Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorème de plongement de Nash - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème de plongement de Nash</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>Le <b>théorème de plongement de Nash</b> (d'après le nom du mathématicien <a href="../../../../articles/j/o/h/John_Forbes_Nash_360a.html" title="John Forbes Nash">John Forbes Nash</a>) affirme que toute <a href="../../../../articles/v/a/r/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne.html" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a> peut être plongée de manière isométrique dans un <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_euclidien.html" title="Espace euclidien">espace euclidien</a> de type <img class="tex" alt="\mathbb{R}^n" src="../../../../math/3/0/c/30c28f76ef7517dbd19df4d4c683dbe6.png" />.</p>
<p>"De manière isométrique" veut dire "conservant la longueur des courbes". Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_euclidien.html" title="Espace euclidien">espace euclidien</a>.</p>
<p>Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :</p>
<ul>
<li>Le premier (1954), portant sur les variétés de classe <i>C</i><sup>1</sup>. Il est peu intuitif mais se démontre facilement.</li>
<li>Le second (1956), portant sur les variétés de classe <i>C</i><sup>k</sup> où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.</li>
</ul>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_plongement_C1_.28Nash-Kuiper.29"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Théorème de plongement C<sup>1</sup> (Nash-Kuiper)</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_plongement_Ck"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Théorème de plongement C<sup>k</sup></span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Bibliographie"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Bibliographie</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
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<p><a name="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_plongement_C1_.28Nash-Kuiper.29" id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_plongement_C1_.28Nash-Kuiper.29"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_plongement_de_Nash_c256.html" title="Modifier la section : Théorème de plongement C1 (Nash-Kuiper)">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorème de plongement <i>C</i><sup>1</sup> (Nash-Kuiper)</span></h2>
<p>Soient (M, g) une <a href="../../../../articles/v/a/r/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne.html" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a> de dimension m et <img class="tex" alt="f:M^m\to E^n " src="../../../../math/4/d/f/4df3675f2ea6eb540ccab334b42fa493.png" /> un encastrement lisse et <i>court</i> <img class="tex" alt="C^\infty " src="../../../../math/0/c/5/0c582a21481872f0a89dcc6a3c224581.png" /> dans un <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_euclidien.html" title="Espace euclidien">espace euclidien</a> <span class="texhtml"><i>E</i><sup><i>n</i></sup></span> où <img class="tex" alt="n\ge m+1" src="../../../../math/d/6/c/d6c2defd7cf5696a5691e89aa39f42b5.png" />. Alors pour tout <span class="texhtml">ε > 0</span> il existe un encastrement <img class="tex" alt="f_\epsilon:M^m\to E^n" src="../../../../math/0/8/d/08de5caffa13b6e95d0ae9c80929f90d.png" /> ayant les propriétés suivantes :</p>
<dl>
<dd>(i) <span class="texhtml"><i>f</i><sub>ε</sub></span> est de classe <span class="texhtml"><i>C</i><sup>1</sup></span>,</dd>
</dl>
<dl>
<dd>(ii) <span class="texhtml"><i>f</i><sub>ε</sub></span> est <a href="../../../../articles/i/s/o/Isom%C3%A9trie.html" title="Isométrie">isométrique</a>, i.e. pour tout couple de vecteurs <img class="tex" alt="v,w\in T_x(M)" src="../../../../math/6/4/b/64bbd707f2ed89ff5e847a3b677444f0.png" /> dans l'espace tangent en <img class="tex" alt="x\in M" src="../../../../math/b/5/9/b59b15da2e9712d821385c9f0cbbba55.png" /> on a <img class="tex" alt="g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle" src="../../../../math/8/3/2/83254313c035b14db67a897e166d7fd8.png" />.</dd>
</dl>
<dl>
<dd>(iii) <span class="texhtml">| <i>f</i>(<i>x</i>) − <i>f</i><sub>ε</sub>(<i>x</i>) | < ε</span> pour tout <img class="tex" alt="x\in M" src="../../../../math/b/5/9/b59b15da2e9712d821385c9f0cbbba55.png" />.</dd>
</dl>
<p>En particulier, toute variété riemannienne de dimension m admet une isométrie de classe <i>C</i><sup>1</sup> dans un espace euclidien de dimension 2m.</p>
<p>Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être <span class="texhtml"><i>C</i><sup>1</sup></span>-plongée dans une boule de taille arbitrairement petite d'un espace euclidien à 3 dimensions (d'après la formule de Gauss, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe <span class="texhtml"><i>C</i><sup>3</sup></span> ; la question est ouverte pour les plongements <span class="texhtml"><i>C</i><sup>2</sup></span> )</p>
<p><a name="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_plongement_Ck" id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_plongement_Ck"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_plongement_de_Nash_c256.html" title="Modifier la section : Théorème de plongement Ck">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorème de plongement <i>C</i><sup>k</sup></span></h2>
<p>Soient (M, g) une <a href="../../../../articles/v/a/r/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne.html" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a> de dimension m (analytique ou de classe <i>C</i><sup>k</sup> avec k > 3). Alors il existe un nombre n (<span class="texhtml"><i>n</i> = <i>m</i><sup>2</sup> + 5<i>m</i> + 3</span> suffit) et un plongement <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_%28math%C3%A9matiques%29.html#Injectivit.C3.A9_et_surjectivit.C3.A9" class="mw-redirect" title="Fonction (mathématiques)">injectif</a> <img class="tex" alt=" f : M^{m} \to \mathbb{R}^n" src="../../../../math/c/5/b/c5b0f6c431ab1b30d62a968c4971cc1b.png" /> (également analytique ou de classe <i>C</i><sup>k</sup>) tel qu'en tout point p de M,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\forall u,v \in T_p M, g(u,v) = df_p(u).df_p(v)" src="../../../../math/3/f/a/3fa77933a59ca282390fe158f24cefc5.png" /> où . est le produit scalaire canonique de <img class="tex" alt="\mathbb{R}^n" src="../../../../math/3/0/c/30c28f76ef7517dbd19df4d4c683dbe6.png" />.</dd>
</dl>
<p><a name="Bibliographie" id="Bibliographie"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_plongement_de_Nash_c256.html" title="Modifier la section : Bibliographie">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bibliographie</span></h2>
<ul>
<li>N.H.Kuiper: "On <i>C</i><sup>1</sup>-isometric imbeddings I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 58 (1955), pp 545-556.</li>
<li>John Nash: "<i>C</i><sup>1</sup>-isometric imbeddings", Annals of Mathematics, 60 (1954), pp 383-396.</li>
<li>John Nash: "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1956), pp 20-63.</li>
<li>John Nash: "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data" Annals of Mathematics, 84 (1966), pp 345-355.</li>
</ul>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_plongement_de_Nash_c256.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle.html" title="Géométrie différentielle">Géométrie différentielle</a></li>
<li><a href="../../../../articles/v/a/r/Vari%C3%A9t%C3%A9_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29.html" title="Variété (géométrie)">Variété (géométrie)</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
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