Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème de Cox-Jaynes - Wikipédia</title>
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<h1 class="firstHeading">Théorème de Cox-Jaynes</h1>
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<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/p/r/o/Image%7EProbstats.svg_01aa.html" class="image" title="Probstats.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/5/5a/Probstats.svg/45px-Probstats.svg.png" width="45" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant les <a href="../../../../articles/p/r/o/Probabilit%C3%A9s.html" class="mw-redirect" title="Probabilités">probabilités</a> et les <a href="../../../../articles/s/t/a/Statistiques.html" title="Statistiques">statistiques</a>.</strong></div>
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</td>
</tr>
</table>
</div>
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<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="width:45px; text-align:center"><a href="../../../../articles/q/u/e/Image%7EQuestion_book-3.svg_1bf7.html" class="image" title="Question book-3.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/e/e3/Question_book-3.svg/44px-Question_book-3.svg.png" width="44" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article ou cette section <a href="../../../../articles/c/i/t/Wikip%C3%A9dia%7ECitez_vos_sources_%21_3edd.html" title="Wikipédia:Citez vos sources !">ne cite pas suffisamment ses sources</a>.</strong> <small>(date inconnue)</small></div>
<div class="bandeau-texte">Son contenu est donc sujet à caution. Wikipédia doit être fondée sur des sources fiables et indépendantes. <a href="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" class="external text" title="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" rel="nofollow">Améliorez cet article</a> en liant les informations à des <a href="../../../../articles/a/r/t/Wikip%C3%A9dia%7EArticle_bien_sourc%C3%A9_aa96.html" title="Wikipédia:Article bien sourcé">sources</a>, au moyen de <b><a href="../../../../articles/n/o/t/Aide%7ENote_931f.html" title="Aide:Note">notes de bas de page</a></b> (voir les <a href="../../../../articles/s/o/u/Aide%7ESourcer_f12f.html" title="Aide:Sourcer">recommandations</a>).</div>
</td>
</tr>
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</div>
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<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="width:45px; text-align:center"><a href="../../../../articles/t/o/_/Image%7ETo_validate.png_a0e6.html" class="image" title="To validate.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/8/8a/To_validate.png/45px-To_validate.png" width="45" height="18" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>La forme ou le fond de cet article est <a href="../../../../articles/a/r/t/Aide%7EArticles_%C3%A0_v%C3%A9rifier_6f4c.html" title="Aide:Articles à vérifier">à vérifier</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte"><a href="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" class="external text" title="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" rel="nofollow">Améliorez-le</a>, ou <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_1617.html" title="Discuter:Théorème de Cox-Jaynes">discutez des points à vérifier</a>. <i>Si vous venez d’apposer le bandeau, <a href="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_1617.html" class="external text" title="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_1617.html" rel="nofollow">merci d’indiquer ici les points à vérifier</a>.</i></div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p><br />
Le <b>théorème de Cox-Jaynes</b> (<a href="../../../../articles/1/9/4/1946.html" title="1946">1946</a>), dû dans sa version originale au physicien Richard Cox, est une codification des processus d'apprentissage à partir d'un certain ensemble de postulats. Cette codification se trouve coïncider au terme de ces considérations avec celle - historiquement d'origine toute différente - de <a href="../../../../articles/p/r/o/Probabilit%C3%A9.html" title="Probabilité">probabilité</a>.</p>
<p>Elle induit donc une <a href="../../../../articles/i/n/t/Interpr%C3%A9tation.html" title="Interprétation">interprétation</a> « logique » des probabilités indépendante de celle de <a href="../../../../articles/f/r/%C3%A9/Fr%C3%A9quence.html" title="Fréquence">fréquence</a>. Elle fournit également une base rationnelle au mécanisme d'<a href="../../../../articles/i/n/d/Induction_%28logique%29.html" title="Induction (logique)">induction</a> logique, et donc de l'<a href="../../../../articles/i/n/t/Intelligence_artificielle.html" title="Intelligence artificielle">apprentissage par des machines</a>. Qui plus est, le théorème invalide - dans les conditions des postulats - toute autre forme de représentation de la connaissance comme biaisée. Il s'agit donc d'un résultat extrêmement fort. (source : <a href="../../../../articles/m/y/r/Myron_Tribus_3112.html" title="Myron Tribus">Myron Tribus</a>, <i>Décisions rationnelles dans l'incertain</i>, Masson, 1974)</p>
<p>Les résultats de Cox n'avaient touché qu'une audience réduite avant qu'<i><a href="../../../../articles/e/d/w/Edwin_Thompson_Jaynes_4988.html" title="Edwin Thompson Jaynes">E.T. Jaynes</a></i> ne redécouvre ce théorème et n'en défriche une série d'implications pour les <a href="../../../../articles/i/n/f/Inf%C3%A9rence_bay%C3%A9sienne.html" title="Inférence bayésienne">méthodes bayésiennes</a>, et <a href="../../../../articles/i/r/v/Irving_John_Good_4af5.html" title="Irving John Good">Irving John Good</a> pour l'<a href="../../../../articles/i/n/t/Intelligence_artificielle.html" title="Intelligence artificielle">intelligence artificielle</a>.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Probl.C3.A8mes_de_validit.C3.A9_de_la_d.C3.A9marche_inductive_avant_Cox"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Problèmes de validité de la démarche inductive avant Cox</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A9serves_de_Bertrand_Russell"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Réserves de Bertrand Russell</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Paradoxe_de_Hempel"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">Paradoxe de Hempel</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Les_.C2.AB_desiderata_.C2.BB_.28axiomes.29"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Les « desiderata » (axiomes)</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Les_degr.C3.A9s_de_plausibilit.C3.A9_sont_repr.C3.A9sent.C3.A9s_par_des_nombres_r.C3.A9els"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Les degrés de plausibilité sont représentés par des nombres réels</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Les_r.C3.A8gles_d.27inf.C3.A9rence_ne_doivent_pas_contredire_les_r.C3.A8gles_d.27inf.C3.A9rence_communes"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Les règles d'inférence ne doivent pas contredire les règles d'inférence communes</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A8gle_de_coh.C3.A9rence"><span class="tocnumber">2.3</span> <span class="toctext">Règle de cohérence</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A8gle_d.27honn.C3.AAtet.C3.A9"><span class="tocnumber">2.4</span> <span class="toctext">Règle d'honnêteté</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A8gle_de_reproductibilit.C3.A9"><span class="tocnumber">2.5</span> <span class="toctext">Règle de reproductibilité</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Les_r.C3.A8gles_quantitatives_.28lois_de_composition_interne.29"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Les règles quantitatives (lois de composition interne)</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#La_r.C3.A8gle_de_somme"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">La règle de somme</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#La_r.C3.A8gle_de_produit"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">La règle de produit</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Liens_externes"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Liens externes</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Les_r.C3.A9sultats"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Les résultats</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Exemple"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Exemple</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#La_notation_d.27I.J_Good_.28weight_of_evidence.29"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">La notation d'I.J Good (weight of evidence)</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-3"><a href="#en_d.C3.A9cibels_.28dB.29"><span class="tocnumber">5.2.1</span> <span class="toctext">en décibels (dB)</span></a></li>
<li class="toclevel-3"><a href="#en_bits"><span class="tocnumber">5.2.2</span> <span class="toctext">en bits</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Cons.C3.A9quences_du_th.C3.A9or.C3.A8me"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Conséquences du théorème</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Unification_de_l.27alg.C3.A8bre_de_Boole_et_de_la_th.C3.A9orie_des_probabilit.C3.A9s"><span class="tocnumber">6.1</span> <span class="toctext">Unification de l'algèbre de Boole et de la théorie des probabilités</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Abandon_du_paradigme_.C2.AB_fr.C3.A9quentiste_.C2.BB"><span class="tocnumber">6.2</span> <span class="toctext">Abandon du paradigme « fréquentiste »</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Bases_rationnelles_de_l.27apprentissage_machine"><span class="tocnumber">6.3</span> <span class="toctext">Bases rationnelles de l'apprentissage machine</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Limitations_importantes_du_th.C3.A9or.C3.A8me"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Limitations importantes du théorème</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Un_paradoxe_apparent"><span class="tocnumber">7.1</span> <span class="toctext">Un paradoxe apparent</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Le_r.C3.B4le_du_langage_.28formatage.29"><span class="tocnumber">7.2</span> <span class="toctext">Le rôle du langage (formatage)</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Notes et références</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Liens_internes"><span class="tocnumber">9.1</span> <span class="toctext">Liens internes</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Liens_externes_2"><span class="tocnumber">9.2</span> <span class="toctext">Liens externes</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</td>
</tr>
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<p><a name="Probl.C3.A8mes_de_validit.C3.A9_de_la_d.C3.A9marche_inductive_avant_Cox" id="Probl.C3.A8mes_de_validit.C3.A9_de_la_d.C3.A9marche_inductive_avant_Cox"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Problèmes de validité de la démarche inductive avant Cox">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Problèmes de validité de la démarche inductive avant Cox</span></h2>
<p><a name="R.C3.A9serves_de_Bertrand_Russell" id="R.C3.A9serves_de_Bertrand_Russell"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Réserves de Bertrand Russell">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Réserves de Bertrand Russell</span></h3>
<p>Dans le chapitre « La science est-elle superstitieuse ? » de son ouvrage <i><a href="../../../../articles/s/c/i/Science_et_religion.html" title="Science et religion">Science et religion</a></i>, Bertrand Russell énonce le problème - il ose même le mot de <i>scandale</i> - posé par l'<a href="../../../../articles/i/n/d/Induction_%28logique%29.html" title="Induction (logique)">induction</a> :</p>
<ul>
<li>Au nom de quoi affirmer, même de façon provisoire, que ce qui a été vérifié dans un nombre limité de cas se vérifiera aussi dans les cas qui n'ont pas été testés ?</li>
<li>Au nom de quoi supposer, même sur ce qui a été mesuré, que ce qui a été vrai hier le sera toujours demain ?</li>
</ul>
<p><a name="Paradoxe_de_Hempel" id="Paradoxe_de_Hempel"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Paradoxe de Hempel">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Paradoxe de Hempel</span></h3>
<p>Ce paradoxe visait à montrer une faille dans le mécanisme d'induction, qui imposait que le domaine de validité de celui-ci fût précisé de façon plus rigoureuse : le <i>contexte</i> de ce dont on parle doit être toujours mentionné. Ainsi le comptage des oiseaux à la fois non-blancs et non-corbeaux dans une chambre ne renseigne pas sur la probabilité que tous les corbeaux soient blancs, mais que tous les corbeaux soient blancs <i>dans cette chambre</i> - affirmation parfaitement exacte quand il n'y a aucun corbeau dans la chambre, en vertu de la relation (qui définit l'implication)</p>
<p>(p => q) <=> (p & q) | ~p</p>
<p>Détails dans l'article <a href="../../../../articles/p/a/r/Paradoxe_de_Hempel_b5fc.html" title="Paradoxe de Hempel">Paradoxe de Hempel, dit de l'ornithologie en chambre</a>.</p>
<p><a name="Les_.C2.AB_desiderata_.C2.BB_.28axiomes.29" id="Les_.C2.AB_desiderata_.C2.BB_.28axiomes.29"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Les « desiderata » (axiomes)">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les « desiderata » (axiomes)</span></h2>
<p>Cox cherche à poser les <i>desiderata</i> souhaitables pour un robot qui raisonnerait selon une <i>logique inductive</i> :</p>
<p><a name="Les_degr.C3.A9s_de_plausibilit.C3.A9_sont_repr.C3.A9sent.C3.A9s_par_des_nombres_r.C3.A9els" id="Les_degr.C3.A9s_de_plausibilit.C3.A9_sont_repr.C3.A9sent.C3.A9s_par_des_nombres_r.C3.A9els"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Les degrés de plausibilité sont représentés par des nombres réels">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les degrés de plausibilité sont représentés par des nombres réels</span></h3>
<ul>
<li>Il faut bien en effet pouvoir à tout moment dire de deux plausibilités <i>laquelle est plus grande que l'autre</i>, ce qui suggère une représentation quantitative, et la forme numérique semble commode.</li>
<li>Une représentation entière poserait un problème de bruit discret, aucune plausibilité ne pouvant se glisser entre deux représentées par des entiers successifs.</li>
<li>Des rationnels conviendraient certes, mais si tous les réels ne sont pas des rationnels, tous les rationnels sont en revanche bien des réels.</li>
</ul>
<p>La convention adoptée, arbitrairement, est que <i>des plausibilités plus grandes seront représentées par des nombres plus grands</i>.</p>
<p><a name="Les_r.C3.A8gles_d.27inf.C3.A9rence_ne_doivent_pas_contredire_les_r.C3.A8gles_d.27inf.C3.A9rence_communes" id="Les_r.C3.A8gles_d.27inf.C3.A9rence_ne_doivent_pas_contredire_les_r.C3.A8gles_d.27inf.C3.A9rence_communes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Les règles d'inférence ne doivent pas contredire les règles d'inférence communes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les règles d'inférence ne doivent pas contredire les règles d'inférence communes</span></h3>
<p>En d'autres termes, ce qui nous paraît évident ne doit pas être contredit par le modèle (à la différence de ce qui se passe avec le <a href="../../../../articles/p/a/r/Paradoxe_de_Condorcet_3150.html" title="Paradoxe de Condorcet">paradoxe de Condorcet</a>).</p>
<p>Exemple :</p>
<ul>
<li>si A est préférable à B,</li>
<li>et B préférable à C,</li>
<li>toutes choses égales par ailleurs et en l'absence de B, A doit être préféré à C.</li>
</ul>
<p><br />
Pour les cinq sections suivantes, toutes les formules sont ici :</p>
<ul>
<li><a href="http://icl.pku.edu.cn/yujs/papers/pdf/foundation.pdf" class="external text" title="http://icl.pku.edu.cn/yujs/papers/pdf/foundation.pdf" rel="nofollow">Cox-Jaynes</a> (PDF)</li>
</ul>
<p><br /></p>
<p><a name="R.C3.A8gle_de_coh.C3.A9rence" id="R.C3.A8gle_de_coh.C3.A9rence"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Règle de cohérence">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Règle de cohérence</span></h3>
<p>Si une conclusion peut être obtenue par plus d'un moyen, alors tous ces moyens doivent bien donner le même résultat.</p>
<p>Cette règle élimine du champ d'examen les heuristiques multiples dès lors qu'elles pourraient contenir entre elles des contradictions (comme le font par exemple parfois les critères de Wald et du minimax en <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_jeux.html" title="Théorie des jeux">théorie des jeux</a>).</p>
<p><a name="R.C3.A8gle_d.27honn.C3.AAtet.C3.A9" id="R.C3.A8gle_d.27honn.C3.AAtet.C3.A9"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Règle d'honnêteté">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Règle d'honnêteté</span></h3>
<p>Le robot doit toujours prendre en compte la totalité de l'information qui lui est fournie. Il ne doit pas ignorer délibérément une partie d'entre elles et fonder ses conclusions sur le reste. En d'autres termes, le robot doit être totalement <i>non idéologique</i>, <i>neutre de point de vue</i>.</p>
<p><a name="R.C3.A8gle_de_reproductibilit.C3.A9" id="R.C3.A8gle_de_reproductibilit.C3.A9"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Règle de reproductibilité">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Règle de reproductibilité</span></h3>
<p>Le robot représente des états de connaissance équivalents par des plausibilités équivalentes. Si deux problèmes sont identiques à un simple étiquetage de propositions près, le robot doit assigner les mêmes plausibilités dans les deux cas.</p>
<p>Cela signifie en particulier que des propositions seront considérées a priori comme de plausibilité équivalente quand elles ne se distinguent que par leur nom - ce qui n'arrive guère que dans des cas très particuliers, comme une pièce ou un dé ayant satisfait à des critères de non-pipage.</p>
<p><a name="Les_r.C3.A8gles_quantitatives_.28lois_de_composition_interne.29" id="Les_r.C3.A8gles_quantitatives_.28lois_de_composition_interne.29"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Les règles quantitatives (lois de composition interne)">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les règles quantitatives (lois de composition interne)</span></h2>
<p><a name="La_r.C3.A8gle_de_somme" id="La_r.C3.A8gle_de_somme"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : La règle de somme">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">La règle de somme</span></h3>
<p>Sans rentrer dans les équations, l'idée est que lorsque deux plausibilités du même état se composent, la plausibilité composée est nécessairement égale ou supérieure à la plus grande des deux.</p>
<p><a name="La_r.C3.A8gle_de_produit" id="La_r.C3.A8gle_de_produit"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : La règle de produit">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">La règle de produit</span></h3>
<p>Il s'agit ici du cas inverse : quand deux plausibilités doivent toutes deux être vérifiées pour qu'un état puisse exister, cet état ne peut avoir de plausibilité plus grande que la plus petite des deux précédentes.</p>
<p><a name="Liens_externes" id="Liens_externes"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Liens externes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens externes</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www-laplace.imag.fr/Jaynes/cc01p.pdf" class="external text" title="http://www-laplace.imag.fr/Jaynes/cc01p.pdf" rel="nofollow">Le raisonnement plausible</a></li>
<li><a href="http://www-laplace.imag.fr/Jaynes/cc02m.pdf" class="external text" title="http://www-laplace.imag.fr/Jaynes/cc02m.pdf" rel="nofollow">Les règles quantitatives</a></li>
</ul>
<p><a name="Les_r.C3.A9sultats" id="Les_r.C3.A9sultats"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Les résultats">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les résultats</span></h2>
<p><a name="Exemple" id="Exemple"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Exemple">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemple</span></h3>
<p><a name="La_notation_d.27I.J_Good_.28weight_of_evidence.29" id="La_notation_d.27I.J_Good_.28weight_of_evidence.29"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : La notation d'I.J Good (weight of evidence)">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">La notation d'I.J Good (<i>weight of evidence</i>)</span></h3>
<p><a href="../../../../articles/a/l/a/Alan_Turing_37ec.html" title="Alan Turing">Alan Turing</a> avait fait remarquer en son temps que l'expression des probabilités était beaucoup plus facile à manier en remplaçant une probabilité <b>p</b> variant de 0 à 1 par l'expression ln (p/(1-p)) variant entre moins l'infini et plus l'infini. En particulier, sous cette forme, un apport d'information par la règle de Bayes se traduit par l'ajout d'une quantité algébrique unique à cette expression (que Turing nommait <i>log-odd</i>), cela quelle que soit la probabilité <i>a priori</i> de départ avant l'observation.</p>
<p><a name="en_d.C3.A9cibels_.28dB.29" id="en_d.C3.A9cibels_.28dB.29"></a></p>
<h4><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : en décibels (dB)">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">en décibels (dB)</span></h4>
<p><a href="../../../../articles/i/r/v/Irving_John_Good_4af5.html" title="Irving John Good">Irving John Good</a> reprit cette idée, mais pour faciliter le travail avec ces nouvelles quantités :</p>
<ul>
<li>utilisa un logarithme décimal plutôt que naturel, afin que l'ordre de grandeur de la probabilité associée apparaisse à simple lecture.</li>
<li>adopta un facteur 10 afin d'éviter la complication de manier des quantités décimales, là où une précision de 1% suffisait.</li>
</ul>
<p>Il nomma la mesure correspondante, W = 10 log10 (p/(1-p)), <i>weight of evidence</i> parce qu'elle permettait de « peser » le témoignage des faits en fonction des attentes - manifestées par des probabilités « subjectives » antérieures à l'observation - <i>de façon indépendante de ces attentes</i><sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</p>
<p><a name="en_bits" id="en_bits"></a></p>
<h4><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : en bits">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">en bits</span></h4>
<p>Les évidences sont parfois exprimées aussi en <a href="../../../../articles/b/i/t/Bit_%28informatique%29.html" class="mw-redirect" title="Bit (informatique)">bits</a>, en particulier dans les tests de validité de <a href="../../../../articles/l/o/i/Lois_scalantes.html" title="Lois scalantes">lois scalantes</a>. Quand une loi comme la <a href="../../../../articles/l/o/i/Loi_de_Zipf_2e2a.html" title="Loi de Zipf">loi de Zipf</a> ou de <a href="../../../../articles/b/e/n/Benoit_Mandelbrot_1016.html" class="mw-redirect" title="Benoit Mandelbrot">Mandelbrot</a> s'ajuste en effet mieux aux données qu'une autre loi ne nécessitant pas de tri préalable, il faut en effet tenir compte du fait que ce <a href="../../../../articles/t/r/i/Tri.html" class="mw-redirect" title="Tri">tri</a> a représenté un apport d'<a href="../../../../articles/i/n/f/Information.html" title="Information">information</a> de l'ordre de N log<sub>2</sub>N et que c'est peut-être lui seul qui est responsable de ce meilleur ajustement ! Si le gain d'évidence apporté par le tri représente moins de bits que celui qu'a coûté le tri, cela signifie que l'information apportée par la considération d'une loi scalante est en fait nulle.</p>
<p><a name="Cons.C3.A9quences_du_th.C3.A9or.C3.A8me" id="Cons.C3.A9quences_du_th.C3.A9or.C3.A8me"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Conséquences du théorème">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Conséquences du théorème</span></h2>
<p><a name="Unification_de_l.27alg.C3.A8bre_de_Boole_et_de_la_th.C3.A9orie_des_probabilit.C3.A9s" id="Unification_de_l.27alg.C3.A8bre_de_Boole_et_de_la_th.C3.A9orie_des_probabilit.C3.A9s"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Unification de l'algèbre de Boole et de la théorie des probabilités">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Unification de l'algèbre de Boole et de la théorie des probabilités</span></h3>
<p>On remarque que l'algèbre de Boole est <a href="../../../../articles/i/s/o/Isomorphisme.html" title="Isomorphisme">isomorphe</a> à la théorie des probabilités réduite aux seules valeurs 0 et 1.</p>
<ul>
<li>Et logique = produit de probabilités</li>
<li>Ou logique = sup de deux probabilités</li>
<li>Non logique = inversion d'une probabilité (p -> 1-p)</li>
</ul>
<p>Cette considération conduisit à l'invention dans les <a href="../../../../articles/a/n/n/Ann%C3%A9es_1970.html" title="Années 1970">années 1970</a> des <a href="../../../../articles/c/a/l/Calculateurs_stochastiques.html" class="mw-redirect" title="Calculateurs stochastiques">calculateurs stochastiques</a> promus par la société <i>Alsthom</i> (qui s'écrivait avec un <i>h</i> à l'époque) et qui entendaient combiner le faible coût des circuits de commutation avec la puissance de traitement des calculateurs analogiques. Quelques-uns furent réalisés à l'époque.</p>
<p><a name="Abandon_du_paradigme_.C2.AB_fr.C3.A9quentiste_.C2.BB" id="Abandon_du_paradigme_.C2.AB_fr.C3.A9quentiste_.C2.BB"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Abandon du paradigme « fréquentiste »">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Abandon du paradigme « fréquentiste »</span></h3>
<div class="detail plainlinks section"><span><a href="../../../../articles/f/a/i/Image%7EFairytale_waring.png_a566.html" class="image" title="Fairytale waring.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/6/6a/Fairytale_waring.png/15px-Fairytale_waring.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. <a href="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" class="external text" title="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" rel="nofollow">Votre aide</a> est la bienvenue !</span></span></div>
<p><a name="Bases_rationnelles_de_l.27apprentissage_machine" id="Bases_rationnelles_de_l.27apprentissage_machine"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Bases rationnelles de l'apprentissage machine">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bases rationnelles de l'apprentissage machine</span></h3>
<div class="detail plainlinks section"><span><a href="../../../../articles/f/a/i/Image%7EFairytale_waring.png_a566.html" class="image" title="Fairytale waring.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/6/6a/Fairytale_waring.png/15px-Fairytale_waring.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. <a href="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" class="external text" title="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" rel="nofollow">Votre aide</a> est la bienvenue !</span></span></div>
<p><a name="Limitations_importantes_du_th.C3.A9or.C3.A8me" id="Limitations_importantes_du_th.C3.A9or.C3.A8me"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Limitations importantes du théorème">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Limitations importantes du théorème</span></h2>
<p><a name="Un_paradoxe_apparent" id="Un_paradoxe_apparent"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Un paradoxe apparent">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Un paradoxe apparent</span></h3>
<p>Chaque discipline possède ses mesures favorites : si la <a href="../../../../articles/t/h/e/Thermique.html" title="Thermique">thermique</a> s'occupe principalement de <a href="../../../../articles/t/e/m/Temp%C3%A9rature.html" title="Température">températures</a>, la <a href="../../../../articles/t/h/e/Thermodynamique.html" title="Thermodynamique">thermodynamique</a> sera plus attachée à des mesures de <a href="../../../../articles/q/u/a/Quantit%C3%A9_de_chaleur.html" class="mw-redirect" title="Quantité de chaleur">quantité de chaleur</a>, voire d'<a href="../../../../articles/e/n/t/Entropie.html" title="Entropie">entropie</a>. L'électrostatique s'intéresse plus aux tensions qu'aux intensités, tandis que c'est l'inverse pour les courants faibles, et qu'en <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/e/%C3%89lectrotechnique.html" title="Électrotechnique">électrotechnique</a> c'est davantage en termes de <a href="../../../../articles/p/u/i/Puissance_%28physique%29.html" title="Puissance (physique)">puissance</a> qu'on aura tendance à raisonner. Selon sa discipline d'origine, chaque expérimentateur tendra à effectuer ses estimatiions sur les unités auxquelles il est habitué.</p>
<p>Dans le cas d'un montage électrique, un spécialiste d'électrotechnique fera peut-être une estimation de puissance dissipée (Ri²) tandis qu'un autre de <i>courants faibles</i> préférera estimer l'intensité elle-même (i). Si la convergence à terme des estimations est assurée dans les deux cas, elle ne se fera pas de la même façon, <i>même avec des distributions a priori identiques</i>, car l'espérance mathématique d'un carré n'est pas mathématiquement liée au carré d'une espérance. Il s'agit là de la principale pierre d'achoppement des méthodes bayésiennes.</p>
<p><a name="Le_r.C3.B4le_du_langage_.28formatage.29" id="Le_r.C3.B4le_du_langage_.28formatage.29"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Le rôle du langage (formatage)">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Le rôle du langage (formatage)</span></h3>
<p>Indépendamment des probabilités a priori que nous attribuons aux événements, nos estimations sont également en partie "formatées" par le langage et la "déformation professionnelle" qui s'y attachent. Concrètement, cela rappelle qu'il n'existe pas seulement une, mais deux sources d'arbitraire dans les méthodes bayésiennes : celle, de mesure, qui entache les probabilités a priori choisies et celle, de méthode, qui correspond à notre représentation du problème. En revanche, l'arbitraire se limite à ces deux éléments, et les méthodes bayésiennes sont ensuite totalement impersonnelles.</p>
<p><a name="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences" id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Notes et références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Notes et références</span></h2>
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
<li id="cite_note-0"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-0" title="">↑</a></span> <a href="../../../../articles/m/y/r/Myron_Tribus_3112.html" title="Myron Tribus">Myron Tribus</a>, <i>Décisions rationnelles dans l'incertain</i>, Traduction française de Jacques Pézier, Masson, 1974</li>
</ol>
</div>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<p><a name="Liens_internes" id="Liens_internes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Liens internes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens internes</span></h3>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/p/r/o/Probabilit%C3%A9.html" title="Probabilité">Probabilité</a></li>
<li><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bayes_e468.html" title="Théorème de Bayes">Théorème de Bayes</a></li>
<li><a href="../../../../articles/i/n/f/Inf%C3%A9rence_bay%C3%A9sienne.html" title="Inférence bayésienne">Inférence bayésienne</a></li>
<li><a href="../../../../articles/b/e/r/Bertrand_Russell_85bc.html" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a></li>
</ul>
<p><a name="Liens_externes_2" id="Liens_externes_2"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cox-Jaynes_5d37.html" title="Modifier la section : Liens externes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens externes</span></h3>
<ul>
<li><a href="http://www-laplace.imag.fr/Jaynes/prob.html" class="external free" title="http://www-laplace.imag.fr/Jaynes/prob.html" rel="nofollow">http://www-laplace.imag.fr/Jaynes/prob.html</a></li>
</ul>
<p><br /></p>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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