Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème de la progression arithmétique - Wikipédia</title>
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<div id="content">
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<h1 class="firstHeading">Théorème de la progression arithmétique</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;"><a href="../../../../articles/j/o/h/Image%7EJohann_dirichlet.jpg_8d82.html" class="image" title="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur de théorème"><img alt="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur de théorème" src="../../../../images/local/thumb/3/30/Johann_dirichlet.jpg/250px-Johann_dirichlet.jpg" width="250" height="304" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/j/o/h/Image%7EJohann_dirichlet.jpg_8d82.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur de théorème</div>
</div>
</div>
<p>En <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>, et plus particulièrement en <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_nombres.html" title="Théorie des nombres">théorie des nombres</a>, le <b>théorème de la progression arithmétique</b>, dû au mathématicien allemand <a href="../../../../articles/j/o/h/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet_bfa2.html" title="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Gustav Lejeune-Dirichlet</a>, s'énonce de la façon suivante :</p>
<dl>
<dd>« Pour tous <a href="../../../../articles/e/n/t/Entier_naturel.html" title="Entier naturel">entiers naturels</a> non nuls <i>n</i> et <i>m</i> <a href="../../../../articles/p/r/e/Premiers_entre_eux.html" class="mw-redirect" title="Premiers entre eux">premiers entre eux</a>, il existe une infinité de <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_premier.html" title="Nombre premier">nombres premiers</a> de la forme <i>n</i> + <i>a</i> <i>m</i>, où <i>a</i> est un entier positif. »</dd>
</dl>
<p>ce qui est équivalent à l'énoncé suivant :</p>
<dl>
<dd>« Pour tous entiers non nuls <i>n</i> et <i>m</i> <a href="../../../../articles/p/r/e/Premiers_entre_eux.html" class="mw-redirect" title="Premiers entre eux">premiers entre eux</a>, il existe une infinité de nombres premiers dans la <a href="../../../../articles/a/n/n/Anneau_Z_nZ_8d08.html" title="Anneau Z/nZ">classe</a> de <i>m</i> <a href="../../../../articles/c/o/n/Congruence_sur_les_entiers.html" title="Congruence sur les entiers">modulo</a> <i>n</i>. »</dd>
</dl>
<p>Ce théorème utilise à la fois les résultats de l'<a href="../../../../articles/a/r/i/Arithm%C3%A9tique_modulaire.html" title="Arithmétique modulaire">arithmétique modulaire</a> et ceux de la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_analytique_des_nombres.html" title="Théorie analytique des nombres">théorie analytique des nombres</a>.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Signification_du_th.C3.A9or.C3.A8me"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Signification du théorème</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Histoire"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Histoire</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Pr.C3.A9histoire"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Préhistoire</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Vers_une_formalisation"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Vers une formalisation</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Apports_de_Dirichlet"><span class="tocnumber">2.3</span> <span class="toctext">Apports de Dirichlet</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9monstration"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Démonstration</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#La_fonction_.CF.89_.28s.2Cu.29"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">La fonction ω (s,u)</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#D.C3.A9localisation_des_nombres_premiers"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">Délocalisation des nombres premiers</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Produit_eul.C3.A9rien"><span class="tocnumber">3.3</span> <span class="toctext">Produit eulérien</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#S.C3.A9rie_L_de_Dirichlet"><span class="tocnumber">3.4</span> <span class="toctext">Série L de Dirichlet</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Notes et références</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Notes"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Notes</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Liens_externes"><span class="tocnumber">4.3</span> <span class="toctext">Liens externes</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">4.4</span> <span class="toctext">Références</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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</script>
<p><a name="Signification_du_th.C3.A9or.C3.A8me" id="Signification_du_th.C3.A9or.C3.A8me"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Signification du théorème">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Signification du théorème</span></h2>
<p>Ce théorème généralise le théorème d'<a href="../../../../articles/e/u/c/Euclide.html" title="Euclide">Euclide</a> d'après lequel il existe une infinité de nombres premiers. Il indique que si l'on construit un tableau comme le suivant, alors certaines lignes possèderont au plus un nombre premier, <i>(indiqué en rouge sur la figure)</i> et il sera, s'il existe, toujours en première colonne. Cette configuration se présente ici pour les lignes commençant par 3, 6 et 9. Les autres contiendront toujours un nombre infinis de nombres premiers (ici de premier élément 1, 2, 4, 5, 7 et 8).</p>
<p>Les lignes contenant au plus un nombre premier sont celles dont la première valeur contient un diviseur commun avec le nombre dans la dernière ligne et première colonne.</p>
<p>On peut aller plus loin. La répartition statistique est presque la même dans chaque ligne. Et plus la ligne est longue, plus les répartitions statistiques se ressemblent, pour devenir exactement les mêmes. Vu sous cet angle, les nombres premiers sont remarquablement bien ordonnés. Ce résultat est démontré par le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_densit%C3%A9_de_Chebotarev_0291.html" title="Théorème de densité de Chebotarev">théorème de densité de Chebotarev</a> une généralisation du travail de Dirichlet. Dans l'exemple cité, les lignes commençant avec un entier premier avec 9 en contiennent entre 8 et 5, soit une variation inférieure à 40%. En revanche, si le tableau est prolongé jusqu'à la valeur 1 000 alors le nombre de nombres premiers dans les colonnes en contenant une infinité ne varie plus que de 26 à 29, soit une variation de moins de 10%.</p>
<p>Une autre analyse est réalisée sur l'apparition du premier nombre premier dans une ligne, elle est l'objet du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Linnik_ebf1.html" title="Théorème de Linnik">Théorème de Linnik</a>.</p>
<center>
<table class="wikitable">
<tr>
<td> 1</td>
<td> 10</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 19</td>
<td> 28</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 37</td>
<td> 46</td>
<td> 55</td>
<td> 64</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 73</td>
<td> 82</td>
<td> 91</td>
<td> 100</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 109</td>
<td> 118</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 127</td>
<td> 136</td>
<td> 145</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FF6666"> 2</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 11</td>
<td> 20</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 29</td>
<td> 38</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 47</td>
<td> 56</td>
<td> 65</td>
<td> 74</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 83</td>
<td> 92</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 101</td>
<td> 110</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 119</td>
<td> 128</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 137</td>
<td> 146</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FF6666"> 3</td>
<td> 12</td>
<td> 21</td>
<td> 30</td>
<td> 39</td>
<td> 48</td>
<td> 57</td>
<td> 66</td>
<td> 75</td>
<td> 84</td>
<td> 93</td>
<td> 102</td>
<td> 111</td>
<td> 120</td>
<td> 129</td>
<td> 138</td>
<td> 147</td>
</tr>
<tr>
<td> 4</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 13</td>
<td> 22</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 31</td>
<td> 40</td>
<td> 49</td>
<td> 58</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 67</td>
<td> 76</td>
<td> 85</td>
<td> 94</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 103</td>
<td> 112</td>
<td> 121</td>
<td> 130</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 139</td>
<td> 148</td>
</tr>
<tr>
<td> 5</td>
<td> 14</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 23</td>
<td> 32</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 41</td>
<td> 50</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 59</td>
<td> 68</td>
<td> 77</td>
<td> 86</td>
<td> 95</td>
<td> 104</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 113</td>
<td> 122</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 131</td>
<td> 140</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 149</td>
</tr>
<tr>
<td> 6</td>
<td> 15</td>
<td> 24</td>
<td> 33</td>
<td> 42</td>
<td> 51</td>
<td> 60</td>
<td> 69</td>
<td> 78</td>
<td> 87</td>
<td> 96</td>
<td> 105</td>
<td> 114</td>
<td> 123</td>
<td> 132</td>
<td> 141</td>
<td> 150</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FF6666"> 7</td>
<td> 16</td>
<td> 25</td>
<td> 34</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 43</td>
<td> 52</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 61</td>
<td> 70</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 79</td>
<td> 88</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 97</td>
<td> 106</td>
<td> 115</td>
<td> 124</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 133</td>
<td> 142</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 151</td>
</tr>
<tr>
<td> 8</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 17</td>
<td> 26</td>
<td> 35</td>
<td> 44</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 53</td>
<td> 62</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 71</td>
<td> 80</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 89</td>
<td> 98</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 107</td>
<td> 116</td>
<td> 125</td>
<td> 134</td>
<td bgcolor="#FF6666"> 143</td>
<td> 152</td>
</tr>
<tr>
<td> 9</td>
<td> 18</td>
<td> 27</td>
<td> 36</td>
<td> 45</td>
<td> 54</td>
<td> 63</td>
<td> 72</td>
<td> 81</td>
<td> 90</td>
<td> 99</td>
<td> 108</td>
<td> 117</td>
<td> 126</td>
<td> 135</td>
<td> 144</td>
<td> 153</td>
</tr>
</table>
</center>
<p><a name="Histoire" id="Histoire"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Histoire">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Histoire</span></h2>
<p><a name="Pr.C3.A9histoire" id="Pr.C3.A9histoire"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Préhistoire">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Préhistoire</span></h3>
<p>L'intérêt pour les nombres premiers est ancien et omniprésent dans l'histoire des mathématiques. Euclide <small>(vers <a href="../../../../articles/-/3/2/-325.html" title="-325">-325</a>- vers <a href="../../../../articles/-/2/6/-265.html" title="-265">-265</a>)</small> y consacre le chapitre VII de son livre les <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/%C3%A9/%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide_d70d.html" title="Éléments d'Euclide">éléments</a>. On peut aussi citer les travaux de <a href="../../../../articles/s/u/n/Sun_Zi_%28math%C3%A9maticien%29_66da.html" title="Sun Zi (mathématicien)">Sun Zi ou Sun Tzu</a> écrit vers l'an <a href="../../../../articles/3/0/0/300.html" title="300">300</a> établissant une première version<sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois.html" title="Théorème des restes chinois">théorème des restes chinois</a> et surtout <a href="../../../../articles/q/i/n/Qin_Jiushao_e478.html" title="Qin Jiushao">Ch'in Chiu-Shao ou Qin Jiushao</a> <small>(<a href="../../../../articles/1/2/0/1202.html" title="1202">1202</a> - <a href="../../../../articles/1/2/6/1261.html" title="1261">1261</a>)</small> qui en développe une version<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1" title=""><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> suffisamment sophistiquée pour dépasser le niveau européen du <a href="../../../../articles/x/v/i/XVIIIe_si%C3%A8cle_5004.html" title="XVIIIe siècle"><span class="romain" title="Nombre écrit en chiffres romains">XVIII</span><sup class="exposant">e</sup> siècle</a>. On peut citer <a href="../../../../articles/g/e/o/George_Sarton_fe61.html" title="George Sarton">George Sarton</a> qui le considère comme l'un des plus grand mathématiciens de tout les temps<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2" title=""><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</p>
<p>Le <a href="../../../../articles/x/v/i/XVIIe_si%C3%A8cle_53e7.html" title="XVIIe siècle"><span class="romain" title="Nombre écrit en chiffres romains">XVII</span><sup class="exposant">e</sup> siècle</a> est celui où les mathématiques européennes, et particulièrement françaises se réapproprient le savoir de l'antiquité et l'apport de la civilisation arabe. En <a href="../../../../articles/1/6/2/1621.html" title="1621">1621</a> <a href="../../../../articles/c/l/a/Claude-Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriac_cc27.html" title="Claude-Gaspard Bachet de Méziriac">Claude-Gaspard Bachet de Méziriac</a> <small>(<a href="../../../../articles/1/5/8/1581.html" title="1581">1581</a> - <a href="../../../../articles/1/6/3/1638.html" title="1638">1638</a>)</small> traduit le livre de <a href="../../../../articles/d/i/o/Diophante_d%27Alexandrie_5bff.html" title="Diophante d'Alexandrie">Diophante d'Alexandrie</a> <small>(env. <a href="../../../../articles/2/0/0/200.html" title="200">200</a>/<a href="../../../../articles/2/1/4/214.html" title="214">214</a> - env. <a href="../../../../articles/2/8/4/284.html" title="284">284</a>/<a href="../../../../articles/2/9/8/298.html" title="298">298</a>)</small> intitulé <a href="../../../../articles/a/r/i/Arithmetica.html" title="Arithmetica">Arithmetica</a> en latin. <a href="../../../../articles/p/i/e/Pierre_de_Fermat_600b.html" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> <small>(<a href="../../../../articles/1/6/0/1601.html" title="1601">1601</a> - <a href="../../../../articles/1/6/6/1665.html" title="1665">1665</a>)</small> l'annote<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3" title=""><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</p>
<p><a name="Vers_une_formalisation" id="Vers_une_formalisation"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Vers une formalisation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Vers une formalisation</span></h3>
<p><a href="../../../../articles/l/e/o/Leonhard_Euler_b776.html" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> <small>(<a href="../../../../articles/1/7/0/1707.html" title="1707">1707</a> - <a href="../../../../articles/1/7/8/1783.html" title="1783">1783</a>)</small> résout plusieurs <a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quation_diophantienne.html" title="Équation diophantienne">équations diophantiennes</a> laissées ouvertes par le siècle précédent. On peut citer travaux sur le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s_de_Fermat_2507.html" title="Théorème des deux carrés de Fermat">théorème des deux carrés de Fermat</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4" title=""><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> où sa résolution du <a href="../../../../articles/g/r/a/Grand_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat_e339.html" class="mw-redirect" title="Grand théorème de Fermat">grand théorème de Fermat</a> pour le cas où <i>n</i> est égal à trois, après un premier échec<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5" title=""><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Dans ce domaine, s'il se montre particulièrement adroit en résolvant pour la première fois des problèmes ouverts depuis parfois plus d'un siècle, il n'est néanmoins pas novateur. Les outils utilisés sont ceux de l'antiquité pour l'<a href="../../../../articles/a/r/i/Arithm%C3%A9tique.html" title="Arithmétique">arithmétique</a> et les techniques <a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre.html" title="Algèbre">algébriques</a> de son temps.</p>
<p>En <a href="../../../../articles/1/7/3/1735.html" title="1735">1735</a>, à la suite d'une étude pour la résolution du <a href="../../../../articles/p/r/o/Probl%C3%A8me_de_Mengoli_32ab.html" class="mw-redirect" title="Problème de Mengoli">problème de Mengoli</a>, Euler étudie<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6" title=""><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> des produits infinis. Deux ans plus tard, il démontre une étrange formule<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7" title=""><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> maintenant nommé <a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_eul%C3%A9rien.html" title="Produit eulérien">produit eulérien</a>. Cette formule relie par exemple un produit infini de nombre premier avec la surface d'un cercle. Son écriture en série est celle de la <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_zeta_de_Riemann_3e9b.html" class="mw-redirect" title="Fonction zeta de Riemann">fonction ζ de Riemann</a>. Elle offre de plus la première information statistique sur la distribution des nombres premiers.</p>
<p>En <a href="../../../../articles/1/8/0/1801_en_science.html" title="1801 en science">1801</a> <a href="../../../../articles/c/a/r/Carl_Friedrich_Gauss_b24e.html" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a> <small>(<a href="../../../../articles/1/7/7/1777_en_science.html" title="1777 en science">1777</a> - <a href="../../../../articles/1/8/5/1855_en_science.html" title="1855 en science">1855</a>)</small> publie<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8" title=""><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ses célèbres <a href="../../../../articles/d/i/s/Disquisitiones_arithmeticae.html" title="Disquisitiones arithmeticae">Disquisitiones arithmeticae</a>. Il offre les bases d'une <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres.html" title="Théorie algébrique des nombres">théorie algébrique des nombres</a>, que l'on appelle <a href="../../../../articles/a/r/i/Arithm%C3%A9tique_modulaire.html" title="Arithmétique modulaire">arithmétique modulaire</a>. Son livre analyse les propriétés des modules <a href="../../../../articles/a/n/n/Anneau_Z_nZ_8d08.html" title="Anneau Z/nZ">Z/nZ</a> et pour démontrer la <a href="../../../../articles/l/o/i/Loi_de_r%C3%A9ciprocit%C3%A9_quadratique.html" title="Loi de réciprocité quadratique">loi de réciprocité quadratique</a> développe un cas particulier de <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_d%27un_groupe_fini.html" title="Caractère d'un groupe fini">caractère d'un groupe fini</a>, celui des modules si <i>p</i> est un nombre premier. Il conjecture le théorème de l'article, sans pouvoir le démontrer.</p>
<p><a name="Apports_de_Dirichlet" id="Apports_de_Dirichlet"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Apports de Dirichlet">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Apports de Dirichlet</span></h3>
<p>En <a href="../../../../articles/1/8/3/1837_en_science.html" title="1837 en science">1837</a> Dirichlet démontre une première version<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9" title=""><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> du théorème de l'article, en supposant que <i>n</i> est premier. Il démontre l'année suivante le cas où <i>n</i> n'est pas premier et en <a href="../../../../articles/1/8/4/1841_en_science.html" title="1841 en science">1841</a> généralise la démonstration aux <a href="../../../../articles/e/n/t/Entier_de_Gauss_32ea.html" title="Entier de Gauss">entiers de Gauss</a>.</p>
<p>La démonstration est d'un intérêt considérable en <a href="../../../../articles/a/r/i/Arithm%C3%A9tique.html" title="Arithmétique">arithmétique</a>. Elle relie la nouvelle théorie de Gauss aux idées, apparemment si éloignés, d'Euler. Il enrichit de plus chacune des deux branches.</p>
<p>L'apport algébrique pour la théorie des nombres consiste essentiellement dans le développement de l'<a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_harmonique.html" class="mw-redirect" title="Analyse harmonique">analyse harmonique</a>. Dirichlet a travaillé<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10" title=""><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> sur les découvertes de <a href="../../../../articles/j/o/s/Joseph_Fourier_52f6.html" title="Joseph Fourier">Joseph Fourier</a> <small>(<a href="../../../../articles/1/7/6/1768.html" title="1768">1768</a> - <a href="../../../../articles/1/8/3/1830_en_science.html" title="1830 en science">1830</a>)</small>. Pour la démonstration de son théorème il utilise les même méthodes, cette fois pour un <a href="../../../../articles/g/r/o/Groupe_ab%C3%A9lien_fini.html" title="Groupe abélien fini">groupe abélien fini</a>. <a href="../../../../articles/c/h/a/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi_9362.html" title="Charles Gustave Jacob Jacobi">C. G. J. Jacobi</a> <small>(<a href="../../../../articles/1/8/0/1804_en_science.html" title="1804 en science">1804</a> - <a href="../../../../articles/1/8/5/1851_en_science.html" title="1851 en science">1851</a>)</small> dit de lui : <i>En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine</i><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11" title=""><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. La théorie des <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_d%27un_groupe_fini.html" title="Caractère d'un groupe fini">caractères d'un groupe fini</a> pour le cas abélien est pratiquement complète.</p>
<p>Son apport en analyse est non moins innovateur. A chaque caractère, il associe un <a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_eul%C3%A9rien.html" title="Produit eulérien">produit</a> infini analogue à celui d'Euler. Il montre l'équivalence de ces produits à des séries, maintenant nommé <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_L_de_Dirichlet_33d0.html" title="Série L de Dirichlet">série L de Dirichlet</a> dont un cas particulier est la <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_zeta_de_Riemann_3e9b.html" class="mw-redirect" title="Fonction zeta de Riemann">fonction ζ de Riemann</a>. L'essentiel de la démonstration consiste alors à déterminer si l'unité est oui ou non une racine de ces séries. On reconnait là, l'analogie profonde avec l'<a href="../../../../articles/h/y/p/Hypoth%C3%A8se_de_Riemann_242c.html" title="Hypothèse de Riemann">hypothèse de Riemann</a>. Cette article marque la naissance d'une nouvelle branche des mathématiques : la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_analytique_des_nombres.html" title="Théorie analytique des nombres">théorie analytique des nombres</a> avec ses outils fondamentaux : les produits eulériens, ou les séries L de Dirichlet et son intime relation avec l'arithmétique modulaire.</p>
<p><a name="D.C3.A9monstration" id="D.C3.A9monstration"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Démonstration">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration</span></h2>
<p>Ici, <i>n</i> désigne un nombre strictement positif et <i>m</i> une classe du <a href="../../../../articles/g/r/o/Groupe_des_unit%C3%A9s.html" title="Groupe des unités">groupe des unités</a> de l'<a href="../../../../articles/a/n/n/Anneau_Z_nZ_8d08.html" title="Anneau Z/nZ">anneau Z/nZ</a>. L'objectif est de montrer que <i>m</i> contient une infinité de nombres premiers. <i>P</i> désigne l'ensemble des nombres premiers, <i>S</i> le demi-<a href="../../../../articles/p/l/a/Plan_complexe.html" title="Plan complexe">plan complexe</a> dont tous les éléments ont une partie <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_r%C3%A9el.html" title="Nombre réel">réelle</a> est strictement supérieure à 1 et <i>s</i> un <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_complexe.html" title="Nombre complexe">nombre complexe</a> élément de <i>S</i>. Si <i>c</i> désigne un complexe, <i>c</i><sup>*</sup> désigne son <a href="../../../../articles/c/o/n/Conjugu%C3%A9.html" title="Conjugué">conjugué</a>.</p>
<p>Le groupe des unités de <i>Z</i>/<i>nZ</i> est désigné par la lettre <i>U</i>, un <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_de_Dirichlet_6a2a.html" title="Caractère de Dirichlet">caractère de Dirichlet</a> par le symbole χ et le groupe des caractères <img class="tex" alt="\scriptstyle \widehat U " src="../../../../math/7/b/c/7bcffc7b72674a2ed5844196735c406e.png" />.</p>
<p><a name="La_fonction_.CF.89_.28s.2Cu.29" id="La_fonction_.CF.89_.28s.2Cu.29"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : La fonction ω (s,u)">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">La fonction ω (s,u)</span></h3>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_de_Dirichlet_6a2a.html" title="Caractère de Dirichlet">Caractère de Dirichlet</a>.</span></span></div>
<p>L'objectif est de définir une fonction ω, à valeur dans <i>S</i>x<i>U</i> dont le comportement détermine le cardinal de l'ensemble des nombres premiers inclus dans <i>m</i>.</p>
<dl>
<dd>
<ul>
<li><i>La fonction ω, de</i> S<i>x</i>U <i>dans l'ensemble des nombres complexes et définie par la formule suivante est <a href="../../../../articles/c/o/n/Convergence_absolue.html" title="Convergence absolue">absolument convergente</a> sur son domaine de définition.</i></li>
</ul>
</dd>
</dl>
<center><img class="tex" alt="\forall u \in \mathbb U, \quad \omega (s,u) = \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \in u}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac 1{k(p^k)^s} " src="../../../../math/6/f/a/6fae5b181987ec7cee2d226ff6eb1c90.png" /></center>
<dl>
<dd>
<ul>
<li><i>Si</i> m <i>ne contient qu'un nombre fini de nombres premiers alors ω possède une limite en (1,</i> m<i>).</i></li>
</ul>
</dd>
</dl>
<p>Une fois cette proposition établie, il suffit de montrer que la fonction diverge en <i>un</i> pour démontrer le théorème.</p>
<p style="margin:0; padding:0; line-height:1em;"><br clear="all" style="margin:0; padding:0; clear:both; line-height:1em;" /></p>
<div style="margin-right:.5em;" align="left">
<div class="NavFrame" style="margin-top:0em; margin-bottom:0.5em; width:99%; border-style:solid; -moz-border-radius:0;border-color:#AAAAAA; background-color:#FFFFFF;" title="[ Dérouler ]">
<div class="NavHead" align="center" style="height:1.6em; background-color:#EFEFEF; color:black;">Démonstration</div>
<div class="NavContent" style="margin:0px; background:white; display:block; font-size:1em" align="left">
<dl>
<dd>
<ul>
<li><b>La fonction ω est absolument convergente sur son domaine de définition.</b></li>
</ul>
</dd>
</dl>
<p>Cette proposition est démontrée dans le paragraphe <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_de_Dirichlet_6a2a.html#Produit_eul.C3.A9rien" title="Caractère de Dirichlet">Produit eulérien</a> de l'article détaillé.</p>
<dl>
<dd>
<ul>
<li><b>Si <i>m</i> ne contient qu'un nombre fini de nombres premiers alors ω possède une limite en (1, <i>m</i>).</b></li>
</ul>
</dd>
</dl>
<p>Il suffit pour s'en rendre compte, de diviser la somme en deux et de montrer que le deuxième terme est absolument convergent autour de la valeur <i>un</i>.</p>
<center><img class="tex" alt="\forall s \in S,\quad \forall u \in \mathbb U, \quad \omega (s,u)= \sum_{p \in \mathcal P \ p \in u} \frac 1{p^s} + \psi (u) \quad \mathrm{avec} \quad \psi (s,u) = \sum_{k=2}^{+\infty} \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \in u}\frac 1{k(p^k)^s} " src="../../../../math/a/a/c/aac6754d7b16dc00cf86e85c2a4f283f.png" /></center>
<p>On remarque que ψ(<i>s</i>, <i>u</i>) est majoré par un, en effet :</p>
<center><img class="tex" alt="\psi (s,u) \le \sum_{i = 2}^{+\infty} \sum_{k = 2}^{+\infty}\frac1{n^k} = \sum_{i = 2}^{+\infty} \frac 1{n(n-1)} = 1 " src="../../../../math/a/b/d/abd203cc969cbc0025a6499f7caa0a72.png" /></center>
<p>S'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers dans <i>m</i>, alors le premier terme est une simple <a href="../../../../articles/f/r/a/Fraction_rationnelle.html" title="Fraction rationnelle">fraction rationnelle</a> définie sur le plan complexe entier.</p>
</div>
<div class="NavEnd"></div>
</div>
</div>
<p><a name="D.C3.A9localisation_des_nombres_premiers" id="D.C3.A9localisation_des_nombres_premiers"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Délocalisation des nombres premiers">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Délocalisation des nombres premiers</span></h3>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_harmonique_sur_un_groupe_ab%C3%A9lien_fini.html" title="Analyse harmonique sur un groupe abélien fini">Analyse harmonique sur un groupe abélien fini</a>.</span></span></div>
<p>La difficulté réside dans le fait que la sommation n'est réalisée que sur les nombres premiers inclus dans <i>m</i>. Euler fournit bien une mesure des nombres premiers, mais elle couvre intégralement <i>Z</i>.</p>
<p>Cependant, la fonction ω dépend d'un paramètre <i>u</i> élément d'un <a href="../../../../articles/g/r/o/Groupe_ab%C3%A9lien_fini.html" title="Groupe abélien fini">groupe abélien fini</a>. Or un tel groupe possède une analyse harmonique puissante, les fonctions trigonométriques sont remplacées par les <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_d%27un_groupe_fini.html" title="Caractère d'un groupe fini">caractères</a> et l'on dispose d'une <a href="../../../../articles/t/r/a/Transform%C3%A9e_de_Fourier_b403.html" title="Transformée de Fourier">transformée de Fourier</a> et du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Plancherel_3a76.html" title="Théorème de Plancherel">théorème de Plancherel</a>, il permet de délocaliser l'ensemble des nombres premiers :</p>
<dl>
<dd>
<ul>
<li><i>La fonction ω est égale à l'expression suivante sur son domaine de définition :</i></li>
</ul>
</dd>
</dl>
<center><img class="tex" alt="\forall s \in S, \quad \forall u \in \mathbb U, \quad \omega (s,u) = \frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(u)^* \; \log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg) " src="../../../../math/a/8/2/a82c76f97fc4a4b3e48d4231002b1875.png" /></center>
<p>La démonstration est donnée dans le paragraphe <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_de_Dirichlet_6a2a.html#Produit_eul.C3.A9rien" title="Caractère de Dirichlet">Produit eulérien</a> de l'article <a href="../../../../articles/c/a/r/Caract%C3%A8re_de_Dirichlet_6a2a.html" title="Caractère de Dirichlet">Caractère de Dirichlet</a>.</p>
<p><a name="Produit_eul.C3.A9rien" id="Produit_eul.C3.A9rien"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Produit eulérien">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Produit eulérien</span></h3>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_eul%C3%A9rien.html" title="Produit eulérien">Produit eulérien</a>.</span></span></div>
<p>L'expression contient un produit eulérien, il est cependant plus simple de traiter une série traditionnelle. Or Euler a établi un calcul permettant une transformation des produits de ce type en série plus classique.</p>
<dl>
<dd>
<ul>
<li><i>La fonction ω est égale à l'expression suivante sur son domaine de définition :</i></li>
</ul>
</dd>
</dl>
<center><img class="tex" alt="\omega (s,u)=\frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(u)^* \; \log \Big( L(s,\chi)\Big)
\quad \mathrm{avec} \quad L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\chi(k)}{k^s}" src="../../../../math/7/6/e/76eb9cd5b2576f0baa9cc7e72f650240.png" /></center>
<p>La démonstration est donnée dans le paragraphe <a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_eul%C3%A9rien.html#Caract.C3.A8re_de_Dirichlet" title="Produit eulérien">Caractère de Dirichlet</a> de l'article détaillé.</p>
<p><a name="S.C3.A9rie_L_de_Dirichlet" id="S.C3.A9rie_L_de_Dirichlet"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Série L de Dirichlet">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Série L de Dirichlet</span></h3>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_L_de_Dirichlet_33d0.html" title="Série L de Dirichlet">Série L de Dirichlet</a>.</span></span></div>
<p>La constante χ(<i>u</i>)<sup>*</sup> est une racine de l'unité, elle ne s'annule donc jamais. Il reste à connaitre le comportements des fonctions <i>L</i>(<i>s</i>, χ) autour du point <i>un</i>. Ces fonctions sont appelées série L de Dirichlet. Si χ est le caractère principal, il est proportionnel à la <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_zeta_de_Riemann_3e9b.html" class="mw-redirect" title="Fonction zeta de Riemann">fonction zeta de Riemann</a> et est en conséquence divergeant au point <i>un</i>. En revanche, si χ n'est pas le caractère principal sa série associée est définie et non nulle en <i>un</i>. Ce qui permet d'énoncer la proposition suivante :</p>
<dl>
<dd>
<ul>
<li><i>Pour toute valeur de</i> u <i>dans le groupe des unités différente de</i> un<i>, la fonction ω converge quand</i> s <i>tend vers</i> un <i>vers une valeur différente de</i> zéro<i>.</i></li>
</ul>
</dd>
</dl>
<p>La démonstration est donnée dans le paragraphe <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_L_de_Dirichlet_33d0.html#Comportement_au_point_un" title="Série L de Dirichlet">Comportement au point un</a> de l'article détaillé.</p>
<p>Ceci permet de conclure. Si <i>m</i> ne contenait qu'un nombre fini de nombres premiers alors la fonction ω convergerait d'après le premier paragraphe de la démonstration. Or elle diverge car elle est somme d'une fonction divergente et d'un nombre fini de fonctions convergentes.</p>
<p><a name="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences" id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Notes et références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Notes et références</span></h2>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h3>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Green-Tao_e77b.html" title="Théorème de Green-Tao">Théorème de Green-Tao</a></li>
</ul>
<p><a name="Notes" id="Notes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Notes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Notes</span></h3>
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
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<li id="cite_note-9"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-9" title="">↑</a></span> <a href="../../../../articles/d/i/r/Dirichlet.html" class="mw-redirect" title="Dirichlet">Dirichlet</a> <i>Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression</i> Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. Jahrg. 1837, S. 108-110 p.307-312 <a href="../../../../articles/1/8/3/1837_en_science.html" title="1837 en science">1837</a></li>
<li id="cite_note-10"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-10" title="">↑</a></span> <a href="../../../../articles/d/i/r/Dirichlet.html" class="mw-redirect" title="Dirichlet">Dirichlet</a> <i>Solution d'une question relative à la théorie mathématique de la chaleur</i> Journal de Crelle. Berlin 5, p 287-295 <a href="../../../../articles/1/8/3/1830.html" title="1830">1830</a></li>
<li id="cite_note-11"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-11" title="">↑</a></span> W. Ahrens <i>Briefwechsel zwischen C. G. J. Jacobi und M. H. Jacobi</i> The Mathematical Gazette, Vol. 4, No. 71 pp. 269-270, 1908</li>
</ol>
</div>
<p><a name="Liens_externes" id="Liens_externes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Liens externes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens externes</span></h3>
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<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> <a href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html" class="external text" title="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html" rel="nofollow">Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet</a> par l'Université de St Andrew</li>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> <a href="http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf" class="external text" title="http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf" rel="nofollow">The life and work of Dirichlet</a> par Jürgen Elstrodt</li>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> <a href="http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter3.pdf" class="external text" title="http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter3.pdf" rel="nofollow">Infinitely many primes; complex analysis</a> par L'Université de Montréal de Andrew Granville et K. Soundararajan</li>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> <a href="http://gifted.hkedcity.net./Gifted/Download/notes/phase3/advance/Forth%20and%20Fifth%20Lecture%202007-03-10%20Dirichlet%20Theorem%20from%20CJ%20Lam.pdf" class="external text" title="http://gifted.hkedcity.net./Gifted/Download/notes/phase3/advance/Forth%20and%20Fifth%20Lecture%202007-03-10%20Dirichlet%20Theorem%20from%20CJ%20Lam.pdf" rel="nofollow">Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression</a> par IMo</li>
</ul>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rences" id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique.html" title="Modifier la section : Références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Références</span></h3>
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<li>Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane <i>La fonction Zêta</i>, Éditions de l'École polytechnique Paris 2002 <a href="../../../../articles/o/u/v/Special%7EOuvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence_2730210113_0d44.html" class="internal">ISBN 2730210113</a></li>
<li>Harold Davenport's <i>Multiplicative number theory</i>, 3<sup>ème</sup> edt Springer 2000 <a href="../../../../articles/o/u/v/Special%7EOuvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence_0387950974_aeae.html" class="internal">ISBN 0387950974</a></li>
<li>Karatsuba <i>Basic analytic number theory</i>, Springer-Verlag 1993 <a href="../../../../articles/o/u/v/Special%7EOuvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence_0387533451_3d91.html" class="internal">ISBN 0-387-53345-1</a></li>
<li>S. J. Patterson <i>An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function</i> Cambridge University Press 1995 <a href="../../../../articles/o/u/v/Special%7EOuvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence_0521499054_3ac6.html" class="internal">ISBN 0521499054</a>.</li>
</ul>
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