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User : hednacluml ( 122243)
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    <title>Théorème de Chudnovsky - Wikipédia</title>
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	        <h1 class="firstHeading">Théorème de Chudnovsky</h1>
	  <div id="bodyContent">
	    <h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
	    <div id="contentSub"></div>
	    	    	    <!-- start content -->
	    <p>Le <b>théorème de Chudnovsky</b> est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est <a href="../../../../articles/c/o/n/Convergence_uniforme.html" title="Convergence uniforme">limite uniforme</a> de fonctions polynômes à coefficients <i>entiers</i>. C'est un raffinement du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stone-Weierstrass_34a2.html" title="Théorème de Stone-Weierstrass">théorème de Stone-Weierstrass</a>.</p>
<p><a name="Enonc.C3.A9" id="Enonc.C3.A9"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Chudnovsky_b80f.html" title="Modifier la section&#160;: Enoncé">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Enoncé</span></h2>
<p>Soit <img class="tex" alt="f&#160;: I \to \mathbb{R} " src="../../../../math/b/4/5/b45f2218389c69023a5e5300bd92cf29.png" /> une fonction continue définie sur un segment <span class="texhtml"><i>I</i> = [<i>a</i>;<i>b</i>]</span> ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite <img class="tex" alt="(P_n)_{n \in \mathbb{N}}" src="../../../../math/e/6/5/e65cba5d7961a64f60c8edde22659209.png" /> de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers <span class="texhtml"><i>f</i></span> sur <span class="texhtml"><i>I</i></span>.</p>
<p><a name="Id.C3.A9e_de_la_preuve" id="Id.C3.A9e_de_la_preuve"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Chudnovsky_b80f.html" title="Modifier la section&#160;: Idée de la preuve">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Idée de la preuve</span></h2>
<p>Ramenons-nous au cas où <img class="tex" alt="[a;b] \subseteq ] 0&#160;;1[ " src="../../../../math/4/d/3/4d329b5245c7008566e5f3f997885e90.png" />. La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante <img class="tex" alt=" x \in [a;b] \mapsto \frac{1}{2} " src="../../../../math/e/7/8/e78bdb5c4b8267efbee03b23a2b978ee.png" /> est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite <img class="tex" alt="(P_n)_{n \in \mathbb{N}} " src="../../../../math/e/6/5/e65cba5d7961a64f60c8edde22659209.png" /> de polynômes par&#160;:</p>
<center><span class="texhtml"><i>P</i><sub>0</sub> = <i>X</i>,<i>P</i><sub><i>n</i> + 1</sub> = 2(1 − <i>P</i><sub><i>n</i></sub>)<i>P</i><sub><i>n</i></sub></span></center>
<p>Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes&#160;: en effet, les applications continues de <span class="texhtml">[<i>a</i>;<i>b</i>]</span> dans <img class="tex" alt="\mathbb{R}" src="../../../../math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" /> muni de la norme uniforme forment une algèbre sur <img class="tex" alt="\mathbb{R}" src="../../../../math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" /> que l'on note <img class="tex" alt="\mathcal{C}" src="../../../../math/9/8/c/98c20e34c90ebe87fa78ddb2b83977fd.png" />. L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers <img class="tex" alt="\overline{\mathbb{Z}[X]}" src="../../../../math/5/8/a/58ab2d64250cf0d959ad8d0692d66dac.png" /> est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un <a href="../../../../articles/f/r/a/Fraction_dyadique.html" title="Fraction dyadique">nombre dyadique</a>.</p>
<p>Mais les nombres dyadiques sont denses dans <img class="tex" alt="\mathbb{R}" src="../../../../math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" />, donc <img class="tex" alt="\overline{\mathbb{Z}[X]}" src="../../../../math/5/8/a/58ab2d64250cf0d959ad8d0692d66dac.png" /> contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient <span class="texhtml"><i>X</i></span> et <img class="tex" alt="\mathbb{R}" src="../../../../math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" />, elle contient donc <img class="tex" alt="\mathbb{R}[X]" src="../../../../math/5/e/1/5e11093b37fd30fbaa413f6bdf9647c4.png" />, et a fortiori <img class="tex" alt="\overline{\mathbb{R}[X]}" src="../../../../math/8/2/1/821aaa20231d6bab752375a3408697cb.png" />. Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que <img class="tex" alt="\overline{\mathbb{R}[X]} = \mathcal{C}" src="../../../../math/4/9/6/4962843329e0947380500f776be4b65b.png" />.</p>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>


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	    <div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a>&nbsp;:&#32;<span dir='ltr'><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Cat%C3%A9gorie%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_math%C3%A9matiques_4fd9.html" title="Catégorie:Théorème de mathématiques">Théorème de mathématiques</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/a/n/a/Cat%C3%A9gorie%7EAnalyse_fonctionnelle_3c6f.html" title="Catégorie:Analyse fonctionnelle">Analyse fonctionnelle</a></span></div></div></div>	    <!-- end content -->
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	  	  	  <li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 16 mai 2006 à 14:39 par Utilisateur <a href="../../../../articles/b/a/d/Utilisateur%7EBadmood_4dbf.html" title="Utilisateur:Badmood">Badmood</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/p/e/p/Utilisateur%7EPeps_4ead.html" title="Utilisateur:Peps">Peps</a>, <a href="../../../../articles/c/h/a/Utilisateur%7ECharles_Dyon_562e.html" title="Utilisateur:Charles Dyon">Charles Dyon</a> et <a href="../../../../articles/p/h/i/Utilisateur%7EPhilippe%25_0c2f.html" title="Utilisateur:Philippe%">Philippe%</a> et Utilisateur(s) non enregistré(s) de Wikipédia.</li>	  <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
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