Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorie de Ginzburg-Landau - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorie de Ginzburg-Landau</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>En <a href="../../../../articles/p/h/y/Physique.html" title="Physique">physique</a>, la <b>théorie de Ginzburg-Landau</b> est une <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie.html" title="Théorie">théorie</a> phénomènologique des <a href="../../../../articles/s/u/p/Supraconducteur.html" class="mw-redirect" title="Supraconducteur">supraconducteurs</a>, proposée en <a href="../../../../articles/1/9/5/1950.html" title="1950">1950</a> par les physiciens soviétiques <a href="../../../../articles/v/i/t/Vitaly_Ginzburg_3e28.html" title="Vitaly Ginzburg">V. L. Ginzburg</a> et <a href="../../../../articles/l/e/v/Lev_Landau_9b86.html" title="Lev Landau">L. D. Landau</a>.</p>
<p>Elle se base sur des travaux plus anciens de L. D. Landau (1938) sur les <a href="../../../../articles/t/r/a/Transition_de_phase.html" title="Transition de phase">transitions de phase</a> du second ordre. Cette théorie utilise un <a href="../../../../articles/p/a/r/Param%C3%A8tre_d%27ordre.html" title="Paramètre d'ordre">paramètre d'ordre</a> <span class="texhtml">ψ</span> appelé « fonction d'onde des électrons condensés » par Landau et Ginzburg. Ce paramètre d'ordre mesure la <a href="../../../../articles/b/r/i/Brisure_de_sym%C3%A9trie.html" class="mw-redirect" title="Brisure de symétrie">brisure de symétrie</a> <a href="../../../../articles/g/r/o/Groupe_de_sym%C3%A9trie.html" title="Groupe de symétrie">U(1)</a> dans l'état supraconducteur.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#.C3.89nergie_libre"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Énergie libre</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Longueur_de_coh.C3.A9rence"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Longueur de cohérence</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Longueur_de_p.C3.A9n.C3.A9tration_du_champ_magn.C3.A9tique"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Longueur de pénétration du champ magnétique</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Supraconducteurs_de_type_I_et_II"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Supraconducteurs de type I et II</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Supraconducteurs_de_type_I"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Supraconducteurs de type I</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Supraconducteurs_de_type_II"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Supraconducteurs de type II</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A9seau_de_vortex_dans_les_supraconducteurs_de_type_II"><span class="tocnumber">4.3</span> <span class="toctext">Réseau de vortex dans les supraconducteurs de type II</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Relation_entre_la_th.C3.A9orie_de_Landau-Ginzburg_et_la_th.C3.A9orie_BCS"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Relation entre la théorie de Landau-Ginzburg et la théorie BCS</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Landau-Ginzburg_d.C3.A9pendant_du_temps"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Landau-Ginzburg dépendant du temps</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Références</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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//<![CDATA[
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//]]>
</script>
<p><a name=".C3.89nergie_libre"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Énergie libre">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Énergie libre</span></h2>
<p>Avec ce paramètre d'ordre, Landau et Ginzburg ont construit une <a href="../../../../articles/%C3%A9/n/e/%C3%89nergie_libre.html" title="Énergie libre">énergie libre</a> variationnelle possédant la symétrie de la phase de haute température. Cette énergie variationnelle s'écrit:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" F_{var}=\int d{\mathbf{r}} \left[\frac{1}{2m^*} \mid (\frac \hbar i \nabla - e^* \mathbf{A}) \psi\mid^2 +\frac{a(T-T_c)}{2} \mid \psi \mid^2 +\frac b 4 \mid \psi\mid^4 +\frac{(\nabla \times\mathbf{A})^2} {2\mu} \right] " src="../../../../math/9/0/6/9062ea76f45e209137e61459f8871e4a.png" /></dd>
</dl>
<p>Suivant les principes de la théorie de Landau des transitions de phase de second ordre, cette énergie variationnelle doit être minimisée par rapport au paramètres variationnels <span class="texhtml">ψ</span> et <img class="tex" alt="\mathbf{A}" src="../../../../math/9/2/5/92555f9439ef4a54fcd65bd62f44f4ee.png" />.</p>
<p>La première équation de minimisation permet d'obtenir la densité superfluide :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \rho_s =\mid \psi\mid^2" src="../../../../math/5/d/e/5de69917837bc26d37599da477d336cb.png" />.</dd>
</dl>
<p>La seconde équation redonne l'équation de Maxwell-Ampère avec la définition suivante pour le courant:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \mathbf{j}=\frac{e^*\hbar}{2 i m^*} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*) - \frac{\rho_s (e^*)^2}{m^*} \mathbf{A} " src="../../../../math/6/4/5/645cbbf2f34be3bac136c7f73f1d687f.png" /></dd>
</dl>
<p>On voit que pour un paramètre d'ordre uniforme, on retrouve l'équation de London et donc l'<a href="../../../../articles/e/f/f/Effet_Meissner_fadc.html" title="Effet Meissner">effet Meissner</a> (expulsion du champ magnétique par le supraconducteur).</p>
<p><a name="Longueur_de_coh.C3.A9rence" id="Longueur_de_coh.C3.A9rence"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Longueur de cohérence">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Longueur de cohérence</span></h2>
<p>En l'absence de <a href="../../../../articles/c/h/a/Champ_magn%C3%A9tique.html" title="Champ magnétique">champ magnétique</a>, la première équation de minimisation s'écrit dans le cas d'un paramètre d'ordre non-uniforme:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" -\frac{\hbar^2}{2m^*} \nabla^2 \psi + a(T-T_c) \psi + b |\psi|^2 \psi =0 " src="../../../../math/0/5/0/05020934dfdfbb9f092b6e57b8e30971.png" /></dd>
</dl>
<p>Pour un état uniforme <img class="tex" alt="\nabla \psi=0" src="../../../../math/8/7/d/87da603ea13245ebe220fa677a35afab.png" />, on trouve:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" |\psi|_\infty=\sqrt{\frac{a(T_c - T)}{b}} " src="../../../../math/f/5/4/f54e070b7fb21c86a7cb37bd0615c813.png" /></dd>
</dl>
<p>On peut chercher une solution non-uniforme de l'équation de Landau Ginzburg, ne dépendant que d'une coordonnée <span class="texhtml"><i>x</i></span> et telle que <span class="texhtml">ψ(0) = 0</span> et <img class="tex" alt="\lim_{x\to\infty}\psi(x)=|\psi|_\infty" src="../../../../math/c/d/8/cd88fcddc9f9676b1ee0a7c40dd85441.png" />. Cette solution s'écrit sous la forme :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\psi(x)=|\psi|_\infty f(x/\xi) " src="../../../../math/0/8/9/0899234bc32464345c85d8dec194c25d.png" />, où <span class="texhtml">ξ</span></dd>
</dl>
<p>est la longueur de cohérence, et :</p>
<dl>
<dd><span class="texhtml"><i>f</i>'' − <i>f</i> + <i>f</i><sup>3</sup> = 0</span></dd>
</dl>
<p>On trouve que la longueur de cohérence varie comme</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\xi=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m^* a(T-T_c)}}" src="../../../../math/8/1/c/81c67a19b8cdb634210a998b23aa8aef.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="Longueur_de_p.C3.A9n.C3.A9tration_du_champ_magn.C3.A9tique" id="Longueur_de_p.C3.A9n.C3.A9tration_du_champ_magn.C3.A9tique"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Longueur de pénétration du champ magnétique">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Longueur de pénétration du champ magnétique</span></h2>
<p>L'équation de London s'écrit :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\nabla^2 \mathbf{A} =\mu_0 \frac{(e^*)^2 \rho_s}{m^*} \mathbf{A} " src="../../../../math/9/6/1/9610345ebf22f66445115eb466a77527.png" /></dd>
</dl>
<p>On introduit la longueur de pénétration <span class="texhtml">λ</span> par:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt=" \lambda=\sqrt{\frac{m^*}{\mu_0 (e^*)^2 \rho_s}} " src="../../../../math/2/7/b/27b9640715bedeb2dcce158e8bfa1245.png" /></dd>
</dl>
<p>Et on voit que les solutions de l'équation de London sont de la forme <img class="tex" alt="\mathbf{A}(x)=\mathbf{A}(0)e^{-x/\lambda}" src="../../../../math/a/0/0/a00739229bd5558f35f035a80bdaca66.png" />, ce qui entraine que le champ magnétique n'est différent de zéro que dans une couche d'épaisseur <span class="texhtml">λ</span> près de la surface du supraconducteur.</p>
<p>En utilisant l'expression de <span class="texhtml">ρ<sub><i>s</i></sub></span>, on montre que <span class="texhtml">λ</span> varie avec la <a href="../../../../articles/t/e/m/Temp%C3%A9rature.html" title="Température">température</a> comme :</p>
<dl>
<dd><span class="texhtml">(<i>T</i> − <i>T</i><sub><i>c</i></sub>) <sup>− 1 / 2</sup></span></dd>
</dl>
<p>et donc que le rapport <span class="texhtml">κ = λ / ξ</span> est indépendant de la température.</p>
<p><a name="Supraconducteurs_de_type_I_et_II" id="Supraconducteurs_de_type_I_et_II"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Supraconducteurs de type I et II">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Supraconducteurs de type I et II</span></h2>
<p>L'équation de Landau-Ginzburg permet aussi de prédire qu'il existe deux types de <a href="../../../../articles/s/u/p/Supraconducteur.html" class="mw-redirect" title="Supraconducteur">supraconducteurs</a>, les supraconducteurs de type I dans lesquels la longueur de cicatrisation du paramètre d'ordre est plus grande que la longueur de pénétration du champ magnétique (<img class="tex" alt="\kappa<1/\sqrt{2}" src="../../../../math/f/5/f/f5fb159733b77527e65b79d0a8c101b4.png" />), et qui reviennent à l'état normal au delà d'un champ critique <span class="texhtml"><i>H</i><sub><i>c</i></sub></span>, et les supraconducteurs de type II où la longueur de cicatrisation est faible devant la longueur de pénétration du champ magnétique (<img class="tex" alt="\kappa>1/\sqrt{2}" src="../../../../math/2/5/a/25ad26f185354daa9069ac0001081de4.png" />).</p>
<p><a name="Supraconducteurs_de_type_I" id="Supraconducteurs_de_type_I"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Supraconducteurs de type I">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Supraconducteurs de type I</span></h3>
<p>Dans les supraconducteurs de type I, au delà d'un <a href="../../../../articles/c/h/a/Champ_magn%C3%A9tique.html" title="Champ magnétique">champ magnétique</a> critique <span class="texhtml"><i>H</i><sub><i>c</i></sub></span>, la supraconductivité est détruite dans tout l'échantillon qui revient à l'état normal.</p>
<p>Dans un supraconducteur de type I, le champ critique est de quelques centaines de Gauss ce qui prohibe toute application électrotechnique.</p>
<p><a name="Supraconducteurs_de_type_II" id="Supraconducteurs_de_type_II"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Supraconducteurs de type II">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Supraconducteurs de type II</span></h3>
<p>Dans un supraconducteur de type II, lorsque le champ magnétique dépasse une valeur <span class="texhtml"><i>H</i><sub><i>c</i>1</sub></span>, il se forme des <a href="../../../../articles/v/o/r/Vortex.html" title="Vortex">vortex</a> (défauts linéaires le long desquels le paramètre d'ordre <span class="texhtml">ψ</span> s'annule) où un cœur de métal normal laisse passer le champ magnétique, tandis qu'autour de ce champ il existe un tourbillon de courant supraconducteur qui empêche la pénétration du flux magnétique dans le reste du matériau.</p>
<p>Une caractéristique remarquable des vortex est qu'ils portent un quantum de flux <img class="tex" alt="\frac{h}{e^*}" src="../../../../math/f/2/3/f23b0502fa4931c43765311c63c977bc.png" /> en raison du caractère univoque de la phase du paramètre d'ordre <span class="texhtml">ψ</span>.</p>
<p>La solution de l'équation de Ginzburg-Landau décrivant le vortex apparait aussi dans le contexte de la théorie des champs sous le nom de « Nielsen-Olsen string ».</p>
<p><a name="R.C3.A9seau_de_vortex_dans_les_supraconducteurs_de_type_II" id="R.C3.A9seau_de_vortex_dans_les_supraconducteurs_de_type_II"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Réseau de vortex dans les supraconducteurs de type II">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Réseau de vortex dans les supraconducteurs de type II</span></h3>
<p>En utilisant l'équation de Landau Ginzburg, <a href="../../../../articles/a/l/e/Alexei_Abrikosov_a155.html" class="mw-redirect" title="Alexei Abrikosov">A. A. Abrikosov</a> a établi que les vortex formeraient un réseau hexagonal en raison des forces répulsives crées entre vortex par les courants supraconducteurs.</p>
<p>Ce réseau de vortex au dessus du champ <span class="texhtml"><i>H</i><sub><i>c</i>1</sub></span> peut être mis en évidence par les expériences de décoration de Bitter où des particules magnétiques sont projetées à la surface de l'échantillon supraconducteur. Les particules sont attirées là où se trouve le <a href="../../../../articles/c/h/a/Champ_magn%C3%A9tique.html" title="Champ magnétique">champ magnétique</a> le plus fort c'est-à-dire à l'endroit où l'extrémité des vortex touche la surface de l'échantillon.</p>
<p>Enfin pour un champ encore plus fort <span class="texhtml"><i>H</i><sub><i>c</i>2</sub></span>, qui peut aussi être calculé par l'équation de Landau-Ginzburg, la supraconductivité est détruite. Ce champ <span class="texhtml"><i>H</i><sub><i>c</i>2</sub></span> peut être de l'ordre du <a href="../../../../articles/t/e/s/Tesla_%28unit%C3%A9%29.html" title="Tesla (unité)">tesla</a> ce qui fait que les supraconducteurs de type II peuvent être utilisés dans des bobines destinées à générer des champs magnétiques intenses.</p>
<p>Il faut noter que pour <span class="texhtml"><i>H</i><sub><i>c</i>1</sub> < <i>H</i> < <i>H</i><sub><i>c</i>2</sub></span>, si le réseau de vortex peut se déplacer, puisque chaque vortex porte un flux magnétique, le mouvement du réseau de vortex crée une force électromotrice. Il en résulte que le supraconducteur n'agit plus comme un conducteur parfait dans ce régime. Pour piéger les vortex, il est nécessaire d'introduire des défauts dans le supraconducteurs. La théorie de Landau-Ginzburg peut être utilisée pour modéliser le piégeage des vortex.</p>
<p>L'effet des défauts sur le vortex est représenté par un <span class="texhtml"><i>T</i><sub><i>c</i></sub></span> qui dépend explicitement de la position. Il est énergétiquement plus avantageux de placer les vortex là où <span class="texhtml"><i>T</i><sub><i>c</i></sub></span> est plus faible, la perte d'énergie de condensation étant moindre.</p>
<p><a name="Relation_entre_la_th.C3.A9orie_de_Landau-Ginzburg_et_la_th.C3.A9orie_BCS" id="Relation_entre_la_th.C3.A9orie_de_Landau-Ginzburg_et_la_th.C3.A9orie_BCS"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Relation entre la théorie de Landau-Ginzburg et la théorie BCS">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Relation entre la théorie de Landau-Ginzburg et la théorie BCS</span></h2>
<p>L. P. Gork'ov a établi par des méthodes de <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_de_Green_d65d.html" title="Fonction de Green">fonction de Green</a> que la théorie de Ginzburg-Landau pouvait être obtenue à partir de la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_BCS_5731.html" title="Théorie BCS">théorie BCS</a> moyennant certaines approximations.</p>
<p>Le calcul de Gor'kov permet aussi de montrer que <span class="texhtml"><i>e</i> <sup>*</sup> = 2<i>e</i></span>, <span class="texhtml"><i>m</i> <sup>*</sup> = 2<i>m</i></span>, c'est-à-dire que les « électrons condensés » de Landau et Ginzburg sont en fait des <a href="../../../../articles/p/a/i/Paire_de_Cooper_2e71.html" class="mw-redirect" title="Paire de Cooper">paires d'électrons</a>.</p>
<p><a name="Landau-Ginzburg_d.C3.A9pendant_du_temps" id="Landau-Ginzburg_d.C3.A9pendant_du_temps"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Landau-Ginzburg dépendant du temps">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Landau-Ginzburg dépendant du temps</span></h2>
<p>Il existe des modifications de la théorie de Landau et Ginzburg (Landau-Ginzburg dépendant du temps) qui permettent de décrire la dynamique des vortex.</p>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rences" id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_de_Ginzburg-Landau_d9a2.html" title="Modifier la section : Références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Références</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/l/e/v/Lev_Landau_9b86.html" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="../../../../articles/e/v/g/Evgu%C3%A9ni_Lifchitz_6882.html" title="Evguéni Lifchitz">Evguéni Lifchitz</a>, <i>Physique théorique</i>, tome 9 : <i>Physique statistique (II)</i>, éd. MIR, Moscou <small>[<a href="../../../../articles/p/h/y/R%C3%A9f%C3%A9rence%7EPhysique_th%C3%A9orique_%28Landau_et_Lifchitz%29_f5f9.html" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small></li>
<li>M. Tinkham Introduction to Superconductivity (McGrawHill)</li>
<li>A. A. Abrikosov, L. P. Gor'kov et I. E. Dzialoshinskii Methods of Quantum Field Theory in Statistical</li>
</ul>
<p>Physics (Dover)</p>
<ul>
<li>P. G. De Gennes Superconductivity of metals and alloys (Addison-Wesley)</li>
<li>P. W. Anderson Basic Notions of Condensed Matter Physics (Addison Wesley)</li>
</ul>
<ul>
<li>P. Mangin <a href="http://www.lpm.u-nancy.fr/webperso/mangin.p/supra.html" class="external text" title="http://www.lpm.u-nancy.fr/webperso/mangin.p/supra.html" rel="nofollow"><i>Cours de l'école des mines de Nancy</i></a></li>
<li>V. L. Ginzburg et A. A. Abrikosov <a href="http://nobelprize.org/physics/laureates/2003/index.html" class="external text" title="http://nobelprize.org/physics/laureates/2003/index.html" rel="nofollow"><i>sur le site de la Fondation Nobel</i></a></li>
<li>E. H. Brandt <a href="http://fr.arxiv.org/abs/supr-con/9506003" class="external text" title="http://fr.arxiv.org/abs/supr-con/9506003" rel="nofollow"><i>Article de revue sur les supraconducteurs de type II</i></a></li>
<li><a href="http://www.fys.uio.no/super/vortex/index.html" class="external text" title="http://www.fys.uio.no/super/vortex/index.html" rel="nofollow"><i>Images de réseaux de vortex</i></a></li>
</ul>
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