Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorème de Stewart - Wikipédia</title>
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<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème de Stewart</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:409px;"><a href="../../../../articles/s/t/e/Image%7EStewart%27s_Theorem.svg_fc73.html" class="image" title="Théorème de Stewart"><img alt="Théorème de Stewart" src="../../../../images/shared/thumb/7/77/Stewart's_Theorem.svg/407px-Stewart's_Theorem.svg.png" width="407" height="323" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">Théorème de Stewart</div>
</div>
</div>
<p>En <a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne.html" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a>, le <b>théorème de Stewart</b> est une généralisation du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_m%C3%A9diane.html" title="Théorème de la médiane">théorème de la médiane</a> dûe au mathématicien <a href="../../../../articles/m/a/t/Matthew_Stewart_%28math%C3%A9maticien%29_9b43.html" title="Matthew Stewart (mathématicien)">Matthew Stewart</a> dans les années 1746.</p>
<p><a name="Enonc.C3.A9" id="Enonc.C3.A9"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stewart_27a4.html" title="Modifier la section : Enoncé">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Enoncé</span></h2>
<div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;">
<p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soit <span class="texhtml"><i>p</i></span> une <a href="../../../../articles/c/%C3%A9/v/C%C3%A9vienne.html" class="mw-redirect" title="Cévienne">cévienne</a> d'un triangle <span class="texhtml"><i>A</i><i>B</i><i>C</i></span> divisant en <span class="texhtml"><i>X</i></span> le côté <span class="texhtml"><i>a</i></span> en deux parties <span class="texhtml"><i>x</i></span> et <span class="texhtml"><i>y</i></span>. On a alors la relation suivante :</p>
<center><img class="tex" alt="a\cdot (xy+p^{2}) = x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}" src="../../../../math/4/4/6/4466e4e83c4fa26e62eb694511062f1e.png" /></center>
</div>
<p><a name="D.C3.A9monstration" id="D.C3.A9monstration"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stewart_27a4.html" title="Modifier la section : Démonstration">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration</span></h2>
<p>D'après le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Al-Kashi_c198.html" title="Théorème d'Al-Kashi">théorème d'Al-Kashi</a> nous avons :</p>
<center><img class="tex" alt="\cos(\widehat{BXA})=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}" src="../../../../math/9/9/8/9985a1db476075df7036db9ab625bb57.png" /></center>
<center><img class="tex" alt="\cos(\widehat{CXA)}=\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}" src="../../../../math/f/6/d/f6d3588005cb43fa0e7ae26fc6664766.png" /></center>
<p>Puisque <img class="tex" alt="\widehat{BXA}" src="../../../../math/f/2/2/f22d5bccb6f548eaf797ef5fbe010998.png" /> et <img class="tex" alt="\widehat{CXA}" src="../../../../math/b/7/f/b7f6b9fa8cf93a07546e81c3962c9d7a.png" /> sont supplémentaires, alors la somme de leur cosinus est nulle, d'où après somme nous obtenons :</p>
<center><img class="tex" alt="\cos(\widehat{BXA})+ \cos(\widehat{CXA)}=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}+\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}" src="../../../../math/3/5/6/3568969972b7ac8d4b8d15d7ad0351b8.png" /></center>
<p><img class="tex" alt="\Leftrightarrow0=2yp\cdot(x^{2}+p^{2}-c^{2})+2xp\cdot(y^{2}+p^{2}-b^{2})" src="../../../../math/c/c/d/ccdc7dfcf36260744f33ffdbe481e350.png" /></p>
<p><img class="tex" alt="\Leftrightarrow2ypx^{2}+2yp^{3}+2xpy^{2}+2xp^{3}=2ypc^{2}+2xpb^{2}" src="../../../../math/0/9/e/09e2d875e0e89d650cb700a5e9ac1098.png" /></p>
<p><img class="tex" alt="\Leftrightarrow x^{2}y+yp^{2}+xy^{2}+xp^{2}=yc^{2}+xb^{2}" src="../../../../math/2/9/5/2955af6e59ddf199f26387fa889579b8.png" /></p>
<p><img class="tex" alt="\Leftrightarrow a\cdot(xy+p^{2})=yc^{2}+xb^{2}" src="../../../../math/0/4/8/0488324ca388bb1b23986eb83878c43d.png" /></p>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stewart_27a4.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h3>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/m/a/t/Matthew_Stewart_%28math%C3%A9maticien%29_9b43.html" title="Matthew Stewart (mathématicien)">Matthew Stewart</a></li>
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<div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Cat%C3%A9gorie%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_math%C3%A9matiques_4fd9.html" title="Catégorie:Théorème de mathématiques">Théorème de mathématiques</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/Cat%C3%A9gorie%7EG%C3%A9om%C3%A9trie_du_triangle_039c.html" title="Catégorie:Géométrie du triangle">Géométrie du triangle</a></span></div></div></div> <!-- end content -->
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<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 18 mai 2008 à 13:29 par Utilisateur <a href="../../../../articles/s/i/e/Utilisateur%7ESieBot_a9a8.html" title="Utilisateur:SieBot">SieBot</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/b/a/d/Utilisateur%7EBadmood_4dbf.html" title="Utilisateur:Badmood">Badmood</a>, Zweig, <a href="../../../../articles/c/o/m/Utilisateur%7ECommonsDelinker_8698.html" title="Utilisateur:CommonsDelinker">CommonsDelinker</a>, <a href="../../../../articles/b/o/t/Utilisateur%7EBotMultichill_5179.html" title="Utilisateur:BotMultichill">BotMultichill</a>, <a href="../../../../articles/t/h/i/Utilisateur%7EThijs%21bot_c2d6.html" title="Utilisateur:Thijs!bot">Thijs!bot</a>, <a href="../../../../articles/c/h/a/Utilisateur%7ECharles_Dyon_562e.html" title="Utilisateur:Charles Dyon">Charles Dyon</a>, <a href="../../../../articles/b/o/l/Utilisateur%7EBoly38_b1a7.html" title="Utilisateur:Boly38">Boly38</a> et <a href="../../../../articles/a/r/i/Utilisateur%7EAriel_fe74.html" title="Utilisateur:Ariel">Ariel</a> et Utilisateur(s) non enregistré(s) de Wikipédia.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
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