Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème de Taylor - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème de Taylor</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="homonymie">Pour les articles <a href="../../../../articles/h/o/m/Aide%7EHomonymie_2a52.html" title="Aide:Homonymie">homonymes</a>, voir <a href="../../../../articles/t/a/y/Taylor.html" title="Taylor">Taylor</a>. <a href="../../../../articles/d/i/s/Image%7EDisambig.svg_8f13.html" class="image" title="Disambig.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/7/72/Disambig.svg/20px-Disambig.svg.png" width="20" height="16" border="0" /></a></div>
<p>En <a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a>, le <b>théorème de Taylor</b>, du nom du <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9maticien.html" title="Mathématicien">mathématicien</a> <a href="../../../../articles/b/r/o/Brook_Taylor_b0b6.html" title="Brook Taylor">Brook Taylor</a> qui l'établit en <a href="../../../../articles/1/7/1/1712.html" title="1712">1712</a>, permet l'approximation d'une <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_%28math%C3%A9matiques%29.html" class="mw-redirect" title="Fonction (mathématiques)">fonction</a> plusieurs fois <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/r/D%C3%A9rivable.html" class="mw-redirect" title="Dérivable">dérivable</a> au voisinage d'un point par une <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_polyn%C3%B4me.html" title="Fonction polynôme">fonction polynôme</a> dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.</p>
<p>De manière plus précise : si <span class="texhtml"><i>n</i></span> est un <a href="../../../../articles/e/n/t/Entier_naturel.html" title="Entier naturel">entier naturel</a> et <span class="texhtml"><i>f</i></span> est une fonction définie sur un intervalle <span class="texhtml"><i>I</i></span> contenant <span class="texhtml"><i>a</i></span> et telle que <span class="texhtml"><i>f</i><sup>(<i>n</i>)</sup>(<i>a</i>)</span> existe, alors</p>
<center><img class="tex" alt="
f(x) = f(a)
+ \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
+ \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
+ \cdots
+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
+ R(x)" src="../../../../math/8/a/f/8af384f27b1a0f99e44885a42d5e8763.png" /><img class="tex" alt="= R(x) + \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k" src="../../../../math/d/2/e/d2e1b2c1842b886872be022f56bd2f6b.png" /></center>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:242px;"><a href="../../../../articles/t/a/y/Image%7ETaylorspolynomialex.png_092e.html" class="image" title="La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)"><img alt="La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)" src="../../../../images/shared/thumb/8/80/Taylorspolynomialex.png/240px-Taylorspolynomialex.png" width="240" height="240" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/t/a/y/Image%7ETaylorspolynomialex.png_092e.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
La fonction <a href="../../../../articles/e/x/p/Exponentielle.html" title="Exponentielle">exponentielle</a> (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)</div>
</div>
</div>
<p>Ici, <span class="texhtml"><i>n</i>!</span> désigne la <a href="../../../../articles/f/a/c/Factorielle.html" title="Factorielle">factorielle</a> de <span class="texhtml"><i>n</i></span>, et <span class="texhtml"><i>R</i>(<i>x</i>)</span> est un reste qui dépend de <span class="texhtml"><i>x</i></span> et est petit si <span class="texhtml"><i>x</i></span> est assez proche de <span class="texhtml"><i>a</i></span>.</p>
<p>Taylor ne s'est pas vraiment préoccupé de la forme du reste, il faut attendre ses successeurs pour voir se développer une maîtrise du reste dans certaines conditions plus précises.</p>
<ul>
<li><b>Formule de Taylor-Young</b> : Pour une fonction telle que <span class="texhtml"><i>f</i><sup>(<i>n</i>)</sup>(<i>a</i>)</span> existe, <span class="texhtml"><i>R</i>(<i>x</i>) = <i>o</i>((<i>x</i> − <i>a</i>)<sup><i>n</i></sup>)</span>, c’est-à-dire que
<center><img class="tex" alt="\lim_{x \to a}\frac{R(x)}{(x-a)^n} = 0" src="../../../../math/a/b/a/abadc555be05cd92d876e8b70659b0bc.png" />.</center>
</li>
<li><b>Formule de Taylor-Lagrange</b> : pour une fonction <span class="texhtml"><i>n</i> + 1</span> fois dérivable sur <span class="texhtml"><i>I</i></span>
<ul>
<li><img class="tex" alt="
R(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}
" src="../../../../math/6/1/9/619487e53ff90d0c550cb4c8647c1e02.png" /><br />
où <span class="texhtml">ξ</span> est un nombre compris strictement entre <span class="texhtml"><i>a</i></span> et <span class="texhtml"><i>x</i></span></li>
<li>S'il existe M tel que <img class="tex" alt="|f^{(n+1)}(x)| \leq M" src="../../../../math/2/4/e/24ef1bf537a4485cf2d63e8ed7fa5403.png" /> pour tout <span class="texhtml"><i>x</i></span> de <span class="texhtml"><i>I</i></span> :
<center><img class="tex" alt="|R(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}" src="../../../../math/d/0/2/d026ffc6ae3723fc62c261f647dec087.png" /> (inégalité de Taylor-Lagrange)</center>
</li>
</ul>
</li>
<li><b>Formule de Taylor avec reste de Laplace</b> (ou reste intégral) : pour une fonction n+1 fois continûment dérivable sur I
<ul>
<li><img class="tex" alt="
R(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \,\mathrm dt
" src="../../../../math/1/3/3/1334b7aecdcc690356ebbd8326833a78.png" /></li>
<li>l'inégalité de Taylor-Lagrange peut aussi être obtenue à partir de cette expression</li>
</ul>
</li>
<li><b>Formule de Taylor-Maclaurin</b> : lorsque <span class="texhtml"><i>a</i> = 0</span>, la formule devient plus simple</li>
</ul>
<center><img class="tex" alt="
f(x) = f(0)
+ \frac{f'(0)}{1!}x
+ \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2
+ \cdots
+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
+ R(x)
" src="../../../../math/0/e/6/0e6fcfc3b50ece6c1cae13692474afe3.png" /></center>
<p>Si <span class="texhtml"><i>R</i></span> est exprimé sous la seconde forme, appelée forme de <a href="../../../../articles/j/o/s/Joseph-Louis_Lagrange_b498.html" title="Joseph-Louis Lagrange">Lagrange</a>, le théorème de Taylor représente une généralisation du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_accroissements_finis.html" title="Théorème des accroissements finis">théorème des accroissements finis</a> (qui peut être utilisé pour démontrer cette version), tandis que la troisième expression de <span class="texhtml"><i>R</i></span> montre que le théorème est une généralisation du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_du_calcul_diff%C3%A9rentiel_et_int%C3%A9gral.html" class="mw-redirect" title="Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral">théorème fondamental du calcul différentiel et intégral</a> (qui est utilisé dans la démonstration de cette version).</p>
<p>Pour certaines fonctions <span class="texhtml"><i>f</i></span>, nous pouvons montrer que le reste <span class="texhtml"><i>R</i></span> tend vers zéro quand <span class="texhtml"><i>n</i></span> tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent être développées en <b><a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_de_Taylor_3923.html" title="Série de Taylor">série de Taylor</a></b> dans un voisinage du point <span class="texhtml"><i>a</i></span> et sont appelées des <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_analytique.html" title="Fonction analytique">fonctions analytiques</a>.</p>
<p>Le théorème de Taylor (avec reste intégral) est aussi valable si la fonction <span class="texhtml"><i>f</i></span> est à valeurs <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_complexe.html" title="Nombre complexe">complexes</a> ou dans un <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_vectoriel.html" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a>. Ce n'est pas le cas de l'égalité de Taylor-Lagrange.</p>
<div class="NavFrame demonstration" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify;">
<div class="NavHead" style="background-color:transparent; padding:0;"><strong>Démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral</strong></div>
<div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">
<p>Montrons le résultat par récurrence sur <span class="texhtml"><i>n</i></span>.</p>
<p>La propriété est vraie au rang 0. En effet, selon le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27analyse.html" title="Théorème fondamental de l'analyse">théorème fondamental de l'analyse</a> on a bien que si <span class="texhtml"><i>f</i></span> est de classe <img class="tex" alt="\mathcal{C}^1" src="../../../../math/5/9/4/5949757640961a82120d505f5cdf2b84.png" /> sur <span class="texhtml">[<i>a</i>,<i>x</i>]</span> alors:</p>
<center><img class="tex" alt="f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\mathrm{d}t" src="../../../../math/9/4/5/94543314de4c59940ba1bb251e10e545.png" /></center>
<p>Supposons la formule vraie au rang <span class="texhtml"><i>n</i></span>. Alors pour <span class="texhtml"><i>f</i></span> de classe <img class="tex" alt="\mathcal{C}^{n+2}" src="../../../../math/1/3/2/132a220afb24498953280c7093bba57f.png" /> sur <span class="texhtml">[<i>a</i>,<i>x</i>]</span> on obtient, par <a href="../../../../articles/i/n/t/Int%C3%A9gration_par_parties.html" title="Intégration par parties">intégration par parties</a>:</p>
<center><img class="tex" alt="\begin{align}
\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t
&= \left[-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_a^x-\int_a^x -\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t \\
&= \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t
\end{align} " src="../../../../math/e/9/7/e9753325982135c9836c319d58925ca0.png" /></center>
<p>Et comme par hypothèse de récurrence</p>
<center><img class="tex" alt="f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t" src="../../../../math/b/e/b/beb58ddee6f9363ace6f48133b3497cc.png" /></center>
<p>on obtient :</p>
<center><img class="tex" alt="f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t" src="../../../../math/5/7/5/5755670d3d249fe9c1aa653149f8bce1.png" />.</center>
<p>On obtient</p>
<center><img class="tex" alt="f(x)=\sum_{k=0}^{n+1} \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t" src="../../../../math/f/2/4/f2484db2c2d220b90adbd888155ca6d3.png" />,</center>
<p>ce qui montre que notre propriété est vraie au rang <span class="texhtml"><i>n</i> + 1</span>.<span style="float: right; font-size:110%">∎</span></p>
</div>
<div style="clear:both;"></div>
</div>
<div class="NavFrame demonstration" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify;">
<div class="NavHead" style="background-color:transparent; padding:0;"><strong>Démonstration de la formule de Taylor-Young</strong></div>
<div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">
<p>D'après la formule de Taylor avec reste intégral on a pour <span class="texhtml"><i>f</i></span> de classe <img class="tex" alt="\mathcal{C}^n" src="../../../../math/3/f/0/3f09b8dba2b526ee784601755a650926.png" /> sur <span class="texhtml">[<i>a</i>,<i>b</i>]</span> :</p>
<center><img class="tex" alt="f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t)\mathrm{d}t" src="../../../../math/5/a/6/5a605641c78d14f5cd43119660efd524.png" />.</center>
<p>On a donc :</p>
<center><img class="tex" alt="\begin{align}
\int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t)\mathrm{d}t
&= \int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(a)\mathrm{d}t+\int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \left(f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)\right)\mathrm{d}t \\
&= \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \left(f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)\right)\mathrm{d}t \\
\end{align}" src="../../../../math/3/b/9/3b9c57ffa5e4046ad8e1a57db8b74be1.png" /></center>
<p>Or <span class="texhtml"><i>f</i><sup>(<i>n</i>)</sup></span> est continue en <span class="texhtml"><i>a</i></span>. Donc pour <span class="texhtml">ε > 0</span>, on a <img class="tex" alt="|f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)|\leq \varepsilon " src="../../../../math/9/7/5/975565230d91bee8a605cb22b7c09a1c.png" /> au voisinage de <span class="texhtml"><i>a</i></span>.</p>
<p>On obtient donc :</p>
<center><img class="tex" alt="\begin{align}
\left| \int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \left(f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)\right)\mathrm{d}t \right|
&\leq \left| \int_a^x \frac{|x-t|^{n-1}}{(n-1)!} \left|f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)\right|\mathrm{d}t\right| \\
&\leq \varepsilon \left| \int_a^x \frac{|x-t|^{n-1}}{(n-1)!} \mathrm{d}t\right| =\varepsilon \frac{|x-a|^n}{n!} \end{align} " src="../../../../math/a/2/9/a2903ad51f00daca52a29ae1b60a8f19.png" /></center>
<p>Et donc on obtient</p>
<center><img class="tex" alt="\int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \left(f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)\right)\mathrm{d}t= \underset{x \to a}{o} \left((x-a)^n\right)" src="../../../../math/7/f/b/7fbaa5a165838247d83ddfbbcf53f3bd.png" />.</center>
<p>Et donc</p>
<center><img class="tex" alt="f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\underset{x \to a}{o} \left((x-a)^n\right)" src="../../../../math/c/6/6/c6633a4888f892a024c29c0659b54286.png" />.</center>
<span style="float: right; font-size:110%">∎</span></div>
<div style="clear:both;"></div>
</div>
<p><a name="Formule_de_Taylor_pour_les_fonctions_de_plusieurs_variables" id="Formule_de_Taylor_pour_les_fonctions_de_plusieurs_variables"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor_6cb9.html" title="Modifier la section : Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Formule de Taylor pour les <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_de_plusieurs_variables.html" title="Fonction de plusieurs variables">fonctions de plusieurs variables</a></span></h2>
<p>Soit <span class="texhtml"><i>f</i></span> une fonction <span class="texhtml"><i>k</i></span>-fois différentiable en <img class="tex" alt="a\in\Omega\subset\R^{n}" src="../../../../math/b/7/3/b7369cd6fbb5dd67b0b049648d681cec.png" /> à valeur dans <img class="tex" alt="\R^{m}" src="../../../../math/d/1/6/d1645bb0bf947478678eaf2a147429b3.png" />, alors pour tout <img class="tex" alt="x\in\R^{n}" src="../../../../math/9/0/d/90d64baaa7d3c934576bf5f144fb4e6c.png" /> :</p>
<center><img class="tex" alt="
f(x) = f(a)
+ f^{\prime}(a)(x-a)
+ \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2
+ \dots + \frac{1}{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^{k}
+ o\left((x-a)^{k}\right)
" src="../../../../math/3/9/7/39744c3b08a071dde2bc32fd8bc8c5d1.png" /></center>
<p>En particulier, pour une fonction <span class="texhtml"><i>f</i></span>, <span class="texhtml">2</span>-fois différentiable en <img class="tex" alt="a\in\Omega\subset\R^2" src="../../../../math/5/4/8/5486ecc03d39c58ea7e7662edb7c2f8b.png" /> à valeur dans <img class="tex" alt="\R" src="../../../../math/2/3/6/2369a2488f59aa39a3fca53e0eff9f88.png" />, alors pour tout <img class="tex" alt="x\in\R^{2}" src="../../../../math/6/9/7/69767476ff4553810782221444d4c92d.png" /> :</p>
<center><img class="tex" alt="
f(x) = f(a)+\nabla f(a) \cdot (x-a)
+ \frac{1}{2}(x-a)^T \mathbb{H}(a) (x-a)+ o((x-a)^{2})
" src="../../../../math/9/2/2/92294af6386513f5b028e035c19e095d.png" /></center>
<p>où <img class="tex" alt="\nabla f" src="../../../../math/8/b/8/8b89a43d93ebcb54fa54d24afb9e51b8.png" /> est le <a href="../../../../articles/g/r/a/Gradient.html" title="Gradient">gradient</a> de <span class="texhtml"><i>f</i></span> et <img class="tex" alt="\mathbb{H}(a)" src="../../../../math/5/4/b/54b7788a4b2235041292c1c44f4f9150.png" /> est la <a href="../../../../articles/m/a/t/Matrice_hessienne.html" title="Matrice hessienne">matrice Hessienne</a> de <span class="texhtml"><i>f</i></span> évaluée en <span class="texhtml"><i>a</i></span>.</p>
<div class="exemplemath" style="margin:0.5em 2em;"><strong>Exemple  :</strong>
<div style="padding-left:2em; border-left:1px dotted #999;">
<p>Soit une fonction <span class="texhtml"><i>f</i></span> 2-fois différentiable en <span class="texhtml">(<i>a</i>,<i>b</i>)</span> à valeur dans <img class="tex" alt="\R" src="../../../../math/2/3/6/2369a2488f59aa39a3fca53e0eff9f88.png" />, alors pour tout <img class="tex" alt="(x,y)\in\R^{2}" src="../../../../math/0/1/7/0170fa7fb51abb88a4b902414b31efd5.png" /></p>
<center><img class="tex" alt="\begin{align}
f(x,y)\approx f(a,b)
&+ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a)
+ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b)
+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)(x-a)^2\\
&+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2
+ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b)
\end{align}" src="../../../../math/2/8/0/2806702be95ef2c2942c02f6ab9e0720.png" /></center>
</div>
</div>
<p><a name="Sources" id="Sources"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor_6cb9.html" title="Modifier la section : Sources">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Sources</span></h2>
<ul>
<li>J. Lelong Ferrand et J-M Arnaudiès, <i>Cours de mathématiques (T2 : Analyse)</i>, Bordas (1977)</li>
<li>Claude Deschamps et André Warusfel, <i>J'intègre: Mathématiques première année</i>, Dunod (1999)</li>
</ul>
<p><a name="Articles_connexes" id="Articles_connexes"></a></p>
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