Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorème des quatre carrés de Lagrange - Wikipédia</title>
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<h1 class="firstHeading">Théorème des quatre carrés de Lagrange</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>Le <b>théorème des quatre carrés de Lagrange</b>, aussi connu sous le nom de <i>conjecture de Bachet</i> et démontré en <a href="../../../../articles/1/7/7/1770.html" title="1770">1770</a> par le <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9maticien.html" title="Mathématicien">mathématicien</a> italien <a href="../../../../articles/j/o/s/Joseph_Louis_Lagrange_8f4c.html" class="mw-redirect" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a> correspond à une <a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_diophantienne.html" title="Équation diophantienne">équation diophantienne</a> qui se résout avec les techniques de l'<a href="../../../../articles/a/r/i/Arithm%C3%A9tique_modulaire.html" title="Arithmétique modulaire">arithmétique modulaire</a>. Il s'énonce de la façon suivante :</p>
<dl>
<dd>Tout <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_entier.html" class="mw-redirect" title="Nombre entier">entier</a> positif s'exprime comme la <a href="../../../../articles/s/o/m/Somme_%28arithm%C3%A9tique%29.html" title="Somme (arithmétique)">somme</a> d'au plus quatre <a href="../../../../articles/c/a/r/Carr%C3%A9_parfait.html" title="Carré parfait">carrés</a>.</dd>
</dl>
<p>Plus formellement, pour tout entier positif <i>n</i>, il existe des entiers positifs <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> tels que :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2\,\!" src="../../../../math/5/5/a/55aeb22e2242913b7f2b3b1babd0379a.png" /></dd>
</dl>
<p>Le mathématicien français <a href="../../../../articles/a/d/r/Adrien-Marie_Legendre_70b2.html" title="Adrien-Marie Legendre">Adrien-Marie Legendre</a> améliora le théorème en <a href="../../../../articles/1/7/9/1798.html" title="1798">1798</a> en affirmant qu'un entier positif peut être exprimé comme la somme d'au plus trois carrés <a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quivalence_logique.html" title="Équivalence logique">si et seulement s'il</a> n'est pas de la forme</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="4^{k}(8m + 7)\,\!" src="../../../../math/2/f/e/2fe7620448c2d25ffcc65083629c5f20.png" />.</dd>
</dl>
<p>Sa démonstration était incomplète, laissant une brèche qui fut comblée plus tard par le <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9maticien.html" title="Mathématicien">mathématicien</a> <a href="../../../../articles/a/l/l/Allemagne.html" title="Allemagne">allemand</a> <a href="../../../../articles/c/a/r/Carl_Friedrich_Gauss_b24e.html" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>.</p>
<p>Le théorème des quatre carrés de Lagrange est un cas particulier du théorème du nombre polygonal de Fermat et du <a href="../../../../articles/p/r/o/Probl%C3%A8me_de_Waring_9b50.html" title="Problème de Waring">problème de Waring</a>.</p>
<p>La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'<a href="../../../../articles/i/d/e/Identit%C3%A9_des_quatre_carr%C3%A9s_d%27Euler_ec2e.html" title="Identité des quatre carrés d'Euler">identité des quatre carrés d'Euler</a> :</p>
<p><img class="tex" alt="(x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + t_1^2)(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 + t_2^2) =
(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 + t_1t_2)^2 + (x_1y_2 - y_1x_2 + t_1z_2 - z_1t_2)^2 " src="../../../../math/4/8/f/48f68bee5e278b8ca226702dfd4d19ef.png" /></p>
<p><img class="tex" alt="+ \left.(x_1z_2 - z_1x_2 + y_1t_2 - t_1y_2)^2 + (x_1t_2 - t_1x_2 + z_1y_2 - y_1z_2)^2\right. " src="../../../../math/d/0/b/d0b0bee60ba26193a810f99da8246cf5.png" /></p>
<p><a name="Fonctions_arithm.C3.A9tiques" id="Fonctions_arithm.C3.A9tiques"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_quatre_carr%C3%A9s_de_Lagrange_ca37.html" title="Modifier la section : Fonctions arithmétiques">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Fonctions arithmétiques</span></h3>
<p>Les <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_arithm%C3%A9tique.html" title="Fonction arithmétique">fonctions arithmétiques</a> permettent d'obtenir des résultats plus généraux. Si on pose <span class="texhtml"><i>r</i><sub>4</sub>(<i>n</i>)</span> comme étant le nombre de façon de décomposer <span class="texhtml"><i>n</i></span> sous forme d'une somme de 4 carrés, on obtient le résultat suivant:</p>
<p><img class="tex" alt="\sum_{n=0}^{\infty}{r_4(n)x^n} = \left( \sum_{n=0}^{\infty}{x^{n^2}} \right)^4" src="../../../../math/4/b/a/4bae1b8dbbc1dd41cc8982babfdd0a92.png" />, pour <span class="texhtml">| <i>x</i> | < 1</span>.</p>
<p>Moyennant l'utilisation des <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_de_Lambert_89d5.html" title="Série de Lambert">séries de Lambert</a>, on en déduit le théorème suivant, dit <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Jacobi_bda1.html" title="Théorème de Jacobi">théorème de Jacobi</a> :</p>
<p><img class="tex" alt="\forall n \in \mathbb{N}^*, \ r_4(n) = 8 \sum_{d|n, d \not\equiv 0[4]}{d}" src="../../../../math/f/2/d/f2de8fa897b940dd87bfb7457bc12e72.png" /></p>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
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