Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème de Cantor-Bernstein - Wikipédia</title>
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<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème de Cantor-Bernstein</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>Le <b>théorème de Cantor-Bernstein</b>, également appelé <b>théorème de Cantor-Schröder-Bernstein</b>, est un <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me.html" title="Théorème">théorème</a> de la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_axiomatique_des_ensembles.html" title="Théorie axiomatique des ensembles">théorie axiomatique des ensembles</a>. Il est nommé en l'honneur des mathématiciens <a href="../../../../articles/g/e/o/Georg_Cantor_a504.html" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a>, <a href="../../../../articles/f/e/l/Felix_Bernstein_2d33.html" title="Felix Bernstein">Felix Bernstein</a> et <a href="../../../../articles/e/r/n/Ernst_Schr%C3%B6der_24c9.html" title="Ernst Schröder">Ernst Schröder</a>. Cantor en donna une première démonstration, mais qui utilisait implicitement l'<a href="../../../../articles/a/x/i/Axiome_du_choix.html" title="Axiome du choix">axiome du choix</a>. Bernstein et Schröder en donnèrent des démonstrations qui ne dépendaient pas de cet axiome.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#.C3.89nonc.C3.A9"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Énoncé</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9monstration_n.C2.B01"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Démonstration n°1</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Lemme_pr.C3.A9liminaire"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Lemme préliminaire</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Interpr.C3.A9tation"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Interprétation</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#D.C3.A9monstration_finale_du_th.C3.A9or.C3.A8me"><span class="tocnumber">2.3</span> <span class="toctext">Démonstration finale du théorème</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9monstration_n.C2.B02"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Démonstration n°2</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Un_lemme_pr.C3.A9liminaire"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">Un lemme préliminaire</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#D.C3.A9monstration_finale"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">Démonstration finale</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9monstration_n.C2.B0_3"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Démonstration n° 3</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Applications"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Applications</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#G.C3.A9n.C3.A9ralisation"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Généralisation</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">6.1</span> <span class="toctext">Références</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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//<![CDATA[
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//]]>
</script>
<p><a name=".C3.89nonc.C3.A9"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Énoncé">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Énoncé</span></h2>
<p>S'il existe une <a href="../../../../articles/i/n/j/Injection_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Injection (mathématiques)">injection</a> <span class="texhtml"><i>f</i></span> d'un ensemble <span class="texhtml"><i>E</i></span> vers un ensemble <span class="texhtml"><i>F</i></span>, et une injection <span class="texhtml"><i>g</i></span> de l'ensemble <span class="texhtml"><i>F</i></span> vers l'ensemble <span class="texhtml"><i>E</i></span>, alors il existe une <a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Bijection">bijection</a> <span class="texhtml"><i>h</i></span> de <span class="texhtml"><i>E</i></span> sur <span class="texhtml"><i>F</i></span>.</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\left\{\begin{matrix}\exist f \in F^E \;{\rm injective} \\ \exist g \in E^F \;{\rm injective} \end{matrix} \right. \Rightarrow \exist h \in F^E \;{\rm bijective}" src="../../../../math/5/b/1/5b136f4df4af17cf3552a48346faca18.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="D.C3.A9monstration_n.C2.B01" id="D.C3.A9monstration_n.C2.B01"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Démonstration n°1">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration n°1</span></h2>
<p><a name="Lemme_pr.C3.A9liminaire" id="Lemme_pr.C3.A9liminaire"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Lemme préliminaire">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Lemme préliminaire</span></h3>
<p>Commençons par montrer que si <span class="texhtml"><i>u</i></span> est une application injective d'un ensemble <span class="texhtml"><i>A</i></span> vers un ensemble <span class="texhtml"><i>B</i></span> avec <img class="tex" alt="B \subset A" src="../../../../math/0/a/7/0a70f41eec6ef59ba020f000ba67c6fc.png" />, alors il existe une bijection <span class="texhtml"><i>v</i></span> de <span class="texhtml"><i>A</i></span> sur <span class="texhtml"><i>B</i></span>.</p>
<div class="floatright"><span><a href="../../../../articles/c/a/n/Image%7ECantor1.png_0db7.html" class="image" title="Théorème de Cantor-Bernstein."><img alt="Théorème de Cantor-Bernstein." src="../../../../images/local/thumb/c/c3/Cantor1.png/300px-Cantor1.png" width="300" height="335" border="0" /></a></span></div>
<p>Soit <img class="tex" alt="(C_n)_{n \in \mathbb N}" src="../../../../math/1/7/a/17aa5202934bc5c5b4e9bc47a4462558.png" /> la suite définie par :</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\left\{\begin{matrix} C_0 = A - B \\ \forall n \in \mathbb{N}^*, C_n = u( C_{n-1} ) \end{matrix} \right." src="../../../../math/7/8/1/781d8203195494cefa5b2d164ebce5a5.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Soit <span class="texhtml"><i>C</i></span> la réunion de tous les ensembles <img class="tex" alt="(C_n)_{n \in \mathbb N}" src="../../../../math/1/7/a/17aa5202934bc5c5b4e9bc47a4462558.png" /> : <img class="tex" alt="C=\bigcup_{n \in \mathbb N}C_n" src="../../../../math/6/a/e/6aee1fdeb2578deed3e077e2b44c5d2a.png" /></p>
<p>Soit alors <span class="texhtml"><i>v</i></span> l'application de <span class="texhtml"><i>A</i></span> dans <span class="texhtml"><i>B</i></span> défini par :</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\begin{matrix}v: & x \in C & \mapsto & u(x)\\ & x \notin C& \mapsto & x \end{matrix}" src="../../../../math/d/a/7/da797db5d967987b6be400fd0b2e17ed.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p><span class="texhtml"><i>v</i></span> est bien défini à valeurs dans <span class="texhtml"><i>B</i></span>, car <span class="texhtml"><i>u</i></span> est à valeur dans <span class="texhtml"><i>B</i></span>, et si <img class="tex" alt="x \notin C" src="../../../../math/3/e/8/3e87b4c9272852e130c6d640c65e940f.png" /> alors <img class="tex" alt="x \notin C_0" src="../../../../math/d/d/d/ddd5ad1309b7ebc9b3a71e5005e5a3c0.png" /> et donc <img class="tex" alt="x \in B" src="../../../../math/9/b/2/9b2102f29c32460898719035b4d830da.png" />.</p>
<p>Montrons que <i>v</i> est injective. Soient alors <span class="texhtml"><i>x</i></span> et <span class="texhtml"><i>y</i></span> deux éléments de <span class="texhtml"><i>A</i></span> tel que <span class="texhtml"><i>v</i>(<i>x</i>) = <i>v</i>(<i>y</i>)</span></p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd>
<ul>
<li>Supposons que <img class="tex" alt="x \in C" src="../../../../math/7/1/e/71e2d1d76963d7609a1844748ec9c174.png" /> et <img class="tex" alt="y \notin C" src="../../../../math/d/6/a/d6a3c983213309cafd5355e77dbe42d8.png" />.</li>
</ul>
<dl>
<dd>Alors <img class="tex" alt="v(x) \in C" src="../../../../math/c/8/c/c8c8bcdcb83e71d4c2ed40cf2a59467a.png" /> (car <span class="texhtml"><i>C</i></span> est stable par <span class="texhtml"><i>v</i></span>) et <img class="tex" alt="y=v(y) \notin C" src="../../../../math/0/a/f/0af9d28e53716cdd049a6b28857c4e38.png" />. Or <span class="texhtml"><i>v</i>(<i>x</i>) = <i>v</i>(<i>y</i>)</span> ce qui est absurde.</dd>
</dl>
<ul>
<li>Supposons que <img class="tex" alt="x \in C" src="../../../../math/7/1/e/71e2d1d76963d7609a1844748ec9c174.png" /> et <img class="tex" alt="y \in C" src="../../../../math/5/2/1/521b32168a57227d462f7a4aa6f3fc8f.png" />.</li>
</ul>
<dl>
<dd>Alors <span class="texhtml"><i>v</i>(<i>x</i>) = <i>u</i>(<i>x</i>) = <i>v</i>(<i>y</i>) = <i>u</i>(<i>y</i>)</span>. Comme <span class="texhtml"><i>u</i></span> est injective <span class="texhtml"><i>x</i> = <i>y</i></span>.</dd>
</dl>
<ul>
<li>Supposons que <img class="tex" alt="x \notin C" src="../../../../math/3/e/8/3e87b4c9272852e130c6d640c65e940f.png" /> et <img class="tex" alt="y \notin C" src="../../../../math/d/6/a/d6a3c983213309cafd5355e77dbe42d8.png" />.</li>
</ul>
<dl>
<dd>Alors <span class="texhtml"><i>x</i> = <i>y</i> = <i>v</i>(<i>x</i>) = <i>v</i>(<i>y</i>)</span></dd>
</dl>
</dd>
<dd>Dans tous les cas <span class="texhtml"><i>x</i> = <i>y</i></span>, donc <span class="texhtml"><i>v</i></span> est injective.</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Montrons que <i>v</i> est surjective. Soit <img class="tex" alt="y \in B" src="../../../../math/4/a/7/4a76be6315789972cddf72427b5baad0.png" />. Montrons qu'il existe un <img class="tex" alt="x \in A" src="../../../../math/3/3/8/3380195a8703c35a0552323381e606ef.png" /> tel que <span class="texhtml"><i>v</i>(<i>x</i>) = <i>y</i></span>.</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd>
<ul>
<li>Si <img class="tex" alt="y \in C" src="../../../../math/5/2/1/521b32168a57227d462f7a4aa6f3fc8f.png" /></li>
</ul>
<dl>
<dd>alors il existe <img class="tex" alt="i \in \mathbb{N}^*" src="../../../../math/6/0/b/60b56c97d1256f9cb9ec94fdcf433f1b.png" /> tel que <img class="tex" alt="y \in C_i" src="../../../../math/c/0/e/c0e899edbcbea046a1775908e9604a50.png" />. (<i>i</i> est strictement positif car <img class="tex" alt="y \in B" src="../../../../math/4/a/7/4a76be6315789972cddf72427b5baad0.png" />, donc <img class="tex" alt="y \notin C_0" src="../../../../math/b/1/c/b1c5ff777e161930727a54bfe7ef817d.png" />).</dd>
<dd>Il existe donc <img class="tex" alt="x \in C_{i-1} \subset C" src="../../../../math/5/9/0/59057563e86385943ab6e6d2efe03aa9.png" /> tel que <span class="texhtml"><i>u</i>(<i>x</i>) = <i>v</i>(<i>x</i>) = <i>y</i></span>.</dd>
</dl>
<ul>
<li>Si <img class="tex" alt="y \notin C" src="../../../../math/d/6/a/d6a3c983213309cafd5355e77dbe42d8.png" /></li>
</ul>
<dl>
<dd>alors <span class="texhtml"><i>v</i>(<i>y</i>) = <i>y</i></span></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Donc <span class="texhtml"><i>v</i></span> est bijective. Ce qui démontre la première proposition.</p>
<p><a name="Interpr.C3.A9tation" id="Interpr.C3.A9tation"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Interprétation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Interprétation</span></h3>
<p>On peut donner une interprétation concrète du résultat montré ci-dessus. A est l'ensemble (infini !!) des spectateurs d'un théâtre (infini). Chaque spectateur a réservé une place, et initialement, on suppose que chaque place est occupée par un spectateur, mais pas forcément par le spectateur qui a réservé cette place. B est alors l'ensemble des spectateurs assis. Par ailleurs, les ensembles étant infinis, il peut rester des spectateurs debout. L'application <i>u</i> est l'application qui, à un spectateur <i>x</i> associe le spectateur <i>y</i> = <i>u</i>(<i>x</i>) assis à la place de <i>x</i>.</p>
<p><span class="texhtml"><i>C</i><sub>0</sub></span> est l'ensemble des spectateurs initialement debout. Ces spectateurs se rendent à leur place et délogent leur occupant. Ceux-ci forment alors l'ensemble <span class="texhtml"><i>C</i><sub>1</sub></span>. Ces derniers procèdent de même. <span class="texhtml"><i>C</i><sub><i>n</i></sub></span> désigne les spectateurs debout à la <i>n</i>-ème étape. Ils vont aux places qu'ils ont réservé et en chassent leurs occupants. On itère une infinité de fois. C désigne l'ensemble des spectateurs qui se sont levés au moins une fois (y compris ceux qui étaient debout initialement).</p>
<p>L'application <i>v</i> désigne l'application, qui, à un spectateur <i>x</i> qui doit se lever, associe le spectateur <i>y</i> qu'il va déloger, ou bien qui, à un spectateur <i>x</i> qui reste toujours assis, associe <i>x</i> lui-même. L'application réciproque de <i>v</i> est l'application, qui, à un spectateur <i>y</i> qui est dérangé, associe le spectateur <i>x</i> qui vient prendre sa place, ou bien qui, à un spectateur <i>y</i> jamais dérangé, associe <i>y</i> lui-même.</p>
<p><a name="D.C3.A9monstration_finale_du_th.C3.A9or.C3.A8me" id="D.C3.A9monstration_finale_du_th.C3.A9or.C3.A8me"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Démonstration finale du théorème">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration finale du théorème</span></h3>
<p>Montrons alors le théorème initial.</p>
<p>Soit <span class="texhtml"><i>B</i> = <i>g</i>(<i>F</i>)</span> l'image de <span class="texhtml"><i>F</i></span> par l'application <span class="texhtml"><i>g</i></span> injective. L'application <img class="tex" alt="u= g \circ f" src="../../../../math/c/2/2/c229809c7703b3765371849c8be861e8.png" /> est une application injective de <span class="texhtml"><i>E</i></span> dans <span class="texhtml"><i>B</i></span>, avec <img class="tex" alt="B \subset E" src="../../../../math/3/6/9/36998ae19596c222508a3091f432e30a.png" />. Donc il existe une application bijective <span class="texhtml"><i>v</i></span> de <span class="texhtml"><i>E</i></span> sur <span class="texhtml"><i>B</i></span>. Comme <span class="texhtml"><i>g</i></span> est une injection, la restriction de <span class="texhtml"><i>g</i></span> à son image pour espace d'arrivée est une bijection de <span class="texhtml"><i>F</i></span> sur <span class="texhtml"><i>B</i></span>. Donc la composée <img class="tex" alt="g^{-1} \circ v" src="../../../../math/2/f/3/2f3173119d71a990c61c5a515f726715.png" /> est une bijection de <span class="texhtml"><i>E</i></span> sur <span class="texhtml"><i>F</i></span>, ce qui démontre le théorème de Cantor-Bernstein.</p>
<p><a name="D.C3.A9monstration_n.C2.B02" id="D.C3.A9monstration_n.C2.B02"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Démonstration n°2">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration n°2</span></h2>
<p><a name="Un_lemme_pr.C3.A9liminaire" id="Un_lemme_pr.C3.A9liminaire"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Un lemme préliminaire">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Un lemme préliminaire</span></h3>
<p>Cette démonstration repose sur le lemme suivant, cas particulier du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Knaster-Tarski_8965.html" title="Théorème de Knaster-Tarski">théorème de Knaster-Tarski</a>. Soit <span class="texhtml"><i>E</i></span> un ensemble et <img class="tex" alt="G : \mathfrak P(E) \to \mathfrak P(E)" src="../../../../math/1/0/e/10e1cff35421aa8c6480b1c6be440aa9.png" /> (où <img class="tex" alt="\mathfrak P(E)" src="../../../../math/e/1/9/e197c37b1ad67ba5978877090040961b.png" /> est l'ensemble des parties de <span class="texhtml"><i>E</i></span>) une application croissante, i.e. <img class="tex" alt="A \subset B \Longrightarrow G(A) \subset G(B)" src="../../../../math/c/8/3/c83768092f376a963a8d6f024874df35.png" />. Alors <span class="texhtml"><i>G</i></span> admet un point fixe, i.e. <img class="tex" alt="\exists M, G(M) = M" src="../../../../math/5/9/e/59ec446593eab1895631adc5f1fe10a4.png" />.</p>
<p>En effet, posons <img class="tex" alt="S = \{A \;|\; A \subset G(A)\}" src="../../../../math/e/5/f/e5f77086ee53a185e5c0213f73f9f544.png" /> et <img class="tex" alt="M = \cup_{A \in S} A" src="../../../../math/b/d/2/bd2f253014f36f89246501ef45c27ec8.png" />. Alors :</p>
<ul>
<li>pour tout <img class="tex" alt="A \in S" src="../../../../math/6/2/8/628f022b1686bd5cdd890ee7a965776d.png" />, d'une part <img class="tex" alt="A \subset G(A)" src="../../../../math/9/3/8/93871ee1230c97899592f908c8dfb028.png" />, d'autre part <img class="tex" alt="A \subset M \Longrightarrow G(A) \subset G(M)" src="../../../../math/0/0/9/009098bb99035b9a4aabdb707acb707f.png" /> car <span class="texhtml"><i>G</i></span> est croissante. Donc <img class="tex" alt="M = \cup_{A \in S} A \subset \cup_{A \in S} G(A) \subset G(M)" src="../../../../math/8/4/8/8485477856dda86e2517a04c25ca7ce9.png" /> et donc <img class="tex" alt="M \in S" src="../../../../math/d/3/f/d3f8629b2290bfd324ebb3d18161a0fb.png" />. <span class="texhtml"><i>M</i></span> est donc la partie maximale de <span class="texhtml"><i>S</i></span></li>
</ul>
<ul>
<li><img class="tex" alt="M \subset G(M)" src="../../../../math/8/1/5/8152b88e68bdc0bcf04f938f7916c1ef.png" /> donc <img class="tex" alt="G(M) \subset G(G(M))" src="../../../../math/4/0/d/40da1d304f3a683e882d6ed368045b58.png" /> car <span class="texhtml"><i>G</i></span> est croissante. Donc <img class="tex" alt="G(M) \in S" src="../../../../math/4/f/3/4f3acda1f356b0b2f89b90a72eb0f7ec.png" /> donc <img class="tex" alt="G(M) \subset M" src="../../../../math/6/4/6/646ddbd5f960ed72980ec023bae50124.png" /> compte tenu de la maximalité de <span class="texhtml"><i>M</i></span> comme élément de <span class="texhtml"><i>S</i></span>. On a donc bien <span class="texhtml"><i>G</i>(<i>M</i>) = <i>M</i></span></li>
</ul>
<p><a name="D.C3.A9monstration_finale" id="D.C3.A9monstration_finale"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Démonstration finale">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration finale</span></h3>
<p>Soient maintenant <span class="texhtml"><i>f</i></span> injective de <span class="texhtml"><i>E</i></span> dans <span class="texhtml"><i>F</i></span> et <span class="texhtml"><i>g</i></span> injective de <span class="texhtml"><i>F</i></span> dans <span class="texhtml"><i>E</i></span>. Pour toute partie <span class="texhtml"><i>A</i></span> de <span class="texhtml"><i>E</i></span>, on pose <span class="texhtml"><i>G</i>(<i>A</i>) = <i>E</i> − <i>g</i>(<i>F</i> − <i>f</i>(<i>A</i>))</span>. On calcule <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>A</i>)</span> ensemble des images des éléments de <span class="texhtml"><i>A</i></span> par <span class="texhtml"><i>f</i></span>, on en prend le <a href="../../../../articles/c/o/m/Compl%C3%A9mentaire_%28th%C3%A9orie_des_ensembles%29.html" title="Complémentaire (théorie des ensembles)">complémentaire</a> dans <span class="texhtml"><i>F</i></span>, on prend l'ensemble <span class="texhtml"><i>g</i>(<i>F</i> − <i>f</i>(<i>A</i>))</span> des images des éléments de cette partie par <span class="texhtml"><i>g</i></span> et on prend le complémentaire dans <span class="texhtml"><i>E</i></span>. Il n'est pas difficile de vérifier que <span class="texhtml"><i>G</i></span> est croissante.</p>
<p>On introduit alors la partie <span class="texhtml"><i>M</i></span> du lemme préliminaire. Cette partie est invariante par <span class="texhtml"><i>G</i></span> ce qui signifie que <span class="texhtml"><i>g</i>(<i>F</i> − <i>f</i>(<i>M</i>))</span> est exactement le complémentaire de <span class="texhtml"><i>M</i></span> dans <span class="texhtml"><i>E</i></span>.</p>
<div class="center">
<div class="floatnone"><span><a href="../../../../articles/c/a/n/Image%7ECantor3.png_74b1.html" class="image" title="Théorème de Cantor-Bernstein."><img alt="Théorème de Cantor-Bernstein." src="../../../../images/local/thumb/d/d7/Cantor3.png/400px-Cantor3.png" width="400" height="224" border="0" /></a></span></div>
</div>
<p>On pose :</p>
<dl>
<dd>si <img class="tex" alt="x \in M, \phi(x) = f(x)" src="../../../../math/2/b/8/2b895626a526732c03c6059a29c77a47.png" /></dd>
<dd>si <img class="tex" alt="x \notin M, \phi(x) = g^{-1}(x)" src="../../../../math/5/3/4/5344b59660db11ce8c21339e446344b7.png" /></dd>
</dl>
<p><span class="texhtml">φ</span> est bijective de <span class="texhtml"><i>E</i></span> dans <span class="texhtml"><i>F</i></span>.</p>
<p><span class="texhtml"><i>M</i></span> joue un rôle comparable à la partie <span class="texhtml"><i>C</i></span> dans la première démonstration ou à <img class="tex" alt="E_p \cup E_{\infty}" src="../../../../math/c/6/3/c6315a875f668e6921d6b1f53102c29a.png" /> dans la démonstration qui suit.</p>
<p><a name="D.C3.A9monstration_n.C2.B0_3" id="D.C3.A9monstration_n.C2.B0_3"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Démonstration n° 3">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration n° 3</span></h2>
<p>Appelons ancêtres d'un élément <span class="texhtml"><i>x</i></span> de <span class="texhtml"><i>E</i></span> l'antécédent de <span class="texhtml"><i>x</i></span> par <span class="texhtml"><i>g</i></span> (s'il existe) puis l'antécédent de cet antécédent par <span class="texhtml"><i>f</i></span>, etc. Procédons de même pour les éléments de <span class="texhtml"><i>F</i></span>.</p>
<p>Notons <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>p</i></sub></span> (resp. <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>i</i></sub></span>) l'ensemble des éléments de <span class="texhtml"><i>E</i></span> ayant un nombre pair (resp. impair) d'ancêtres. <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>p</i></sub></span> n'est autre que la partie <span class="texhtml"><i>C</i></span> de la première démonstration. Notons <img class="tex" alt="E_\infty" src="../../../../math/a/b/e/abe4798f1345febbda2ba33a8843c7cf.png" /> l'ensemble des éléments de <span class="texhtml"><i>E</i></span> ayant un nombre infini d'ancêtres. <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>p</i></sub></span>, <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>i</i></sub></span> et <img class="tex" alt="E_\infty" src="../../../../math/a/b/e/abe4798f1345febbda2ba33a8843c7cf.png" /> forment une partition de <span class="texhtml"><i>E</i></span>. Définissons de même <span class="texhtml"><i>F</i><sub><i>p</i></sub></span>, <span class="texhtml"><i>F</i><sub><i>i</i></sub></span> et <img class="tex" alt="F_\infty" src="../../../../math/f/d/3/fd3f41635a36a60f1a29be57eb9fa4eb.png" />.</p>
<p><span class="texhtml"><i>f</i></span> est une bijection de <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>p</i></sub></span> sur <span class="texhtml"><i>F</i><sub><i>i</i></sub></span> et aussi de <img class="tex" alt="E_\infty" src="../../../../math/a/b/e/abe4798f1345febbda2ba33a8843c7cf.png" /> sur <img class="tex" alt="F_\infty" src="../../../../math/f/d/3/fd3f41635a36a60f1a29be57eb9fa4eb.png" />. <span class="texhtml"><i>g</i></span> est une bijection de <span class="texhtml"><i>F</i><sub><i>p</i></sub></span> sur <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>i</i></sub></span>, et sa réciproque est donc une bijection de <span class="texhtml"><i>E</i><sub><i>i</i></sub></span> sur <span class="texhtml"><i>F</i><sub><i>p</i></sub></span>.</p>
<div class="center">
<div class="floatnone"><span><a href="../../../../articles/c/a/n/Image%7ECantor2.png_efcb.html" class="image" title="Théorème de Cantor-Bernstein."><img alt="Théorème de Cantor-Bernstein." src="../../../../images/local/thumb/2/25/Cantor2.png/400px-Cantor2.png" width="400" height="224" border="0" /></a></span></div>
</div>
<p>On peut ainsi construire une bijection de <span class="texhtml"><i>E</i></span> sur <span class="texhtml"><i>F</i></span>.</p>
<p><a name="Applications" id="Applications"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Applications">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Applications</span></h2>
<p>Si l'on considère la technique <i>naïve</i> qu'a un enfant pour compter le nombre d'éléments d'un ensemble, cela revient quasiment toujours à associer chacun des élements à un autre d'un ensemble connu dont le nombre d'élements est connu.</p>
<p>Il peut s'agir soit d'associer chacun des éléments à compter avec l'un des doigts, soit d'associer chacun des éléments avec un nombre que l'on réciterait à haute voix (un, deux, trois, etc.), par exemple.</p>
<p>En clair, compter se fait naïvement en effectuant une bijection d'un ensemble dont la « dimension » est connue vers un autre dont la dimension est inconnue.</p>
<p>Ce théorème s'interprète alors comme disant : « Si je peux compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'élements ». Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis.</p>
<dl>
<dd><i>Si je peux compter un certain nombre de billes de mon sac de billes avec mes dix doigts, et qu'avec la totalité de mes billes, je peux les associer avec certains de mes doigts, alors j'ai exactement dix billes.</i></dd>
</dl>
<p>À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.</p>
<p><a name="G.C3.A9n.C3.A9ralisation" id="G.C3.A9n.C3.A9ralisation"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Généralisation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Généralisation</span></h2>
<p>Soit X un ensemble non vide et <img class="tex" alt="\sim" src="../../../../math/f/5/5/f55d4435e31a3e1d665905db4b6afe24.png" /> une <a href="../../../../articles/r/e/l/Relation_d%27%C3%A9quivalence.html" title="Relation d'équivalence">relation d'équivalence</a> sur l'<a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble_des_parties.html" class="mw-redirect" title="Ensemble des parties">ensemble des parties</a> de X. On suppose qu'elle vérifie les deux propriétés:</p>
<ul>
<li>si <span class="texhtml"><i>A</i>˜<i>B</i></span> alors il existe une bijection f de A dans B telle que, pour tout sous-ensemble C de A, <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>C</i>)˜<i>C</i></span>;</li>
<li>si <img class="tex" alt="A_{1} \cap A_{2}=B_{1} \cap B_{2}=\emptyset" src="../../../../math/3/2/2/32234215918ea816a1823ab2ba5a33e9.png" /> et <span class="texhtml"><i>A</i><sub>1</sub>˜<i>B</i><sub>1</sub></span> et <span class="texhtml"><i>A</i><sub>2</sub>˜<i>B</i><sub>2</sub></span> alors <img class="tex" alt="A_{1} \cup A_{2} \sim B_{1} \cup B_{2}" src="../../../../math/1/9/e/19ed168e8ab4af34cc35a4cab128366f.png" />.</li>
</ul>
<p>Soient deux ensembles A et B, un sous-ensemble <span class="texhtml"><i>A</i><sub>1</sub></span> de A et un sous-ensemble <span class="texhtml"><i>B</i><sub>1</sub></span> de B. On suppose que <span class="texhtml"><i>A</i>˜<i>B</i><sub>1</sub></span> et <span class="texhtml"><i>B</i>˜<i>A</i><sub>1</sub></span>. Alors <span class="texhtml"><i>A</i>˜<i>B</i></span>.</p>
<p>Ceci peut également être démontré sans l'<a href="../../../../articles/a/x/i/Axiome_du_choix.html" title="Axiome du choix">axiome du choix</a><sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Dans le cas particulier où <img class="tex" alt="X=E \cup F" src="../../../../math/d/3/9/d39f1da03778ede7abd4429e1fb72149.png" /> et <img class="tex" alt="\sim" src="../../../../math/f/5/5/f55d4435e31a3e1d665905db4b6afe24.png" /> est la relation d'<a href="../../../../articles/%C3%A9/q/u/%C3%89quipotence.html" title="Équipotence">équipotence</a>, on retrouve le résultat précédent.</p>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rences" id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Modifier la section : Références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Références</span></h3>
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
<li id="cite_note-0"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-0" title="">↑</a></span> Stan WAGON, <i>The Banach-Tarski Paradox</i>, Editions Cambridge University Press, <a href="../../../../articles/o/u/v/Special%7EOuvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence_0521457041_4eb6.html" class="internal">ISBN 0-521-45704-1</a></li>
</ol>
</div>
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