Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="fr" lang="fr" dir="ltr">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<!-- headlinks removed -->
<link rel="shortcut icon" href="../../../../misc/favicon.ico"/>
<title>Théorème de Poincaré-Birkhoff - Wikipédia</title>
<style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../skins/offline/main.css"; /*]]>*/</style>
<link rel="stylesheet" type="text/css" media="print" href="../../../../skins/common/commonPrint.css" />
<!--[if lt IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE50Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE55Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 6]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE60Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE]><script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/IEFixes.js"></script>
<meta http-equiv="imagetoolbar" content="no" /><![endif]-->
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/wikibits.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/md5.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/utf8.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/lookup.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../raw/gen.js"></script> <style type="text/css">/*<![CDATA[*/
@import "../../../../raw/MediaWiki%7ECommon.css";
@import "../../../../raw/MediaWiki%7EMonobook.css";
@import "../../../../raw/gen.css";
/*]]>*/</style> </head>
<body
class="ns-0">
<div id="globalWrapper">
<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème de Poincaré-Birkhoff</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/f/_/o/Image%7EF_of_x.svg_a9ce.html" class="image" title="F of x.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/b/b0/F_of_x.svg/45px-F_of_x.svg.png" width="45" height="22" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant l'<a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>Le <b>théorème de Poincaré-Birkhoff</b> est un théorème fondamental en <a href="../../../../articles/d/y/n/Dynamique.html" title="Dynamique">dynamique</a>. Il affirme que si f est une application d'un anneau dans lui-même qui préserve les aires (i.e. pour tout ensemble U, l'aire de U égale l'aire de f(U)) et fait tourner les deux bords dans des sens opposés, alors f possède au moins deux points fixes.</p>
<p>Bien que ce théorème ressemble au <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_Brouwer_7383.html" title="Théorème du point fixe de Brouwer">théorème du point fixe de Brouwer</a>, il est nettement plus difficile à démontrer, car la condition d'aire y joue un rôle crucial. Il existe en effet des applications f satisfaisant une seule des deux hypothèses du théorème, et n'ayant aucun point fixe. Conjecturé par <a href="../../../../articles/h/e/n/Henri_Poincar%C3%A9_760c.html" title="Henri Poincaré">Poincaré</a> en 1905, il sera démontré par <a href="../../../../articles/g/e/o/George_David_Birkhoff_f721.html" title="George David Birkhoff">G.D. Birkhoff</a> en 1912, le rendant immédiatement célèbre dans le monde mathématique.</p>
<p>Dans un commentaire par <a href="../../../../articles/v/l/a/Vladimir_Arnold_5008.html" title="Vladimir Arnold">V.I. Arnold</a> des œuvres complètes de Poincaré, celui-ci conjectura que la généralisation en dimension supérieure de ce théorème devait être la suivante:</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><i>Toute transformation <a href="../../../../articles/h/a/m/Hamiltonien.html" title="Hamiltonien">Hamiltonienne</a> du tore <span class="texhtml"><i>T</i><sup>2<i>n</i></sup></span> possède au moins 2n+1 points fixes.</i></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Ce résultat fut démontré par C. Conley et E. Zehnder en 1983 et généralisé depuis à d'autres <a href="../../../../articles/v/a/r/Vari%C3%A9t%C3%A9_symplectique.html" title="Variété symplectique">variétés symplectiques</a>.</p>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
<!--
NewPP limit report
Preprocessor node count: 299/1000000
Post-expand include size: 2948/2048000 bytes
Template argument size: 717/2048000 bytes
Expensive parser function count: 2/500
-->
<div class="printfooter">
</div>
<div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/w/i/k/Cat%C3%A9gorie%7EWikip%C3%A9dia%7E%C3%A9bauche_analyse_9bc7.html" title="Catégorie:Wikipédia:ébauche analyse">Wikipédia:ébauche analyse</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/t/o/p/Cat%C3%A9gorie%7ETopologie_diff%C3%A9rentielle_c8cc.html" title="Catégorie:Topologie différentielle">Topologie différentielle</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/s/y/s/Cat%C3%A9gorie%7ESyst%C3%A8mes_dynamiques_a423.html" title="Catégorie:Systèmes dynamiques">Systèmes dynamiques</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/Cat%C3%A9gorie%7EG%C3%A9om%C3%A9trie_symplectique_d59d.html" title="Catégorie:Géométrie symplectique">Géométrie symplectique</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Cat%C3%A9gorie%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_math%C3%A9matiques_4fd9.html" title="Catégorie:Théorème de mathématiques">Théorème de mathématiques</a></span></div></div></div> <!-- end content -->
<div class="visualClear"></div>
</div>
</div>
</div>
<div id="column-one">
<div id="p-cactions" class="portlet">
<h5>Views</h5>
<ul>
<li id="ca-nstab-main"
class="selected" ><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Poincar%C3%A9-Birkhoff_cc32.html">Article</a></li><li id="ca-talk"
><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Poincar%C3%A9-Birkhoff_6dc7.html">Discussion</a></li><li id="ca-current"
><a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Poincar%C3%A9-Birkhoff">Version actuelle</a></li> </ul>
</div>
<div class="portlet" id="p-logo">
<a style="background-image: url(../../../../misc/Wiki.png);"
href="../../../../index.html"
title="Accueil"></a>
</div>
<script type="text/javascript"> if (window.isMSIE55) fixalpha(); </script>
<div class='portlet' id='p-navigation'>
<h5>Navigation</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-mainpage"><a href="../../../../index.html">Accueil</a></li>
<li id="n-thema"><a href="../../../../articles/a/c/c/Portail%7EAccueil_bcc9.html">Portails thématiques</a></li>
<li id="n-alphindex"><a href="../../../../articles/t/o/u/Special%7EToutes_les_pages_fabc.html">Index alphabétique</a></li>
<li id="n-randompage"><a href="../../../../articles/p/a/g/Special%7EPage_au_hasard_9c81.html">Un article au hasard</a></li>
<li id="n-contact"><a href="../../../../articles/c/o/n/Wikip%C3%A9dia%7EContact_929e.html">Contacter Wikipédia</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class='portlet' id='p-Contribuer'>
<h5>Contribuer</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-help"><a href="../../../../articles/s/o/m/Aide%7ESommaire_c9f0.html">Aide</a></li>
<li id="n-portal"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_5272.html">Communauté</a></li>
<li id="n-recentchanges"><a href="../../../../articles/m/o/d/Special%7EModifications_r%C3%A9centes_b222.html">Modifications récentes</a></li>
<li id="n-aboutwp"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_des_nouveaux_arrivants_0784.html">Accueil des nouveaux arrivants</a></li>
<li id="n-sitesupport"><a href="http://meta.wikimedia.org/wiki/Faire_un_don:_explication">Faire un don</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="p-search" class="portlet">
<h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5>
<div id="searchBody" class="pBody">
<form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div>
<input id="searchInput" name="search" type="text"
accesskey="C" value="" />
<input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton"
value="Aller" />
</div></form>
</div>
</div>
</div><!-- end of the left (by default at least) column -->
<div class="visualClear"></div>
<div id="footer">
<div id="f-poweredbyico"><a href="http://www.mediawiki.org/"><img src="../../../../skins/common/images/poweredby_mediawiki_88x31.png" alt="Powered by MediaWiki" /></a></div> <div id="f-copyrightico"><a href="http://wikimediafoundation.org/"><img src="../../../../misc/wikimedia-button.png" border="0" alt="Wikimedia Foundation"/></a></div> <ul id="f-list">
<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 15 février 2008 à 02:58 par Utilisateur <a href="../../../../articles/l/o/v/Utilisateur%7ELoveless_6fc1.html" title="Utilisateur:Loveless">Loveless</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/p/l/d/Utilisateur%7EPld_11ee.html" title="Utilisateur:Pld">Pld</a>, <a href="../../../../articles/p/i/e/Utilisateur%7EPIerre.Lescanne_15f9.html" title="Utilisateur:PIerre.Lescanne">PIerre.Lescanne</a>, <a href="../../../../articles/j/a/i/Utilisateur%7EJaimie_Ann_Handson_690c.html" title="Utilisateur:Jaimie Ann Handson">Jaimie Ann Handson</a>, <a href="../../../../articles/j/e/f/Utilisateur%7EJef-Infojef_b31d.html" title="Utilisateur:Jef-Infojef">Jef-Infojef</a>, <a href="../../../../articles/e/k/t/Utilisateur%7EEktoplastor_c618.html" title="Utilisateur:Ektoplastor">Ektoplastor</a>, <a href="../../../../articles/k/y/l/Utilisateur%7EKyle_the_bot_1d7d.html" title="Utilisateur:Kyle the bot">Kyle the bot</a>, <a href="../../../../articles/c/v/-/Utilisateur%7ECv-x_043b.html" title="Utilisateur:Cv-x">Cv-x</a> et <a href="../../../../articles/s/a/l/Utilisateur%7ESalle_2887.html" title="Utilisateur:Salle">Salle</a> et Utilisateur(s) non enregistré(s) de Wikipédia.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
Wikipedia® est une marque déposée de la <a href="http://wikimediafoundation.org/wiki/Accueil" title="Wikimedia Foundation">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a class="internal" href="http://en.wikipedia.org/wiki/501(c)" title="501(c)">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br/></li> <li id="f-about"><a href="../../../../articles/%C3%A0/_/p/Wikip%C3%A9dia%7E%C3%80_propos_5de1.html" title="Wikipédia:À propos">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="f-disclaimer"><a href="../../../../articles/a/v/e/Wikip%C3%A9dia%7EAvertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux_fef1.html" title="Wikipédia:Avertissements généraux">Avertissements</a></li> </ul>
</div>
</div>
</body>
</html>