Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
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<title>Théorème de Schwarz - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème de Schwarz</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/f/_/o/Image%7EF_of_x.svg_a9ce.html" class="image" title="F of x.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/b/b0/F_of_x.svg/45px-F_of_x.svg.png" width="45" height="22" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant l'<a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>Le <b>théorème de <a href="../../../../articles/h/e/r/Hermann_Amandus_Schwarz_7cd0.html" title="Hermann Amandus Schwarz">Schwarz</a></b>, également appelé <i>théorème de <a href="../../../../articles/a/l/e/Alexis_Claude_Clairaut_1444.html" title="Alexis Claude Clairaut">Clairaut</a></i>, peut s'énoncer ainsi :</p>
<div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;">
<p><strong class="theoreme-nom">Théorème de Schwarz</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soit <span class="texhtml"><i>f</i></span>, une <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_de_plusieurs_variables.html" title="Fonction de plusieurs variables">fonction numérique de <i>n</i> variables</a>, définie sur un ensemble <a href="../../../../articles/o/u/v/Ouvert_%28topologie%29.html" class="mw-redirect" title="Ouvert (topologie)">ouvert</a> <span class="texhtml"><i>U</i></span> de ℝ<sup>n</sup>. Si les <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/r/D%C3%A9riv%C3%A9e_partielle.html" title="Dérivée partielle">dérivées partielles</a> existent à l'ordre <span class="texhtml"><i>p</i></span> et sont <a href="../../../../articles/c/o/n/Continuit%C3%A9.html" title="Continuité">continues</a> en un point <span class="texhtml"><i>x</i></span> de <span class="texhtml"><i>U</i></span>, alors le résultat d'une <a href="../../../../articles/d/%C3%A9/r/D%C3%A9riv%C3%A9e.html" title="Dérivée">dérivation</a> à l'ordre <span class="texhtml"><i>p</i></span> ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux <span class="texhtml"><i>p</i></span> variables considérées.</p>
</div>
<p>Dans le cas particulier des fonctions de deux variables <span class="texhtml"><i>x</i></span> et <span class="texhtml"><i>y</i></span>, on obtient :</p>
<center><img class="tex" alt="\frac{\partial^2f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial^2f} {\partial y\, \partial x}" src="../../../../math/9/8/5/985cb464be605e02cbd34da884e3111b.png" /></center>
<p><a name="Un_contre-exemple" id="Un_contre-exemple"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Schwarz_bcfe.html" title="Modifier la section : Un contre-exemple">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Un contre-exemple</span></h2>
<p>Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.</p>
<p>Considérons la fonction :</p>
<center><img class="tex" alt="f(x,y)= \begin{cases}
\frac{x y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon}
\end{cases}" src="../../../../math/e/0/8/e087a831d7761e73ec90f52858e158c3.png" /></center>
<p>Les dérivées sont :</p>
<center><img class="tex" alt="\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \begin{cases} y^3 \frac{y^2- x^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } y \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}" src="../../../../math/0/2/2/022c76a1470f9df85a1661f84012e925.png" /></center>
<p>et</p>
<center><img class="tex" alt=" \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \begin{cases} x y^2 \frac{3 x^2 + y^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}" src="../../../../math/1/5/7/157153b3174ea2a947b2b6dcb45ebae4.png" /></center>
<p>Les dérivées partielles croisées d'ordre 2 en <span class="texhtml">(0,0)</span> sont</p>
<center><img class="tex" alt="\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = 0\text{ et }\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = 1" src="../../../../math/5/0/c/50cd47ec83ece1d18da6e861a038ebd4.png" /></center>
<p><a name="Application_du_th.C3.A9or.C3.A8me_de_Schwarz_aux_formes_diff.C3.A9rentielles_exactes" id="Application_du_th.C3.A9or.C3.A8me_de_Schwarz_aux_formes_diff.C3.A9rentielles_exactes"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Schwarz_bcfe.html" title="Modifier la section : Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes</span></h2>
<p>Considérons la <a href="../../../../articles/f/o/r/Forme_diff%C3%A9rentielle.html" title="Forme différentielle">forme différentielle</a> exacte suivante, où <span class="texhtml"><i>f</i></span> est une fonction de <a href="../../../../articles/c/l/a/Classe_de_r%C3%A9gularit%C3%A9.html" title="Classe de régularité">classe</a> <span class="texhtml"><i>C</i><sup>2</sup></span> :</p>
<center><img class="tex" alt="\mathrm df = a(x,y)\,\mathrm dx + b(x,y)\,\mathrm dy " src="../../../../math/c/c/0/cc0b0aa3924f1f640af47f643f49cb4a.png" /></center>
<p>Nous savons alors que :</p>
<center><img class="tex" alt="a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} " src="../../../../math/2/f/0/2f0c5df333896909cfb898e857990ccf.png" /> et <img class="tex" alt="b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y} " src="../../../../math/a/6/8/a6823d9bcc354c028f68b644a4335ed8.png" /></center>
<p>En appliquant le théorème de Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :</p>
<center><img class="tex" alt="\frac{\partial a(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial b(x,y)}{\partial x} " src="../../../../math/1/e/c/1ec0abc2a57d777a6ba8da898da39788.png" /></center>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 9 avril 2008 à 00:14 par Utilisateur <a href="../../../../articles/v/i/v/Utilisateur%7EVivar%C3%A9s_e902.html" title="Utilisateur:Vivarés">Vivarés</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/r/o/b/Utilisateur%7ERobotQuistnix_d78e.html" title="Utilisateur:RobotQuistnix">RobotQuistnix</a>, <a href="../../../../articles/d/u/m/Utilisateur%7EDumZiBoT_1015.html" title="Utilisateur:DumZiBoT">DumZiBoT</a>, <a href="../../../../articles/p/i/x/Utilisateur%7EPixelBot_d78c.html" title="Utilisateur:PixelBot">PixelBot</a>, <a href="../../../../articles/f/l/o/Utilisateur%7EFlo_2731.html" title="Utilisateur:Flo">Flo</a>, <a href="../../../../articles/s/e/m/Utilisateur%7ESembot_a305.html" title="Utilisateur:Sembot">Sembot</a>, Kukumi, <a href="../../../../articles/s/e/b/Utilisateur%7ESeb35_a64a.html" title="Utilisateur:Seb35">Seb35</a>, <a href="../../../../articles/c/h/a/Utilisateur%7ECharles_Dyon_562e.html" title="Utilisateur:Charles Dyon">Charles Dyon</a>, <a href="../../../../articles/s/a/n/Utilisateur%7ESandrine_L_ab41.html" title="Utilisateur:Sandrine L">Sandrine L</a> et <a href="../../../../articles/t/i/g/Utilisateur%7ETigH_e3dd.html" title="Utilisateur:TigH">TigH</a> et Utilisateur(s) non enregistré(s) de Wikipédia.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
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