Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorie de Kummer - Wikipédia</title>
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<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorie de Kummer</h1>
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<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/e/v/a/Image%7EEvariste_galois.jpg_d216.html" class="image" title="Evariste galois.jpg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/27px-Evariste_galois.jpg" width="27" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant l'<a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre.html" title="Algèbre">algèbre</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>En <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>, la théorie de Kummer, ainsi désignée suivant le nom du mathématicien allemand du <span class="romain" title="Nombre 19 écrit en chiffres romains" style="text-transform:uppercase">XIX</span> siècle <a href="../../../../articles/e/r/n/Ernst_Kummer_2663.html" title="Ernst Kummer">Ernst Kummer</a>, suite à ses travaux sur le <a href="../../../../articles/d/e/r/Dernier_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat_c288.html" title="Dernier théorème de Fermat">dernier théorème de Fermat</a>, donne une description de certaines <a href="../../../../articles/e/x/t/Extension_de_corps.html" title="Extension de corps">extensions d'un corps</a> contenant suffisamment de <a href="../../../../articles/r/a/c/Racine_de_l%27unit%C3%A9.html" title="Racine de l'unité">racines de l'unité</a>.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Extension_de_Kummer"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Extension de Kummer</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9orie_de_Kummer"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Théorie de Kummer</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rence"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Référence</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
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<p><a name="Extension_de_Kummer" id="Extension_de_Kummer"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Kummer_f511.html" title="Modifier la section : Extension de Kummer">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Extension de Kummer</span></h2>
<p>Soit un corps commutatif <i>K</i> contenant les racines <i>n</i>-èmes de l'unité, pour <i>n</i> un nombre entier <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombres_premiers_entre_eux.html" title="Nombres premiers entre eux">premier</a> à la <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A9ristique_d%27un_anneau.html" title="Caractéristique d'un anneau">caractéristique</a> de <i>K</i> si elle est positive. Une extension <i>L/K</i> est de Kummer si le corps <i>L</i> est <i>K</i>-engendré par une racine d'un polynôme <i>X<sup>n</sup>-a</i> à coefficients dans <i>K</i>.</p>
<p>Par exemple, en caractéristique différente de <i>2</i>, l'expression des racines des <a href="../../../../articles/t/r/i/Trin%C3%B4me_du_second_degr%C3%A9.html" class="mw-redirect" title="Trinôme du second degré">trinômes du second degré</a> montre que toute <a href="../../../../articles/e/x/t/Extension_quadratique.html" title="Extension quadratique">extension quadratique</a> est une extension de Kummer. En revanche, en caractéristique <i>2</i>, il n'y a pas d'extension de Kummer de degré <i>2</i>.</p>
<p>Si le corps <i>K</i> ne contient aucune racine <i>m</i>-ème de <i>a</i>, pour <i>m>1</i> divisant <i>n</i>, l'extension de Kummer de <i>K</i> donnée par les racines du polynôme <i>X<sup>n</sup>-a</i> est une <a href="../../../../articles/e/x/t/Extension_galoisienne.html" class="mw-redirect" title="Extension galoisienne">extension galoisienne</a>, de groupe de Galois cyclique d'ordre <i>n</i>, dont un générateur <span class="texhtml">σ</span> est défini par son action sur une racine <i>n</i>-ème de <i>a</i> :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\sigma\sqrt[n]{a}=\zeta_n\sqrt[n]{a}," src="../../../../math/3/1/2/31249d14d8b57cf35835ac7c8aa0fe4c.png" /></dd>
</dl>
<p>où <span class="texhtml">ζ<sub><i>n</i></sub></span> désigne une racine primitive <i>n</i>-ème de l'unité. Sans hypothèse sur les racines de <i>a</i> dans <i>K</i>, l'extension est cyclique d'ordre divisant <i>n</i>.</p>
<p>Plus généralement, on parle d'extension de Kummer pour un compositum d'un nombre fini d'extensions de Kummer élémentaires telles que décites ci-dessus, c'est-à-dire obtenues en adjoignant les racines <i>n</i>-èmes de l'unité d'un nombre fini d'éléments <i>a<sub>i</sub></i> du corps <i>K</i>. Un telle extension est à nouveau galoisienne, et son groupe de Galois est produit direct de groupes cycliques d'ordre divisant <i>n</i>, elle est donc <a href="../../../../articles/e/x/t/Extension_ab%C3%A9lienne.html" title="Extension abélienne">abélienne</a>, et son groupe de Galois a un exposant qui divise <i>n</i>.</p>
<p><a name="Th.C3.A9orie_de_Kummer" id="Th.C3.A9orie_de_Kummer"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Kummer_f511.html" title="Modifier la section : Théorie de Kummer">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorie de Kummer</span></h2>
<p>La théorie de Kummer traite les réciproques, c'est-à-dire la question : dans quelle mesure les extensions abéliennes d'un corps peuvent-elles être décrites à l'aide de racines <i>n</i>-èmes d'éléments de ce corps ?</p>
<p>Une réponse est donnée par l'énoncé : si <i>K</i> est un corps contenant les racines <i>n</i>-èmes de l'unité, pour <i>n</i> un entier que ne divise pas la caractéristique de <i>K</i>, et si <i>L</i> est une extension abélienne finie de <i>K</i>, dont le groupe de Galois est d'exposant divisant <i>n</i>, alors il existe des éléments <i>a<sub>1</sub>,...,a<sub>r</sub></i> de <i>K</i> tels que <img class="tex" alt="L=K(\sqrt[n]{a_1},\dots,\sqrt[n]{a_r})" src="../../../../math/f/5/e/f5e285356ad2975ddc275a8b2594da20.png" />. Les éléments <i>a<sub>1</sub></i>, ..., <i>a<sub>r</sub></i> engendrent un sous-groupe abélien <span class="texhtml">Δ</span>, d'exposant divisant <i>n</i>, du groupe quotient <i>K<sup>*</sup>/(K<sup>*</sup>)<sup>n</sup></i>. Il y a donc une correspondance entre de tels sous-groupes <span class="texhtml">Δ</span> et les extensions abéliennes de <i>K</i> de groupe de Galois <i>G</i> d'exposant divisant <i>n</i>, et il existe un isomorphisme :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\begin{pmatrix}\Delta&\to& Hom(G,\mu_n)\\
a_i&\mapsto&(\sigma\mapsto \frac{\sigma(a_i)}{a_i})\end{pmatrix}" src="../../../../math/f/8/d/f8d61bdc59e061abe7be3af426bd5915.png" /></dd>
</dl>
<p>En notant <i>n<sub>i</sub></i> le plus grand entier divisant <i>n</i> tel que la racine <i>n<sub>i</sub></i>-ème de <i>a</i> soit dans <i>K</i>, il existe donc une famille d'éléments <span class="texhtml">σ<sub><i>i</i></sub></span> du groupe <i>G</i> qui laissent fixes les <i>a<sub>j</sub></i> pour <i>j</i> différent de <i>i</i>, et agissent sur <i>a<sub>i</sub></i> par multiplication par <img class="tex" alt="\zeta_n^{n_i}" src="../../../../math/1/0/e/10e867f6f67c4fd4a99c215fae5d2b07.png" />.</p>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Kummer_f511.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<p>Dans le cas d'une extension abélienne d'ordre <i>p</i>, d'un corps commutatif de caractéristique <i>p</i>, voir : <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_d%27Artin-Schreier_6b3f.html" title="Théorie d'Artin-Schreier">théorie d'Artin-Schreier</a>.</p>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rence" id="R.C3.A9f.C3.A9rence"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Kummer_f511.html" title="Modifier la section : Référence">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Référence</span></h2>
<p><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> Jürgen Neukirch, <i>Algebraic number theory</i> <small>[<a href="../../../../articles/a/l/g/R%C3%A9f%C3%A9rence%7EAlgebraic_number_theory_%28Neukirch%29_57af.html" title="Référence:Algebraic number theory (Neukirch)">détail des éditions</a>]</small></p>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
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<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 3 mars 2008 à 18:26 par Utilisateur <a href="../../../../articles/j/e/a/Utilisateur%7EJean-Luc_W_9f53.html" title="Utilisateur:Jean-Luc W">Jean-Luc W</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/b/a/d/Utilisateur%7EBadmood_4dbf.html" title="Utilisateur:Badmood">Badmood</a>, <a href="../../../../articles/l/o/v/Utilisateur%7ELoveless_6fc1.html" title="Utilisateur:Loveless">Loveless</a> et <a href="../../../../articles/s/a/l/Utilisateur%7ESalle_2887.html" title="Utilisateur:Salle">Salle</a>.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
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