Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème de Heine - Wikipédia</title>
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<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème de Heine</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Racine carrée bleue.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/35px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="35" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant les <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>Le <b>théorème de Heine</b>, nommé ainsi en l'honneur de <a href="../../../../articles/%C3%A9/d/o/%C3%89douard_Heine_54f0.html" title="Édouard Heine">Édouard Heine</a>, s'énonce ainsi : Soit deux <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_m%C3%A9trique.html" title="Espace métrique">espaces métriques</a> X et Y, tel que X soit également <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_compact.html" class="mw-redirect" title="Espace compact">compact</a>. Alors toute <a href="../../../../articles/c/o/n/Continuit%C3%A9.html" title="Continuité">application continue</a> de X dans Y est <a href="../../../../articles/c/o/n/Continuit%C3%A9_uniforme.html" title="Continuité uniforme">uniformément continue</a>. Cela implique notamment que toute fonction continue de <span class="texhtml"><i>I</i> = [<i>a</i>,<i>b</i>]</span> dans <img class="tex" alt="\mathbb R" src="../../../../math/0/c/9/0c95a37acc94ef8c093ce39c36e07886.png" /> est uniformément continue sur <span class="texhtml"><i>I</i></span>.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Enonc.C3.A9_et_d.C3.A9monstration_pour_les_fonctions_num.C3.A9riques"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Enonc.C3.A9"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Enoncé</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#D.C3.A9monstration"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">Démonstration</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9monstration_dans_le_cas_g.C3.A9n.C3.A9ral_en_utilisant_la_propri.C3.A9t.C3.A9_de_Bolzano-Weierstrass"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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//<![CDATA[
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<p><a name="Enonc.C3.A9_et_d.C3.A9monstration_pour_les_fonctions_num.C3.A9riques" id="Enonc.C3.A9_et_d.C3.A9monstration_pour_les_fonctions_num.C3.A9riques"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Heine_d24c.html" title="Modifier la section : Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques</span></h2>
<p><a name="Enonc.C3.A9" id="Enonc.C3.A9"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Heine_d24c.html" title="Modifier la section : Enoncé">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Enoncé</span></h3>
<p>Soit f une fonction continue de [a,b] dans R. Elle est continue en tout point x, et nous savons donc que</p>
<p><img class="tex" alt="\forall x \in [a,b] \forall \epsilon > 0, \exists \alpha_{x\epsilon} > 0 " src="../../../../math/0/a/0/0a057987e99cd31437bc22f6bbe60fe3.png" /> tel que <img class="tex" alt="\forall x' \in [a,b] |x-x'|<\alpha_{x\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon" src="../../../../math/e/6/8/e6811372ae78e249550b9279e8cf6ab0.png" /></p>
<p>Le theoreme de Heine exprime que la fonction est alors uniformement continue en <span class="texhtml"><i>x</i></span> sur <span class="texhtml">[<i>a</i>,<i>b</i>]</span>, c'est à dire que le <span class="texhtml">α</span> peut etre choisi independamment de <span class="texhtml"><i>x</i></span>, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs <img class="tex" alt=" \forall x \in [a,b] \exists \alpha_x " src="../../../../math/4/8/4/48441e1bf9b3dda51f233814bd005436.png" /> en <img class="tex" alt=" \exists \alpha \forall x \in [a,b] " src="../../../../math/9/1/e/91eb4edf2b94f993ac5b73b5c8402f33.png" />.</p>
<p>La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :</p>
<p><img class="tex" alt="\forall \epsilon > 0, \exists \alpha_\epsilon > 0 / \forall x \in [a,b] \forall x' \in [a,b] |x-x'|<\alpha_\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon" src="../../../../math/b/d/a/bdae7380e4d8bc34308a8bd9cb403d0d.png" /></p>
<p><a name="D.C3.A9monstration" id="D.C3.A9monstration"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Heine_d24c.html" title="Modifier la section : Démonstration">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration</span></h3>
<p>En prenant les definition de <span class="texhtml">α<sub><i>x</i>ε</sub></span>, on considere <img class="tex" alt="[a,b] \subset \cup_{x\in[ab]} \{x\} \subset \cup B(x, \alpha_{x\epsilon} / 2) " src="../../../../math/9/2/d/92d7d3de527ece23646d5eb3d37b157b.png" />. c'est un recouvrement de <span class="texhtml">[<i>a</i>,<i>b</i>]</span>, et d'apres le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Borel-Lebesgue_02c2.html" title="Théorème de Borel-Lebesgue">Théorème de Borel-Lebesgue</a> on peut en selectionner un nombre fini I qui recouvre aussi <span class="texhtml">[<i>a</i>,<i>b</i>]</span>.</p>
<p>Alors, si l'on prend <img class="tex" alt=" x, y / |x-y| < \frac{1}{2} min_{i \in I} \alpha_{x_i} " src="../../../../math/8/f/8/8f8a086e9b3de19d5c50ee7b943e3928.png" /> il existe un <img class="tex" alt="x_i / x \in B(x_i, \alpha_{x_i\epsilon} /2 ) " src="../../../../math/2/2/6/22654dc426980813030b0b364871e3de.png" /> et <img class="tex" alt=" |y - x_i| < d(y,x) + d(x,x_i) < \frac{1}{2} min_{i \in I} \alpha_{x_i} + \alpha_{x_i\epsilon} /2 < \alpha_{x_i\epsilon} " src="../../../../math/f/6/1/f6186cedce89af3e944738b001e6d028.png" /> et donc</p>
<p><span class="texhtml">| <i>f</i>(<i>x</i>) − <i>f</i>(<i>y</i>) | < | <i>f</i>(<i>x</i>) − <i>f</i>(<i>x</i><sub><i>i</i></sub>) | + | <i>f</i>(<i>x</i><sub><i>i</i></sub>) − <i>f</i>(<i>y</i>) | < ε + ε</span></p>
<p>la valeur trouvée etant bien independante de x, l'unniforme continuité est demontrée.</p>
<p><a name="D.C3.A9monstration_dans_le_cas_g.C3.A9n.C3.A9ral_en_utilisant_la_propri.C3.A9t.C3.A9_de_Bolzano-Weierstrass" id="D.C3.A9monstration_dans_le_cas_g.C3.A9n.C3.A9ral_en_utilisant_la_propri.C3.A9t.C3.A9_de_Bolzano-Weierstrass"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Heine_d24c.html" title="Modifier la section : Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass</span></h2>
<p>On se place dans le cas général de deux <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_m%C3%A9trique.html" title="Espace métrique">espaces métriques</a> X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute <a href="../../../../articles/c/o/n/Continuit%C3%A9.html" title="Continuité">application continue</a> de X dans Y est <a href="../../../../articles/c/o/n/Continuit%C3%A9_uniforme.html" title="Continuité uniforme">uniformément continue</a>, ce qui s'exprime par :</p>
<p><img class="tex" alt="\forall \epsilon > 0, \exists \alpha >0" src="../../../../math/6/7/e/67e5b1731f09c25c4894169b8c348490.png" /> tel que <img class="tex" alt="\forall (a,b) \in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon" src="../../../../math/1/1/e/11ebae2e7716ba5f765b2971aff1f25f.png" /></p>
<p>Pour montrer cela, on raisonne par l'absurde en considérant f <a href="../../../../articles/c/o/n/Continuit%C3%A9.html" title="Continuité">continue</a> sur X mais non <a href="../../../../articles/u/n/i/Uniforme_continuit%C3%A9.html" class="mw-redirect" title="Uniforme continuité">uniformément continue</a>. Alors, on sait qu'il existe <span class="texhtml">ε > 0</span> tel que pour chaque <img class="tex" alt="\scriptstyle \alpha=\frac{1}{n}" src="../../../../math/b/5/9/b59ff8b40f760836f6a5ac078418aced.png" />, on peut trouver deux points <span class="texhtml"><i>a</i><sub><i>n</i></sub></span> et <span class="texhtml"><i>b</i><sub><i>n</i></sub></span> de X avec :</p>
<p><img class="tex" alt=" d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}" src="../../../../math/e/4/9/e490013c9afeaee568dc7e2e5c4f99ab.png" /> et <img class="tex" alt="d'(f(a_n),f(b_n))>\epsilon\," src="../../../../math/d/2/7/d27f1bc78f95ced352f543dd7c0a8ca4.png" />.</p>
<p>La suite <span class="texhtml">(<i>a</i><sub><i>n</i></sub>)</span> est à valeurs dans le <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_compact.html" class="mw-redirect" title="Espace compact">compact</a> X donc on peut en extraire une <a href="../../../../articles/s/o/u/Sous-suite.html" title="Sous-suite">sous-suite</a> convergente. On note <img class="tex" alt="\phi\," src="../../../../math/c/d/0/cd014731964c742c274df08d7cc238fb.png" /> l'extraction et <img class="tex" alt="a\," src="../../../../math/f/5/3/f532fcdb8b9c5c620fefcd59f1d5f869.png" /> la limite de la <a href="../../../../articles/s/o/u/Sous-suite.html" title="Sous-suite">sous-suite</a>. La relation <img class="tex" alt=" d(a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})<\frac{1}{\phi(n)}" src="../../../../math/c/2/1/c210f502ca4c6524a23cca7d2268cd4c.png" /> montre que <span class="texhtml">(<i>b</i><sub>φ(<i>n</i>)</sub>)</span> est aussi convergente de limite <img class="tex" alt="a\," src="../../../../math/f/5/3/f532fcdb8b9c5c620fefcd59f1d5f869.png" />.</p>
<p>Il s'en suit, en faisant tendre n vers <img class="tex" alt="\scriptstyle +\infty" src="../../../../math/c/6/f/c6f37ce8cf6165e12d8a13400240b202.png" /> et en utilisant la <a href="../../../../articles/c/o/n/Continuit%C3%A9.html" title="Continuité">continuité</a> de f et de la distance d' :</p>
<p><img class="tex" alt="d'(f(a),f(a))\ge\epsilon\," src="../../../../math/7/9/b/79b76f9110accfe2902e7fdea1c7ab2e.png" />.</p>
<p>On obtient là une contradiction. Donc f est <a href="../../../../articles/u/n/i/Uniforme_continuit%C3%A9.html" class="mw-redirect" title="Uniforme continuité">uniformément continue</a> sur X.</p>
<p><br /></p>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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