantique) - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
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<h1 class="firstHeading">Théorie de la perturbation (mécanique quantique)</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>En <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/M%C3%A9canique_quantique.html" title="Mécanique quantique">mécanique quantique</a>, la <b>théorie de la perturbation</b> (ou théorie des perturbations) est un ensemble de schémas d'approximations liée à une <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_perturbations.html" title="Théorie des perturbations">perturbation</a> mathématique utilisée pour décrire un système quantique complexe de façon simplifiée. L'idée est de partir d'un système simple et d'appliquer graduellement un <a href="../../../../articles/o/p/%C3%A9/Op%C3%A9rateur_hamiltonien.html" title="Opérateur hamiltonien">hamiltonien</a> <span class="citation">« perturbant »</span> qui représente un écart léger par rapport à l'équilibre du système (perturbation). Si la perturbation n'est pas trop importante, les différentes quantités physiques associées avec le système perturbé (comme ses niveaux d'<a href="../../../../articles/%C3%A9/n/e/%C3%89nergie.html" title="Énergie">énergie</a> et <a href="../../../../articles/%C3%A9/t/a/%C3%89tat_propre.html" class="mw-redirect" title="État propre">états propres</a>) seront générés de manière continue à partir de ceux du système simple. On peut donc par conséquent étudier le premier à partir des connaissances sur le dernier.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Application_de_la_th.C3.A9orie_de_la_perturbation"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Application de la théorie de la perturbation</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9orie_de_la_perturbation_ind.C3.A9pendante_du_temps"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Théorie de la perturbation indépendante du temps</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Corrections_du_premier_ordre"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Corrections du premier ordre</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Corrections_du_deuxi.C3.A8me_ordre_et_suivants"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Corrections du deuxième ordre et suivants</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Effets_de_la_d.C3.A9g.C3.A9n.C3.A9rescence"><span class="tocnumber">2.3</span> <span class="toctext">Effets de la dégénérescence</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9orie_de_la_perturbation_d.C3.A9pendante_du_temps"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Théorie de la perturbation dépendante du temps</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Références</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Bibliographie"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Bibliographie</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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//<![CDATA[
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//]]>
</script>
<p><a name="Application_de_la_th.C3.A9orie_de_la_perturbation" id="Application_de_la_th.C3.A9orie_de_la_perturbation"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Application de la théorie de la perturbation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Application de la théorie de la perturbation</span></h2>
<p>La théorie de la perturbation est un outil important pour la description des systèmes quantiques réels, car trouver des solutions exactes à l'<a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger_0ab2.html" title="Équation de Schrödinger">équation de Schrödinger</a> pour des hamiltoniens de systèmes même modérément complexes peut être très difficile. Les hamiltoniens pour lesquels on connait des solutions exactes, comme pour l'<a href="../../../../articles/a/t/o/Atome_d%27hydrog%C3%A8ne.html" title="Atome d'hydrogène">atome d'hydrogène</a>, de l'<a href="../../../../articles/o/s/c/Oscillateur_harmonique_quantique.html" title="Oscillateur harmonique quantique">oscillateur harmonique quantique</a> et la <a href="../../../../articles/p/a/r/Particule_dans_une_bo%C3%AEte.html" title="Particule dans une boîte">particule dans une boîte</a>, sont trop idéalisés pour décrire de manière adéquate la plupart des systèmes. En utilisant la théorie de la perturbation, on peut utiliser les solutions connues de ces hamiltoniens simples pour générer des solutions pour une série de systèmes plus complexes. Ainsi, en ajoutant un <a href="../../../../articles/p/o/t/Potentiel_%C3%A9lectrique.html" title="Potentiel électrique">potentiel électrique</a> perturbateur au modèle quantique de l'atome d'hydrogène, on peut calculer les déplacements faibles des <a href="../../../../articles/r/a/i/Raie_spectrale.html" title="Raie spectrale">raies spectrales</a> de l'hydrogène en raison de la présence d'un <a href="../../../../articles/c/h/a/Champ_%C3%A9lectrique.html" title="Champ électrique">champ électrique</a> (<a href="../../../../articles/e/f/f/Effet_Stark_c4aa.html" title="Effet Stark">effet Stark</a>). Ceci est seulement une approximation, la somme d'un <a href="../../../../articles/p/o/t/Potentiel_coulombien.html" class="mw-redirect" title="Potentiel coulombien">potentiel coulombien</a> avec un potentiel linéaire est instable bien que le temps tunnel (<a href="../../../../articles/r/a/d/Radioactivit%C3%A9.html" title="Radioactivité">radioactivité</a>) est très important. Cela montre que même pour un ajustement des raies d'énergie spectrale, la théorie de la perturbation échoue à traduire entièrement le phénomène.<br />
Les modifications de formules induites par l'introduction de la perturbation ne sont pas exactes, mias peuvent conduire à des résultats précis tant que le paramètre de développement <span class="texhtml">α</span> reste faible. Au-delà d'un certain ordre <span class="texhtml"><i>n</i>˜1 / α</span>, cependant, les résultats deviennent divergents au fur et à mesure que les séries générées <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_divergente.html" title="Série divergente">divergent</a>, leur développement étant <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/v/D%C3%A9veloppement_asymptotique.html" title="Développement asymptotique">asymptotique</a>. Il existe des manières de les convertir en séries convergentes, ce qui peut être considéré pour des paramètres de développement importants, en particulier par une méthode de perturbation variationnelle.<br />
En <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/e/%C3%89lectrodynamique_quantique.html" title="Électrodynamique quantique">électrodynamique quantique</a> (QED) dans laquelle l'interaction <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/e/%C3%89lectron.html" title="Électron">électron</a>-<a href="../../../../articles/p/h/o/Phonon.html" title="Phonon">phonon</a> est traitée de manière perturbative, le calcul du <a href="../../../../articles/m/o/m/Moment_magn%C3%A9tique.html" title="Moment magnétique">moment magnétique</a> électronique est en accord avec l'expérience jusqu'à 11 décimales. Dans cette théorie, ainsi que pour d'autre <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs.html" title="Théorie quantique des champs">théories quantiques des champs</a>, des techniques spécifiques de calcul connues sous le nom de <a href="../../../../articles/d/i/a/Diagramme_de_Feynman_52aa.html" title="Diagramme de Feynman">diagrammes de Feynman</a> sont employées pour effectuer une somme systématique des termes de séries puissance.</p>
<p>Dans certaines circonstances, la théorie de la perturbation est une approche invalide. Cela se produit lorsque le système à décrire ne peut être approché par une petite perturbation imposée à un système simple. En <a href="../../../../articles/c/h/r/Chromodynamique_quantique.html" title="Chromodynamique quantique">chromodynamique quantique</a>, par exemple, l'interaction des <a href="../../../../articles/q/u/a/Quark.html" title="Quark">quarks</a> avec le champ <a href="../../../../articles/g/l/u/Gluon.html" title="Gluon">gluonique</a> ne peut être traité par perturbation aux faibles énergies car la <a href="../../../../articles/c/o/n/Constante_de_couplage.html" title="Constante de couplage">constante de couplage</a> (paramètre de développement) devient trop important. La théorie de la perturbation échoue aussi à décrire des états générés de manière <a href="../../../../articles/p/r/o/Processus_adiabatique_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" class="mw-redirect" title="Processus adiabatique (mécanique quantique)">diabatique</a> à partir du <span class="citation">« modèle libre »</span>, comme les <a href="../../../../articles/%C3%A9/t/a/%C3%89tat_liant.html" class="mw-redirect" title="État liant">états liants</a> et différents phénomènes collectifs comme les <a href="../../../../articles/s/o/l/Soliton.html" title="Soliton">solitons</a>. On peut considérer, par exemple, un système de particules libres (non-interagissantes), dans lequel une interaction attractive est introduite. Selon la forme de cette interaction, un ensemble entièrement nouveau d'états propres correspondant aux groupes de particules liées à d'autres peut être créé. Un exemple de ce phénomène peut être trouvé en <a href="../../../../articles/s/u/p/Supraconductivit%C3%A9.html" title="Supraconductivité">supraconductivité</a> conventionnelle, dans laquelle l'attraction portée par les <a href="../../../../articles/p/h/o/Phonon.html" title="Phonon">phonons</a> entre les <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/e/%C3%89lectron.html" title="Électron">électrons</a> de conduction mène à la formation de paires d'électrons corrélés connues sous le nom de <a href="../../../../articles/p/a/i/Paire_de_Cooper_2e71.html" class="mw-redirect" title="Paire de Cooper">paires de Cooper</a>. Lorsque l'on a à faire à de tels systèmes, on utilise habituellement d'autres schémas d'approximation, comme la méthode variationnelle ou l'<a href="../../../../articles/a/p/p/Approximation_BKW_a313.html" title="Approximation BKW">approximation BKW</a>. En effet, il n'existe pas d'analogue à une <a href="../../../../articles/p/a/r/Particule_liante.html" class="mw-redirect" title="Particule liante">particule liante</a> dans le modèle non perturbé et l'énergie d'un soliton varie typiquement comme l'inverse du paramètre de développement. Cependant, si l'on <span class="citation">« intègre »</span> sur le phénomène solitonique, les corrections non perturbatives seront dans ce cas faibles, de l'ordre de <span class="texhtml"><i>e</i> <sup>− 1 / <i>g</i></sup></span> ou <img class="tex" alt="e^{-1/g^2}" src="../../../../math/d/9/2/d92e6031f6492af719791e11bf938750.png" /> dans le paramètre de perturbation g. La théorie de la perturbation peut seulement conduire à des solutions <span class="citation">« proches »</span> de la solution non-perturbée, même s'il existe d'autres solutions (qui augmentent typiquement quand le paramètre de développement approche de zéro).<br />
Le traitement des problèmes des systèmes non-perturbatifs a été en partie aidé par l'essor des <a href="../../../../articles/o/r/d/Ordinateur.html" title="Ordinateur">ordinateurs</a> modernes. Il est devenu (relativement) simple de trouver des solutions non-perturbatives pour certains problèmes, par le biais de méthodes comme la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_fonctionnelle_de_la_densit%C3%A9.html" title="Théorie de la fonctionnelle de la densité">théorie de la fonctionnelle de la densité</a>. Ces avancées ont particulièrement profité à la <a href="../../../../articles/c/h/i/Chimie_quantique.html" title="Chimie quantique">chimie quantique</a>. Les ordinateurs ont également été employés pour procéder à des calculs en théorie de la perturbation atteignant de très hauts niveaux de précision, nécessaires et importants en <a href="../../../../articles/p/h/y/Physique_des_particules.html" title="Physique des particules">physique des particules</a> pour obtenir des résultats théoriques comparables à l'expérience.</p>
<p><a name="Th.C3.A9orie_de_la_perturbation_ind.C3.A9pendante_du_temps" id="Th.C3.A9orie_de_la_perturbation_ind.C3.A9pendante_du_temps"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Théorie de la perturbation indépendante du temps">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorie de la perturbation indépendante du temps</span></h2>
<p>Il y a deux catégories de théorie de la perturbation : indépendante du temps et dépendante du temps. Dans cette section, on traitera de la théorie de la perturbation indépendante du temps, dans laquelle le hamiltonien de perturbation est statique. La théorie de la perturbation indépendante du temps fut présentée dans un article<sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> d'<a href="../../../../articles/e/r/w/Erwin_Schr%C3%B6dinger_d068.html" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a> de 1926, peu après qu'il eut énoncé ses théories en mécanique ondulatoire. Dans cet article, Erwin Schrödinger faisait référence à un travail antérieur de <a href="../../../../articles/j/o/h/John_William_Strutt_Rayleigh_4a01.html" title="John William Strutt Rayleigh">lord Rayleigh</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1" title=""><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> qui étudia les vibrations harmoniques d'une corde perturbée par des petites inhomogénéités. C'est pourquoi cette théorie de la perturbation est parfois appelée <b>théorie de la perturbation de Rayleigh-Schrödinger</b>.</p>
<p><a name="Corrections_du_premier_ordre" id="Corrections_du_premier_ordre"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Corrections du premier ordre">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Corrections du premier ordre</span></h3>
<p>On commence en utilisant un hamiltonien non perturbé <i>H<sub>0</sub></i>, qui est aussi considéré comme indépendant du temps. Il possède des niveaux d'énergie et états propres connus, déterminés par l'<a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger_0ab2.html" title="Équation de Schrödinger">équation de Schrödinger</a> indépendante du temps :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots " src="../../../../math/e/6/b/e6b9a2db3c1b41c3015efe92e9cb516d.png" /></dd>
</dl>
<p>Pour simplifier, on postule que les énergies sont discrètes. Les exposants <span class="texhtml">(0)</span> indiquent que ces quantités sont associées au système non perturbé.</p>
<p>On peut alors introduire une perturbation dans le hamiltonien. Soit <i>V</i> un hamiltonien représentant une petite perturbation physique, comme un potentiel énergétique produisant un champ externe (donc <i>V</i> est formellement un <a href="../../../../articles/o/p/%C3%A9/Op%C3%A9rateur_hermitique.html" class="mw-redirect" title="Opérateur hermitique">opérateur hermitique</a>). Soit <span class="texhtml">λ</span> un paramètre sans dimension pouvant prendre pour valeur des valeurs allant continument de 0 (pas de perturbation) à 1 (perturbation totale). Le hamiltonien perturbé est :</p>
<dl>
<dd><span class="texhtml"><i>H</i> = <i>H</i><sub>0</sub> + λ<i>V</i>.</span></dd>
</dl>
<p>Les niveaux d'énergie et états propres du hamiltonien perturbé sont de nouveau donnés par l'équation de Schrödinger :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang . " src="../../../../math/3/b/5/3b5ed709a6c077c61ad312a7d18a67a6.png" /></dd>
</dl>
<p>Le but est alors d'exprimer <i>E<sub>n</sub></i> et |<i>n</i>> en termes de niveaux d'énergie et d'états propres de l'ancien hamiltonien. Si la perturbation est suffisamment faible, on peut les écrire en <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re.html" title="Série entière">séries entières</a> de <i>λ</i> :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots " src="../../../../math/6/2/0/62051c2e66d1f480c0bb8e3bd5a8be86.png" /></dd>
<dd><img class="tex" alt=" |n\rang = |n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \lambda^2 |n^{(2)}\rang + \cdots " src="../../../../math/3/4/7/3472f88408c162258431f64e37e56a8f.png" /></dd>
</dl>
<p>où</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" E_n^{(k)} = \frac{1}{k!} \frac{d^k E_n}{d \lambda^k} " src="../../../../math/6/0/9/609aeffd4520d308a6e4f06d50bd87f0.png" /></dd>
</dl>
<p>et</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" |n^{(k)}\rang = \frac{1}{k!}\frac{d^k |n\rang }{d \lambda^k}. " src="../../../../math/a/5/f/a5f055de366be73a6a48097a74116bcf.png" /></dd>
</dl>
<p>Lorsque <i>λ = 0</i>, on réduit les équations aux valeurs non perturbées, qui sont les premiers termes de chaque série. Lorsque la perturbation est faible, les niveaux d'énergie et les états propres ne devraient pas beaucoup différer de leurs valeurs non perturbées, et les termes devraient rapidement devenir plus petits au fur et à mesure que l'ordre augmente.<br />
Si l'on introduit ces séries dans l'équation de Schrödinger, on obtient :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\begin{matrix}
\left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\
\qquad\qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right)
\end{matrix}" src="../../../../math/8/d/5/8d566fc3ad9a8887b1f9c87a5e125830.png" /></dd>
</dl>
<p>Le développement de cette équation et la comparaison des coefficients de chaque puissance de <i>λ</i> conduit à un <a href="../../../../articles/s/y/s/Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quations.html" title="Système d'équations">système d'équations</a> infini. L'équation d'ordre 0 est tout simplement l'équation de Schrödinger pour des systèmes non perturbés. L'équation au premier ordre est :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang " src="../../../../math/1/c/6/1c66d93d98a875cf7f29aad659af041b.png" /></dd>
</dl>
<p>que l'on multiplie par <n<sup>(0)</sup>|. Le premier terme de gauche s'annule avec le premier terme de droite (le hamiltonien non perturbé est hermitien). Cela conduit à la modification énergétique du premier ordre :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle " src="../../../../math/e/5/b/e5b1ececf3ed91a8822c1f1442c220f1.png" /></dd>
</dl>
<p>C'est tout simplement l'espérance du hamiltonien de perturbation lorsque le système est dans l'état non perturbée. Ce résultat peut être interprété de la manière suivant : supposons qu'une perturbation soit appliquée, mais que l'on conserve le système dans l'état quantique |n<sup>(0)</sup>>, qui est un état quantique valide bien que ne correspondant plus à un état propre de l'énergie. La perturbation fait que l'énergie moyenne de cet état croît de <n<sup>(0)</sup>|V|n<sup>(0)</sup>>. Cependant la modification réelle de l'énergie est légèrement différente, car l'état propre perturbé n'est pas exactement le même que |n<sup>(0)</sup>>. Les modifications qui s'ensuivent sont données par les corrections du deuxième ordre et suivants de l'énergie.<br />
Avant de calculer les corrections à l'état propre d'énergie, on doit définir la question de la normalisation. On peut supposer <n<sup>(0)</sup>|n<sup>(0)</sup>>=1, mais la théorie de la perturbation postule que : <n|n>=1. Il s'ensuit qu'au premier ordre en <i>λ</i>, on doit avoir <n<sup>(0)</sup>|n<sup>(1)</sup>>+<n<sup>(1)</sup>|n<sup>(0)</sup>>=0. Tant que la phase globale n'est pas déterminée en mécanique quantique, on peut postuler sans perte de sa généralité que <n<sup>(0)</sup>|n> est un réel pur. Ainsi, <n<sup>(0)</sup>|n<sup>(1)</sup>>=<n<sup>(1)</sup>|n<sup>(0)</sup>>, et on en déduit :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \lang n^{(0)} | n^{(1)} \rang=0." src="../../../../math/e/0/a/e0acf262604da64f81cf03855b4b4059.png" /></dd>
</dl>
<p>Afin d'obtenir la correction du premier ordre de l'état propre d'énergie, on entre l'expression de la correction énergétique de premier ordre dans le résultat indiquant les coefficients de premier ordre de <i>λ</i> montré ci-dessus. On utilise ensuite la résolution de l'identité,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" V|n^{(0)}\rangle = \Big( \sum_{k\ne n} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| \Big) V|n^{(0)}\rangle + \left(|n^{(0)}\rangle\, \langle n^{(0)}|\right) V|n^{(0)}\rangle
" src="../../../../math/b/5/7/b574c15987a988d0834f8f10929d7974.png" />
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="
= \sum_{k\ne n} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| V|n^{(0)}\rangle + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rangle,
" src="../../../../math/a/8/c/a8c51d86e042646ef396f7a1f4122132.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>où <img class="tex" alt="|k^{(0)}\rangle" src="../../../../math/7/3/8/738b60343bf4ab6856e1fce7d776a355.png" /> est le <a href="../../../../articles/c/o/m/Compl%C3%A9ment_orthogonal.html" title="Complément orthogonal">complément orthogonal</a> de <img class="tex" alt="|n^{(0)}\rangle" src="../../../../math/4/a/2/4a2178cb2064bd951303f15650342080.png" />. Le résultat est :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} |k^{(0)}\rang \langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle " src="../../../../math/f/5/d/f5d312c7f13d45030e99ca37e9c28d3a.png" /></dd>
</dl>
<p>Supposons pour le moment que le niveau d'énergie d'ordre zéro ne soit pas <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/g/D%C3%A9g%C3%A9n%C3%A9rescence_%28physique%29.html" title="Dégénérescence (physique)">dégénéré</a>, c'est-à-dire qu'il n'y ait pas d'état propre de <span class="texhtml"><i>H</i><sub>0</sub></span> dans le complément orthogonal de <img class="tex" alt="|n^{(0)}\rangle" src="../../../../math/4/a/2/4a2178cb2064bd951303f15650342080.png" /> d'énergie <img class="tex" alt="E_n^{(0)}" src="../../../../math/1/4/e/14e82091923beb5f15a827c21bb9180a.png" />. On multiplie alors par <<i>k<sup>(0)</sup></i>|, ce qui donne :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \left(E_n^{(0)} - E_k^{(0)} \right) \langle k^{(0)}|n^{(1)}\rang = \langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle " src="../../../../math/1/2/9/12955903b9e60f86509f532054ebfc17.png" /></dd>
</dl>
<p>et par conséquent le composant de la correction de premier ordre selon |<i>k<sup>(0)</sup></i>> par le postulat <img class="tex" alt=" E_n^{(0)} \ne E_k^{(0)}" src="../../../../math/1/f/2/1f2227b1a0edb6d86cb379e0a76f117c.png" />. Nous avons au total :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang " src="../../../../math/0/4/2/042bc0eda5f92dd8f7c6105410b7ecbe.png" /></dd>
</dl>
<p>La modification de premier ordre dans le N<sup>ième</sup> ket propre de l'énergie possède une contribution des états propres de l'énergie <i>k ≠ n</i>. Chaque terme est proportionnel à l'élément de matrice <k<sup>(0)</sup>|V|n<sup>(0)</sup>>, qui est une mesure de combien la perturbation mélange l'état propre <i>n</i> avec l'état propre <i>k</i> ; il est également inversement proportionnel à la différence d'énergie entre les états propres <i>k</i> et <i>n</i>, ce qui signifie que la perturbation <span class="citation">« déforme »</span> l'état propre vers un développement plus important si il existe plus d'états propres à des énergies proches. On voit aussi que l'expression est singulière si chacun de ces états possède la même énergie que l'état <i>n</i>, qui est ce pourquoi l'on postule la non-dégénérescence.</p>
<p><a name="Corrections_du_deuxi.C3.A8me_ordre_et_suivants" id="Corrections_du_deuxi.C3.A8me_ordre_et_suivants"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Corrections du deuxième ordre et suivants">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Corrections du deuxième ordre et suivants</span></h3>
<p>On peut trouver les déviations d'ordres supérieurs par une méthode similaire, bien que les calculs deviennent plus compliqués avec la formulation employée. La condition de normalisation indique que : 2<n<sup>(0)</sup>|n<sup>(2)</sup>>+<n<sup>(1)</sup>|n<sup>(1)</sup>>=0. Jusqu'au deuxième ordre, les expressions pour les énergies et les états propres (normalisés) sont :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="E_n = E_n^{(0)} + \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle + \sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} + \cdots" src="../../../../math/d/0/8/d08cfffd2f5493602e43dbbb9e0d5584.png" /></dd>
</dl>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="|n\rangle = |n^{(0)}\rangle + \sum_{k \ne n} |k^{(0)}\rangle\frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} + \sum_{k\neq n}\sum_{\ell \neq n} |k^{(0)}\rangle\frac{\langle k^{(0)}|V|\ell^{(0)}\rangle\langle \ell^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})(E_n^{(0)}-E_\ell^{(0)})} -" src="../../../../math/8/e/2/8e294655dfeb3d14da824567ec4342ec.png" /></dd>
<dd><img class="tex" alt="\sum_{k\neq n}|k^{(0)}\rangle\frac{\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} - \frac{1}{2} \sum_{k \ne n} |n^{(0)}\rangle\frac{\langle n^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_k^{(0)}-E_n^{(0)})^2} + \cdots" src="../../../../math/5/c/3/5c30029f6c971698a6aa8d50d748ef00.png" /></dd>
</dl>
<p>En étendant la méthode précédente, la correction d'énergie du troisième ordre peut être démontrée comme étant<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2" title=""><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="E_n^{(3)} = \sum_{k \neq n} \sum_{m \neq n} \frac{\langle n^{(0)} | V | m^{(0)} \rangle \langle m^{(0)} | V | k^{(0)} \rangle \langle k^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle}{\left( E_m^{(0)} - E_n^{(0)} \right) \left( E_k^{(0)} - E_n^{(0)} \right)} - \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle \sum_m \frac{|\langle n^{(0)} | V | m^{(0)} \rangle|^2}{\left( E_m^{(0)} - E_n^{(0)} \right)^2}" src="../../../../math/6/9/6/696eeac7245cf842d9b831de8d4f0312.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="Effets_de_la_d.C3.A9g.C3.A9n.C3.A9rescence" id="Effets_de_la_d.C3.A9g.C3.A9n.C3.A9rescence"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Effets de la dégénérescence">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Effets de la dégénérescence</span></h3>
<p>On suppose que deux ou plus états propres d'énergie sont dégénérés. Les calculs précédents pour les modifications d'énergie du premier ordre ne sont pas affectés, mais le calcul de la modification de l'état propre est problématique car l'opérateur</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" E_n^{(0)} - H_0 " src="../../../../math/4/5/2/452fdabc98fded07daaf46c24c4d68d8.png" /></dd>
</dl>
<p>n'a pas d'inverse bien défini.<br />
Cela relève d'un problème conceptuel plutôt que mathématique. Imaginons que l'on ait deux ou plus états propres perturbés avec différentes énergies, continument générés à partir d'un nombre égal d'états propres non perturbés dégénérés. Soit <i>D</i> le sous-espace occupé par ces états propres dégénérés. Le problème repose sur le fait qu'il n'y a pas de méthode unique pour choisir une base d'états propres de l'énergie pour un système non perturbé. En particulier, on peut construire une base différente pour <i>D</i> en choisissant différentes combinaisons linéaires des états propres le constituant. Dans une telle base, les états propres non perturbés ne génèreraient pas continument les états propres perturbés.</p>
<p>On voit ainsi que, en présence d'une dégénérescence, la théorie de la perturbation ne fonctionne pas avec un choix de base arbitraire. On doit plutôt choisir une base telle que le hamiltonien de perturbation soit diagonal dans le sous-espace dégénéré <i>D</i>. En d'autres termes,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="V |k^{(0)}\rangle = \epsilon_k |k^{(0)}\rangle + \mbox{(termes hors de }D) \qquad \forall \; |k^{(0)}\rangle \in D. " src="../../../../math/0/9/a/09a0e41d8777ae36652cdc84dba96fe3.png" /></dd>
</dl>
<p>Dans ce cas, l'équation pour la perturbation de premier ordre dans l'état propre d'énergie se réduit à :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \not\in D} \left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle \right) |k^{(0)}\rang. " src="../../../../math/1/d/6/1d691e9412788d31a908a9b73e71fff1.png" /></dd>
</dl>
<p>L'opérateur de gauche n'est pas singulier lorsqu'il est appliqué aux états propres n'appartenant pas à <i>D</i>, on peut alors écrire</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" |n^{(1)}\rang = \sum_{k \not\in D} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang. " src="../../../../math/3/3/c/33cdf0c56753a997c995365b32d8fddf.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="Th.C3.A9orie_de_la_perturbation_d.C3.A9pendante_du_temps" id="Th.C3.A9orie_de_la_perturbation_d.C3.A9pendante_du_temps"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Théorie de la perturbation dépendante du temps">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorie de la perturbation dépendante du temps</span></h2>
<p>La théorie de la perturbation dépendante du temps, développée par <a href="../../../../articles/p/a/u/Paul_Dirac_db66.html" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a>, traite de l'effet d'une perturbation <i>V(t)</i> dépendante du temps appliquée à un hamiltonien <i>H<sub>0</sub></i> indépendant du temps. Le hamiltonien perturbé étant dépendant du temps, ses niveaux et états propres d'énergie le sont aussi. Par conséquent, les objectifs de la théorie de la perturbation dépendante du temps sont légèrement différents de ceux la théorie de la perturbation indépendante du temps. On traite les quantités suivantes :</p>
<ul>
<li>l'espérance mathématique dépendante du temps d'une observable <i>A</i>, pour un état initial donné.</li>
<li>les amplitudes dépendantes du temps des états quantiques étant des kets propres (vecteurs propres) de l'énergie dans le système non perturbé.</li>
</ul>
<p>La première quantité est importante car elle est à l'origine du résultat <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/M%C3%A9canique_classique.html" class="mw-redirect" title="Mécanique classique">classique</a> d'une mesure de <i>A</i> réalisée sur un nombre macroscopique d'exemplaires du système perturbé. Par exemple, on peut prendre <i>A</i> comme le déplacement dans la direction <i>x</i> de l'électron dans un atome d'hydrogène, dans le cas duquel l'espérance mathématique, lorsqu'elle est multipliée par un coefficient approprié, donne la <a href="../../../../articles/p/o/l/Polarisation.html" title="Polarisation">polarisation</a> électrique dépendante du temps du gaz d'hydrogène. Avec un choix approprié de perturbation (comme par exemple un potentiel électrique oscillant), cela permet de calculer la <a href="../../../../articles/p/e/r/Permittivit%C3%A9.html" title="Permittivité">permittivité</a> diélectrique du gaz.<br />
La seconde concerne la probabilité temporelle d'occupation de chaque état propre. Cela est particulièrement utile en physique des <a href="../../../../articles/l/a/s/Laser.html" title="Laser">lasers</a>, dans laquelle on s'intéresse à des populations dans différents états atomiques dans un gaz lorsqu'un champ électrique variable dans le temps est appliqué. Ces probabilités sont aussi utiles pour calculer l'élargissement quantique des <a href="../../../../articles/r/a/i/Raie_spectrale.html" title="Raie spectrale">raies spectrales</a>.</p>
<p>On exposera brièvement ci-après les idées de la formulation de Dirac de la théorie de la perturbation dépendante du temps. Choisissons une base d'énergie {|<i>n</i>>} pour le système non perturbé. On ne portera plus les exposants <i>(0)</i> pour les états propres, parler de niveaux d'énergie et d'états propres pour le système perturbé étant peu significatif.</p>
<p>Si le système non perturbé est un état propre |j> au temps t = 0, son état aux temps suivants varie seulement d'une <a href="../../../../articles/p/h/a/Phase_%28onde%29.html" title="Phase (onde)">phase</a> (on se place dans la <a href="../../../../articles/r/e/p/Repr%C3%A9sentation_de_Schr%C3%B6dinger_d584.html" title="Représentation de Schrödinger">représentation de Schrödinger</a>, où les vecteurs d'état évoluent dans le temps et les opérateurs constants) :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" |j(t)\rang = e^{-iE_j t /\hbar} |j\rang " src="../../../../math/8/6/c/86cd79e92480a7a57086e1c4babd1c55.png" /></dd>
</dl>
<p>On introduit alors un hamiltonien perturbé dépendant du temps <i>V(t)</i>. Le hamiltonien du système perturbé est :</p>
<dl>
<dd><span class="texhtml"><i>H</i> = <i>H</i><sub>0</sub> + <i>V</i>(<i>t</i>)</span></dd>
</dl>
<p>Soit |ψ(t)> la notation pour l'état quantique du système perturbé au temps <i>t</i>. Il obéit à l'équation de Schrödinger dépendante du temps,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" H |\psi(t)\rang = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang" src="../../../../math/6/3/8/6383eb5c7d862715d7169c5051820295.png" /></dd>
</dl>
<p>L'état quantique à chaque instant peut être exprimé comme une combinaison linéaire de la base propre {|n>}. On peut écrire la combinaison linéaire comme étant :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" |\psi(t)\rang = \sum_n c_n(t) e^{- i E_n t / \hbar} |n\rang " src="../../../../math/1/7/a/17a00948acccf0bfeccf5a000e8c1688.png" /></dd>
</dl>
<p>où les c<sub>n</sub>(t) sont des fonctions <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_complexe.html" title="Nombre complexe">complexes</a> non déterminées de <i>t</i> que nous appellerons <b>amplitudes</b> (à strictement parler, ce sont les amplitudes dans la <a href="../../../../articles/r/e/p/Repr%C3%A9sentation_de_Dirac_4d91.html" class="mw-redirect" title="Représentation de Dirac">représentation de Dirac</a>). On a explicitement extrait les facteurs de phase exponentielle exp(-iE<sub>n</sub>t/<strike>h</strike>) du côté droit de l'équation. Cela est simplement un problème de convention, et peut être produit sans perte de la généralité. La raison pour laquelle on s'intéresse à ce problème est que quand le système débute dans l'état |j> et qu'il n'y a pas de perturbation, les amplitudes ont la propriété intéressante que, pour tout <i>t</i>, c<sub>j</sub>(t) = 1 et c<sub>n</sub>(t) = 0 si n≠j.</p>
<p>Le carré de la valeur absolue de l'amplitude c<sub>n</sub>(t) est la probabilité que le système soit dans l'état <i>n</i> au temps <i>t</i> :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \left|c_n(t)\right|^2 = \left|\lang n|\psi(t)\rang\right|^2" src="../../../../math/5/a/8/5a83309c6e27c70e8ef886d1dfea77cb.png" /></dd>
</dl>
<p>Inséré dans l'équation de Schrödinger, et considérant <i>∂/∂t</i> par <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_d%C3%A9rivation_des_fonctions_compos%C3%A9es.html" title="Théorème de dérivation des fonctions composées">dérivation des fonctions composées</a>, on obtient :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \sum_n \left( i\hbar \frac{\partial c_n}{\partial t} - c_n(t) V(t) \right) e^{- i E_n t /\hbar} |n\rang = 0" src="../../../../math/f/8/4/f84ca99188d4a53f6eabb96463a85dcf.png" /></dd>
</dl>
<p>En résolvant l'identité devant <i>V</i>, on peut réduire cette équation en un ensemble d'<a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles.html" title="Équation aux dérivées partielles">équations aux dérivées partielles</a> pour les amplitudes :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \frac{\partial c_n}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar} \sum_k \lang n|V(t)|k\rang \,c_k(t)\, e^{-i(E_k - E_n)t/\hbar} " src="../../../../math/a/8/f/a8ff62c26c889745e59429bc27be0a49.png" /></dd>
</dl>
<p>Les éléments de matrice de <i>V</i> jouent un rôle similaire à celui tenu dans la théorie de la perturbation indépendante du temps, étant proportionnels au taux auquel les amplitudes sont modifiées entre les états. Il faut noter, cependant, que la direction de la modification est conditionnée par le facteur de phase exponentiel. Sur des temps bien plus importants que ceux correspondant à la différence d'énergie E<sub>k</sub>-E<sub>n</sub>, la phase peut cycler plusieurs fois. Si la dépendance en temps de <i>V</i> est suffisamment faible, cela peut provoquer une oscillation des amplitudes d'état. De telles oscillations sont utilisées pour gérer les transitions radiatives dans les lasers.<br />
Jusque là, on n'a fait aucune approximation, donc l'ensemble d'équations différentielles est exact. En indiquant des valeurs initiales appropriées c<sub>n</sub>(0), on peut en principe trouver une solution exacte (non perturbative). Cela est facilement trouvé lorsqu'il y a seulement deux niveaux d'énergie (<i>n= 1, 2</i>), et la solution est utile pour des systèmes modèles comme la molécule d'<a href="../../../../articles/a/m/m/Ammoniaque.html" title="Ammoniaque">ammoniaque</a>. Cependant, il est difficile de trouver des solutions exactes lorsqu'il y a plusieurs niveaux d'énergie, et l'on cherchera plutôt des solutions perturbatives, qui peuvent être obtenues en mettant les équations sous une forme intégrale :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" c_n(t) = c_n(0) + \frac{-i}{\hbar} \sum_k \int_0^t dt' \;\lang n|V(t')|k\rang \,c_k(t')\, e^{-i(E_k - E_n)t'/\hbar} " src="../../../../math/8/4/a/84af3e7b5c28d81d2210d969e19c91cd.png" /></dd>
</dl>
<p>On effectuant de manière répétée la substitution pour chaque c<sub>n</sub> du côté droit, on obtient la solution itérative :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="c_n(t) = c_n^{(0)} + c_n^{(1)} + c_n^{(2)} + \cdots" src="../../../../math/2/5/5/255991a92ac1a95048e1811e99bf7f33.png" /></dd>
</dl>
<p>où, par exemple, le terme de premier ordre est :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="c_n^{(1)}(t) = \frac{-i}{\hbar} \sum_k \int_0^t dt' \;\lang n|V(t')|k\rang \, c_k(0) \, e^{-i(E_k - E_n)t'/\hbar} " src="../../../../math/4/8/5/485d9aaa0a85d8ae138f983ed98e1b3e.png" /></dd>
</dl>
<p>De nombreux résultats induits peuvent être obtenus, comme la règle d'or de Fermi, qui lie le taux de transition entre états quantiques à la densité d'états à énergies particulières, et les séries de Dyson, obtenues en appliquant la méthode itérative à l'<a href="../../../../articles/o/p/%C3%A9/Op%C3%A9rateur_hamiltonien.html" title="Opérateur hamiltonien">opérateur d'évolution temporelle</a>, qui est l'un des points de départ de la méthode des <a href="../../../../articles/d/i/a/Diagramme_de_Feynman_52aa.html" title="Diagramme de Feynman">diagrammes de Feynman</a>. La <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_de_M%C3%B8ller-Plesset_38d3.html" title="Théorie de la perturbation de Møller-Plesset">Théorie de la perturbation de Møller-Plesset</a> est une application de la théorie de la perturbation à la <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/t/M%C3%A9thode_Hartree-Fock_62e6.html" class="mw-redirect" title="Méthode Hartree-Fock">méthode Hartree-Fock</a>.</p>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li>règle d'or de Fermi</li>
<li><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_perturbations.html" title="Théorie des perturbations">théorie des perturbations</a></li>
</ul>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rences" id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Références</span></h2>
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
<li id="cite_note-0"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-0" title="">↑</a></span> E. Schrödinger, Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 80, p. 437 (1926)</li>
<li id="cite_note-1"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-1" title="">↑</a></span> J. W. S. Rayleigh, <i>Theory of Sound</i>, 2nd edition Vol. I, pp 115-118, Macmillan, London (1894)</li>
<li id="cite_note-2"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-2" title="">↑</a></span> <span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> L. D. Landau, E. M. Lifschitz, ``Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory"<i>, 3<sup>e</sup> ed.</i></li>
</ol>
</div>
<p><a name="Bibliographie" id="Bibliographie"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_la_perturbation_%28m%C3%A9canique_quantique%29.html" title="Modifier la section : Bibliographie">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bibliographie</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/a/l/b/Albert_Messiah_565c.html" title="Albert Messiah">Albert Messiah</a>, <i>Mécanique quantique</i> <small>[<a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/R%C3%A9f%C3%A9rence%7EM%C3%A9canique_quantique_%28Messiah%29_71e1.html" title="Référence:Mécanique quantique (Messiah)">détail des éditions</a>]</small>, chapitre 16</li>
<li><a href="../../../../articles/c/l/a/Claude_Cohen-Tannoudji_4d4f.html" title="Claude Cohen-Tannoudji">C. Cohen-Tannoudji</a>, B. Diu et F. Laloë, <i>Mécanique quantique</i> <small>[<a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/R%C3%A9f%C3%A9rence%7EM%C3%A9canique_quantique_%28Cohen-Tannoudji%2C_Diu%2C_Lalo%C3%AB%29_be19.html" title="Référence:Mécanique quantique (Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë)">détail des éditions</a>]</small>, chapitre 11</li>
</ul>
<p><br /></p>
<ul>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en <a href="../../../../articles/a/n/g/Anglais.html" title="Anglais">anglais</a> intitulé « <i><span class="plainlinks"><a href="http://en.wikipedia.org../../../../articles/p/e/r/Perturbation_theory_%28quantum_mechanics%29.html" class="external text" title="http://en.wikipedia.org../../../../articles/p/e/r/Perturbation_theory_%28quantum_mechanics%29.html" rel="nofollow">Perturbation theory (quantum mechanics)</a></span></i> ».</li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/n/u/v/Image%7ENuvola_apps_edu_science.svg_fac0.html" class="image" title="Icône du portail de la chimie"><img alt="Icône du portail de la chimie" src="../../../../images/shared/thumb/5/59/Nuvola_apps_edu_science.svg/24px-Nuvola_apps_edu_science.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/c/h/i/Portail%7EChimie_daa8.html" title="Portail:Chimie">Portail de la chimie</a></span></span></li>
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