Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème de Cantor - Wikipédia</title>
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<h1 class="firstHeading">Théorème de Cantor</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
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<p>Le <b>théorème de Cantor</b> est un théorème mathématique, dans le domaine de la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_ensembles.html" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a>. Il énonce que le <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_cardinal.html" title="Nombre cardinal">cardinal</a> d'un ensemble <i>E</i> est toujours <i>strictement inférieur</i> au cardinal de l'<a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble_des_parties.html" class="mw-redirect" title="Ensemble des parties">ensemble des ses parties</a> <i>P</i>(<i>E</i>), c'est-à-dire essentiellement qu'il n'existe pas de <a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Bijection">bijection</a> entre <i>E</i> et <i>P</i>(<i>E</i>).</p>
<p>Le théorème a été démontré en 1891 par <a href="../../../../articles/g/e/o/Georg_Cantor_a504.html" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a>, à l'aide d'un raisonnement astucieux mais simple, l'<a href="../../../../articles/a/r/g/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor_12de.html" title="Argument de la diagonale de Cantor">argument diagonal</a>.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Les_ensembles_finis"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Les ensembles finis</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Cas général</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Cons.C3.A9quences_du_th.C3.A9or.C3.A8me"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Conséquences du théorème</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Historique"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Historique</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Bibliographie"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Bibliographie</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
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<p><a name="Les_ensembles_finis" id="Les_ensembles_finis"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor_66bb.html" title="Modifier la section : Les ensembles finis">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Les ensembles finis</span></h2>
<p>Le résultat est connu de longue date pour les <a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble_fini.html" title="Ensemble fini">ensembles finis</a>. En effet supposons que <i>E</i> possède <i>n</i> éléments, on démontre facilement que l'ensemble des parties de <i>E</i> contient 2<sup><i>n</i></sup> éléments. Il est alors aisé de vérifier que, pour tout entier <i>n</i>, <i>n</i> < 2<sup><i>n</i></sup>, et on sait alors — c'est le <a href="../../../../articles/p/r/i/Principe_des_tiroirs.html" title="Principe des tiroirs">principe des tiroirs</a> — qu'il n'existe pas d'<a href="../../../../articles/i/n/j/Injection_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Injection (mathématiques)">injection</a> de <i>P</i>(<i>E</i>) dans <i>E</i> (donc encore moins de bijection). L'argument de Cantor qui suit est cependant tout à fait valable également pour les ensembles finis.</p>
<p><a name="Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral" id="Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor_66bb.html" title="Modifier la section : Cas général">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Cas général</span></h2>
<p>On se contente pour ce théorème d'une approche de la cardinalité, en particulier des <a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble_infini.html" title="Ensemble infini">ensembles infinis</a>, par l'<a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quipotence.html" title="Équipotence">équipotence</a>. Dire d'un ensemble <i>A</i> qu'il a un cardinal strictement inférieur à celui d'un ensemble <i>B</i>, c'est dire qu'il existe une <a href="../../../../articles/i/n/j/Injection_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Injection (mathématiques)">injection</a> de <i>A</i> dans <i>B</i>, mais pas de <a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Bijection">bijection</a> entre ces deux ensembles. De façon équivalente (par le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Théorème de Cantor-Bernstein">théorème de Cantor-Bernstein</a>), c'est également dire qu'il existe une injection de <i>A</i> dans <i>B</i> mais pas d'injection de <i>B</i> dans <i>A</i>. L'existence d'une injection de <i>E</i> dans <i>P</i>(<i>E</i>) est immédiate (associer à un élément son singleton).</p>
<p>Pour montrer qu'il n'existe pas de bijection, l'argument de Cantor est le suivant. Soit <i>f</i> une application d'un <a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble.html" title="Ensemble">ensemble</a> <i>E</i> dans son ensemble des parties <i>P</i>(<i>E</i>). Alors le sous-ensemble des éléments de <i>E</i> qui n'appartiennent pas à leur image par <i>f</i> :</p>
<center><i>D</i>={<i>x</i> ∈ <i>E</i> | <i>x</i> ∉ f(<i>x</i>)}</center>
<p>n'appartient pas à l'image de <i>f</i>. On le déduit par un <a href="../../../../articles/r/a/i/Raisonnement_par_l%27absurde.html" title="Raisonnement par l'absurde">raisonnement par l'absurde</a>. S'il était l'image d'un élément <i>y</i> de <i>E</i>, soit <i>D</i>=<i>f</i>(<i>y</i>), alors :</p>
<ul>
<li>si <i>y</i> est dans <i>D</i>, par construction de <i>D</i>, <i>y</i> n'appartient pas à son image ... c'est-à-dire que <i>y</i> n'appartient pas à <i>D</i>.</li>
<li>si <i>y</i> n'est pas dans <i>D</i>, toujours d'après la construction de <i>D</i>, <i>y</i> doit appartenir à son image ... c'est-à-dire à <i>D</i>.</li>
</ul>
<p>Les deux hypothèses mènent bien à une contradiction.</p>
<p>On a donc montré qu'aucune fonction de <i>E</i> dans <i>P</i>(<i>E</i>) n'est <a href="../../../../articles/s/u/r/Surjective.html" class="mw-redirect" title="Surjective">surjective</a>, et a fortiori bijective.</p>
<p>Comme on a montré qu'il n'existe pas de surjection de <i>E</i> dans <i>P</i>(<i>E</i>) (et pas simplement qu'il n'existe pas de bijection), on peut en déduire plus directement que par le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Théorème de Cantor-Bernstein">théorème de Cantor-Bernstein</a> qu'il n'existe pas d'injection de <i>P</i>(<i>E</i>) dans <i>E</i>. En effet s'il en existait une, soit <i>g</i>, on construirait une surjection de <i>E</i> dans <i>P</i>(<i>E</i>) en associant à chaque élément de <i>E</i> son unique antécédent par <i>g</i> s'il existe, et l'ensemble vide (qui appartient toujours à <i>P</i>(<i>E</i>)) sinon.</p>
<p>Ce type de raisonnement, que l'on appelle <a href="../../../../articles/a/r/g/Argument_diagonal.html" title="Argument diagonal">argument diagonal</a>, a été utilisé sous une forme très proche par <a href="../../../../articles/b/e/r/Bertrand_Russell_85bc.html" title="Bertrand Russell">Russell</a> (et <a href="../../../../articles/e/r/n/Ernst_Zermelo_6d7d.html" title="Ernst Zermelo">Zermelo</a>) pour le <a href="../../../../articles/p/a/r/Paradoxe_de_Russell_fb48.html" title="Paradoxe de Russell">paradoxe</a> de l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas.</p>
<p><a name="Cons.C3.A9quences_du_th.C3.A9or.C3.A8me" id="Cons.C3.A9quences_du_th.C3.A9or.C3.A8me"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor_66bb.html" title="Modifier la section : Conséquences du théorème">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Conséquences du théorème</span></h2>
<p>On déduit directement du théorème de Cantor qu'il n'existe pas de plus grand cardinal, au sens de la subpotence. En présence de l'<a href="../../../../articles/a/x/i/Axiome_du_choix.html" title="Axiome du choix">axiome du choix</a>, <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Zermelo_3504.html" title="Théorème de Zermelo">tout ensemble est bien ordonné</a>, et donc le théorème de Cantor montre qu'il n'y a pas de plus grand <a href="../../../../articles/a/l/e/Aleph_%28nombre%29.html" title="Aleph (nombre)">aleph</a> (ni de plus grand ordinal). cependant il existe une autre méthode pour montrer ce résultat, l'<a href="../../../../articles/a/l/e/Aleph_%28nombre%29.html" title="Aleph (nombre)">ordinal de Hartogs</a> d'un ensemble quelconque (bien ordonné ou non) est de cardinal strictement supérieur à celui de l'ensemble initial. Quand l'ensemble de départ est celui des entiers naturels <b>N</b>, la coïncidence entre ces deux méthodes est l'<a href="../../../../articles/h/y/p/Hypoth%C3%A8se_du_continu.html" title="Hypothèse du continu">hypothèse du continu</a> due au même Cantor. Plus précisément on montre que l'ensemble des ordinaux au plus dénombrables a également un cardinal strictement supérieur à celui de <b>N</b> (résultat dû à Cantor). L'<a href="../../../../articles/h/y/p/Hypoth%C3%A8se_du_continu.html" title="Hypothèse du continu">hypothèse du continu</a> est alors que ce cardinal est celui de l'ensemble des parties de <b>N</b>.</p>
<p><a name="Historique" id="Historique"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor_66bb.html" title="Modifier la section : Historique">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Historique</span></h2>
<p>Cantor démontre ce résultat en 1891, pour l'ensemble des <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_caract%C3%A9ristique.html" title="Fonction caractéristique">fonctions caractéristiques</a> de <b>N</b> (ensemble des entiers naturels), puis pour l'ensemble des <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_caract%C3%A9ristique.html" title="Fonction caractéristique">fonctions caractéristiques</a> de l'intervalle des réels entre 0 et 1. Il affirme cependant que le résultat se généralise à n'importe quel ensemble, ce que permet sans ambiguïté sa méthode.</p>
<p><br /></p>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor_66bb.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Théorème de Cantor-Bernstein">Théorème de Cantor-Bernstein</a></li>
</ul>
<p><a name="Bibliographie" id="Bibliographie"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor_66bb.html" title="Modifier la section : Bibliographie">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bibliographie</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/g/e/o/Georg_Cantor_a504.html" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> (1891) <i>Über eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre</i>, Jahresericht der Deutsch. Math.Vereing., Vol. I, pp 75-78 (1890-1891). Repris dans le volume ci-dessous (voir sur le centre de numérisation de Göttingen <a href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=49471" class="external autonumber" title="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=49471" rel="nofollow">[1]</a>)</li>
<li><a href="../../../../articles/g/e/o/Georg_Cantor_a504.html" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> (1932) – <i>Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts</i>. éd. par <a href="../../../../articles/e/r/n/Ernst_Zermelo_6d7d.html" title="Ernst Zermelo">Ernst Zermelo</a>.</li>
</ul>
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<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
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