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    <title>Théorème de Beatty - Wikipédia</title>
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      <div id="column-content">
	<div id="content">
	  <a name="top" id="contentTop"></a>
	        <h1 class="firstHeading">Théorème de Beatty</h1>
	  <div id="bodyContent">
	    <h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
	    <div id="contentSub"></div>
	    	    	    <!-- start content -->
	    <p>Le <b>théorème de Beatty</b> est un théorème d'<a href="../../../../articles/a/r/i/Arithm%C3%A9tique.html" title="Arithmétique">arithmétique</a> publié en <a href="../../../../articles/1/9/2/1926.html" title="1926">1926</a> par le mathématicien canadien <a href="../../../../articles/s/a/m/Samuel_Beatty_7ca4.html" title="Samuel Beatty">Samuel Beatty</a> qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que deux suites pseudo-arithmétiques partitionnent <img class="tex" alt="\mathbb{N}^*" src="../../../../math/7/3/c/73c30610d389f8622e724f7fbd79c752.png" />.</p>
<p><a name=".C3.89nonc.C3.A9"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Beatty_f1be.html" title="Modifier la section&#160;: Énoncé">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Énoncé</span></h2>
<p>Il affirme l'équivalence des deux points suivants&#160;:</p>
<ul>
<li>Les nombres p et q sont positifs, irrationnels et vérifient <img class="tex" alt="\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1" src="../../../../math/9/a/1/9a13dabfadec5d62561e34f8a8fa4752.png" /></li>
<li>Les deux suites d'entiers <img class="tex" alt="P = (E(np))_{n \in \mathbb{N}^*}" src="../../../../math/8/7/a/87afd5ee2a593814266bd8e15fc8c3b2.png" /> et <img class="tex" alt="Q = (E(nq))_{n \in \mathbb{N}^*}" src="../../../../math/5/8/3/5832c4af71385e0b83d8b4fb363af1e1.png" /> forment une partition de l'ensemble <img class="tex" alt="\mathbb{N}^*" src="../../../../math/7/3/c/73c30610d389f8622e724f7fbd79c752.png" /></li>
</ul>
<p>Ici, la fonction E désigne la fonction <a href="../../../../articles/p/a/r/Partie_enti%C3%A8re.html" title="Partie entière">partie entière</a>. Ce résultat ne se généralise malheureusement pas&#160;: il est impossible de partitionner <img class="tex" alt="\mathbb{N}^*" src="../../../../math/7/3/c/73c30610d389f8622e724f7fbd79c752.png" /> avec plus de trois suites pseudo-arithmétiques.</p>
<p style="margin:0; padding:0; line-height:1em;"><br clear="all" style="margin:0; padding:0; clear:both; line-height:1em;" /></p>
<div style="margin-right:.5em;" align="left">
<div class="NavFrame" style="margin-top:0em; margin-bottom:0.5em; width:99%; border-style:solid; -moz-border-radius:0;border-color:#AAAAAA; background-color:#FFFFFF;" title="[ Dérouler ]">
<div class="NavHead" align="center" style="height:1.6em; background-color:#EFEFEF; color:black;">Démonstration</div>
<div class="NavContent" style="margin:0px; background:white; display:block; font-size:1em" align="left">
<p>On se donne p et q deux réels strictement positifs, tels que les suites P et Q forment une partition de <img class="tex" alt="\mathbb{N}^*" src="../../../../math/7/3/c/73c30610d389f8622e724f7fbd79c752.png" /></p>
<p>Le résultat devient assez intuitif si l'on introduit la densité d'une partie A de <img class="tex" alt="\mathbb{N}^*" src="../../../../math/7/3/c/73c30610d389f8622e724f7fbd79c752.png" />, c'est la limite - si elle existe - lorsque n tend vers <img class="tex" alt="+ \infty" src="../../../../math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" /> de <img class="tex" alt="\frac{\textrm{card}A \cap \{1, \dots, n\}}{n}" src="../../../../math/e/a/5/ea54bc4873a21813888006572dce0f3b.png" />. Par exemple, l'ensemble de nombres pairs (ou l'ensemble des nombres impairs) a une densité qui est 1/2, l'ensemble des nombres premiers a comme densité 0.</p>
<p>On voit facilement que les ensembles <img class="tex" alt="\{E(n\alpha), n \in \mathbb{N}^*\}" src="../../../../math/7/3/a/73a5db1440f4939c56d79a0b3ad8f9e9.png" /> où <span class="texhtml">α</span> est un réel positif ont comme densité <img class="tex" alt="\frac{1}{\alpha}" src="../../../../math/2/9/a/29a3a8ccfa1a556ddeed446ffd497eb4.png" />. Les supports des suites P et Q forment une partition de <img class="tex" alt="\mathbb{N}^*" src="../../../../math/7/3/c/73c30610d389f8622e724f7fbd79c752.png" />, donc la somme de leurs densités vaut 1&#160;:</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1" src="../../../../math/9/a/1/9a13dabfadec5d62561e34f8a8fa4752.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>De plus, p et q ne peuvent être tous les deux rationnels, car si c'est le cas <img class="tex" alt="p = \frac{a_1}{b_1}, q = \frac{a_2}{b_2}" src="../../../../math/9/e/a/9ea76dd779795f71e78cb330be95ca87.png" />, alors <span class="texhtml"><i>E</i>(<i>b</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>p</i>) = <i>E</i>(<i>b</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>1</sub><i>q</i>)( = <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>)</span>. Or les suites P et Q n'ont aucun élément en commun. L'un des deux est irrationnels, et par suite les deux sont irrationnels (car <span class="texhtml"><i>p</i> <sup>− 1</sup> + <i>q</i> <sup>− 1</sup> = 1</span>)</p>
<p>Réciproquement, si p et q sont irrationnels et <span class="texhtml"><i>p</i> <sup>− 1</sup> + <i>q</i> <sup>− 1</sup> = 1</span>, montrons par l'absurde que les supports des suites P et Q sont disjoints. Soit k un entier qui s'écrit sous la forme <span class="texhtml"><i>k</i> = <i>E</i>(<i>n</i><i>p</i>) = <i>E</i>(<i>m</i><i>q</i>)</span>.</p>
<p>Par définition de la partie entière, nous avons les inégalités suivantes&#160;:</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="k \leq np &lt; k + 1 \mbox{  et  } k \leq mq &lt; k + 1" src="../../../../math/a/b/d/abdd189974fc11bc3ab3482fe36b9f37.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Divisons la première inégalité par p, et la seconde par q&#160;:</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\frac{k}{p} \leq n &lt; \frac{k}{p} + \frac{1}{p} \mbox{  et  } \frac{k}{q} \leq m &lt; \frac{k}{q} + \frac{1}{q}" src="../../../../math/6/2/8/6284e1e22de06d0db464d8ec954529a5.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Sommons ces deux inégalités, on obtient&#160;:</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="k \leq n + m &lt; k + 1" src="../../../../math/c/d/9/cd9d36091afbc27e5a046e1ece1a1f63.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>k, n et m étant des entiers, ceci impose que <span class="texhtml"><i>k</i> = <i>n</i> + <i>m</i></span>. On a forcément égalité dans les deux inégalités précédentes. Donc k = np et k = mq. Ceci est absurde car p et q sont irrationnels.</p>
<p>Montrons maintenant que tout entier naturel non nul est atteint par l'une des deux suites. Soit <img class="tex" alt="n \geq 1" src="../../../../math/f/e/3/fe37f48a6bb040c06c5e7ccaac63bc66.png" /> et k = E(np). k est atteint par la suite P, donc pas par la suite Q, il existe un unique entier m tel que&#160;:</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><span class="texhtml"><i>E</i>(<i>m</i><i>q</i>) &lt; <i>k</i> &lt; <i>E</i>((<i>m</i> + 1)<i>q</i>)</span></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>En fait, l'entier E(mq) est le plus grand entier de la suite Q inférieur à k. Les applications <img class="tex" alt="r \mapsto E(rp)" src="../../../../math/0/4/d/04d5e181909dab3a5540f8228090b821.png" /> et <img class="tex" alt="r \mapsto E(rq)" src="../../../../math/e/f/0/ef09355554ba00c52e00105ad461795c.png" /> sont injectives car p et q sont plus grands que 1. L'intervalle <img class="tex" alt="\{1, \dots, k\}" src="../../../../math/9/7/2/972ba117f14ec92d713935b902f02920.png" /> contient donc <span class="texhtml"><i>m</i> + <i>n</i></span> éléments des suites P et Q (car ces deux suites ont des supports disjoints). Il suffit de conclure en prouvant k = n + m. On a&#160;:</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\frac{k}{p} \leq n &lt; \frac{k + 1}{p} \mbox{  et  } \frac{k}{q} - 1 &lt; m &lt; \frac{k+1}{q}" src="../../../../math/d/5/5/d5545d3f8111c3acb83cdd4218fe1804.png" /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>En additionnant il vient k - 1 &lt; n + m &lt; k + 1, soit k = n + m. <a href="../../../../articles/c/q/f/CQFD_78dc.html" title="CQFD">CQFD</a>.</p>
</div>
<div class="NavEnd"></div>
</div>
</div>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rence" id="R.C3.A9f.C3.A9rence"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Beatty_f1be.html" title="Modifier la section&#160;: Référence">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Référence</span></h2>
<ul>
<li><i>Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1.</i> Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas. Éditions Cassini.</li>
</ul>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Beatty_f1be.html" title="Modifier la section&#160;: Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://perso.wanadoo.fr/jean-paul.davalan/mots/suites/beatty/" class="external text" title="http://perso.wanadoo.fr/jean-paul.davalan/mots/suites/beatty/" rel="nofollow">Pages contenant des applets pour calculer les termes de la suite de Beatty, ou pour déterminer p et q en fonction des termes de la suite.</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>


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	  	  	  <li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 20 octobre 2007 à 22:40 par Utilisateur <a href="../../../../articles/d/u/n/Utilisateur%7EDunk_Nukem_c0fc.html" title="Utilisateur:Dunk Nukem">Dunk Nukem</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/l/o/u/Utilisateur%7ELouperibot_13b7.html" title="Utilisateur:Louperibot">Louperibot</a>, <a href="../../../../articles/d/o/r/Utilisateur%7EDorganBot_32ef.html" title="Utilisateur:DorganBot">DorganBot</a>, <a href="../../../../articles/b/a/d/Utilisateur%7EBadmood_4dbf.html" title="Utilisateur:Badmood">Badmood</a>, <a href="../../../../articles/y/u/r/Utilisateur%7EYurikBot_0f63.html" title="Utilisateur:YurikBot">YurikBot</a>, <a href="../../../../articles/s/k/e/Utilisateur%7ESke_f3d6.html" title="Utilisateur:Ske">Ske</a>, <a href="../../../../articles/c/h/a/Utilisateur%7ECharles_Dyon_562e.html" title="Utilisateur:Charles Dyon">Charles Dyon</a> et <a href="../../../../articles/p/h/i/Utilisateur%7EPhilippe%25_0c2f.html" title="Utilisateur:Philippe%">Philippe%</a> et Utilisateur(s) non enregistré(s) de Wikipédia.</li>	  <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
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