Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème d'Euclide sur les nombres premiers - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Théorème d'Euclide sur les nombres premiers</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:202px;"><a href="../../../../articles/e/u/k/Image%7EEuklid2.jpg_9100.html" class="image" title="Euclide"><img alt="Euclide" src="../../../../images/shared/thumb/8/8c/Euklid2.jpg/200px-Euklid2.jpg" width="200" height="373" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/e/u/k/Image%7EEuklid2.jpg_9100.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Euclide</div>
</div>
</div>
<p>En <a href="../../../../articles/a/r/i/Arithm%C3%A9tique.html" title="Arithmétique">arithmétique</a>, le <b>théorème d'Euclide sur les nombres premiers</b> affirme :</p>
<dl>
<dd><b>Il existe une infinité de nombres premiers.</b></dd>
</dl>
<p>Le théorème a été nommé d'après <a href="../../../../articles/e/u/c/Euclide.html" title="Euclide">Euclide</a>. La première preuve écrite retrouvée de ce résultat<sup style="padding-left:2px; cursor:help;" title="Ce passage nécessite une référence."><a href="../../../../articles/r/%C3%A9/f/Mod%C3%A8le%7ER%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire_Explication_2835.html" title="Modèle:Référence nécessaire/Explication">[réf. nécessaire]</a></sup> figure dans les Éléments, proposition 20 du livre IX<sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</p>
<p>Plusieurs démonstrations existent.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9monstration_d.27Euclide"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Démonstration d'Euclide</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9monstration_d.27Euler"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Démonstration d'Euler</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_la_progression_arithm.C3.A9tique_de_Dirichlet"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9or.C3.A8me_des_nombres_premiers"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Théorème des nombres premiers</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Notes"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Notes</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
<script type="text/javascript">
//<![CDATA[
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//]]>
</script>
<p><a name="D.C3.A9monstration_d.27Euclide" id="D.C3.A9monstration_d.27Euclide"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers_8d23.html" title="Modifier la section : Démonstration d'Euclide">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration d'Euclide</span></h2>
<p>Dans ses <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/%C3%A9/%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide_d70d.html" title="Éléments d'Euclide">Éléments</a>, Euclide démontre que de trois nombres premiers distincts peut se déduire un quatrième. La démonstration se généralise immédiatement à toute énumération finie de nombres premiers. Il déduit que les nombres premiers sont en nombre plus important que toute quantité finie. L' <a href="../../../../articles/i/n/f/Infini.html" title="Infini">infini</a> mis en évidence par cette preuve est donc un "infini potentiel", compatible avec la doctrine aristotélicienne<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1" title=""><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</p>
<p>Actualisée, sa démonstration se présente comme suit : supposons que <span class="texhtml"><i>p</i><sub>1</sub>,<i>p</i><sub>2</sub>,<i>p</i><sub>3</sub>,...,<i>p</i><sub><i>n</i></sub></span> soit une liste finie de nombres premiers distincts. Si <i>N</i> désigne leur produit, les nombres premiers déjà énumérés ne peuvent pas diviser <i>N</i>+1  ; or, tout nombre possède un facteur premier, donc il existe un nombre premier qui ne fait pas partie de la suite donnée. Le résultat selon lequel tout nombre possède un facteur premier est prouvé dans les propositions 31 et 32 du livre VII des <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/%C3%A9/%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide_d70d.html" title="Éléments d'Euclide">Éléments</a> et découle aujourd'hui directement du <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique.html" title="Théorème fondamental de l'arithmétique">théorème fondamental de l'arithmétique</a>.</p>
<p>L'argumentation utilisée par Euclide permet de construire par récurrence une suite injective <span class="texhtml">(<i>p</i><sub><i>n</i></sub>)</span> de nombres premiers : <span class="texhtml"><i>p</i><sub><i>n</i></sub></span> est défini comme le plus petit facteur premier de</p>
<table>
<tr style='text-align: center;'>
<td><span style='font-size: x-large; font-family: serif;'>∏</span></td>
<td><i>p</i><sub><i>k</i></sub> + 1.</td>
</tr>
<tr style='text-align: center; vertical-align: top;'>
<td><i>k</i> < <i>n</i></td>
<td></td>
</tr>
</table>
<p>Une variante de cette démonstration a été donnée par le mathématicien allemand <a href="../../../../articles/e/r/n/Ernst_Kummer_2663.html" title="Ernst Kummer">Ernst Kummer</a> en retranchant 1 au produit au lieu d'ajouter 1<sup style="padding-left:2px; cursor:help;" title="Ce passage nécessite une référence."><a href="../../../../articles/r/%C3%A9/f/Mod%C3%A8le%7ER%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire_Explication_2835.html" title="Modèle:Référence nécessaire/Explication">[réf. nécessaire]</a></sup>.</p>
<p>Comme le remarque Gérald Tenenbaum<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2" title=""><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, la preuve d'Euclide « est trop simple pour être ineffective ». De fait, la construction montre que le <span class="texhtml"><i>n</i></span><sup class="exposant">e</sup> nombre premier <span class="texhtml"><i>p</i><sub><i>n</i></sub></span> est inférieur ou égal à <img class="tex" alt="2^{2^n}" src="../../../../math/b/7/1/b7118a777168022f01f7439db6d769ad.png" />.</p>
<p><a name="D.C3.A9monstration_d.27Euler" id="D.C3.A9monstration_d.27Euler"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers_8d23.html" title="Modifier la section : Démonstration d'Euler">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration d'Euler</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:202px;"><a href="../../../../articles/l/e/o/Image%7ELeonhard_Euler_2.jpg_f0b7.html" class="image" title="Euler"><img alt="Euler" src="../../../../images/shared/thumb/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg/200px-Leonhard_Euler_2.jpg" width="200" height="250" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/l/e/o/Image%7ELeonhard_Euler_2.jpg_f0b7.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Euler</div>
</div>
</div>
<p>Une autre preuve fut proposée par le mathématicien suisse <a href="../../../../articles/l/e/o/Leonhard_Euler_b776.html" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>. Cette démonstration s'appuie sur le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique.html" title="Théorème fondamental de l'arithmétique">théorème fondamental de l'arithmétique</a>. Si <i>P</i> désigne l'ensemble des nombres premiers, Euler écrit :</p>
<center><img class="tex" alt="\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}" src="../../../../math/3/a/f/3af72ce9819ee2d9ad2328198bb3e8d3.png" /></center>
<p>On utilise pour cela la somme d'une <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_g%C3%A9om%C3%A9trique.html" title="Série géométrique">série géométrique</a> et le développement (unique) en facteurs premiers d'un entier naturel (autrement dit, le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique.html" title="Théorème fondamental de l'arithmétique">théorème fondamental de l'arithmétique</a>). La divergence de la <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_harmonique.html" title="Série harmonique">série harmonique</a> montre alors que la somme (à droite) tend vers l'infini : donc le produit (à gauche) ne peut être fini, il y a donc une infinité de nombres premiers.</p>
<p><a name="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_la_progression_arithm.C3.A9tique_de_Dirichlet" id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_la_progression_arithm.C3.A9tique_de_Dirichlet"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers_8d23.html" title="Modifier la section : Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet</span></h2>
<p>Le théorème de Dirichlet généralise le résultat d'Euclide : il affirme qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme <span class="texhtml"><i>a</i><i>k</i> + <i>n</i></span>, où <span class="texhtml"><i>a</i></span> et <span class="texhtml"><i>n</i></span> sont des entiers fixés, premiers entre eux. Autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique.</p>
<p>Le théorème d'Euclide correspond au cas où <span class="texhtml"><i>a</i> = 1</span>. Il existe des preuves élémentaires pour certains cas particuliers du théorème de Dirichlet, mais la démonstration complète, qui s'inspire de celle d'Euler pour le théorème d'Euclide, repose sur des arguments avancés d'analyse.</p>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.</span></span></div>
<p><a name="Th.C3.A9or.C3.A8me_des_nombres_premiers" id="Th.C3.A9or.C3.A8me_des_nombres_premiers"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers_8d23.html" title="Modifier la section : Théorème des nombres premiers">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorème des nombres premiers</span></h2>
<p>Ce théorème, conjecturé au début du 19<sup class="exposant">e</sup> siècle et prouvé en 1896, simultanément et indépendamment par <a href="../../../../articles/j/a/c/Jacques_Hadamard_fc4a.html" title="Jacques Hadamard">Jacques Hadamard</a> et <a href="../../../../articles/c/h/a/Charles-Jean_de_La_Vall%C3%A9e_Poussin_f0fc.html" title="Charles-Jean de La Vallée Poussin">Charles-Jean de La Vallée Poussin</a>, précise la répartition des nombres premiers. Soit <span class="texhtml">π(<i>x</i>)</span> le nombre des premiers inférieurs à un nombre <span class="texhtml"><i>x</i></span>, le théorème d'Euclide dit que <span class="texhtml">π(<i>x</i>)</span> tend vers l'infini quand <span class="texhtml"><i>x</i></span> croît. Le théorème des nombres premiers précise que la quantité <span class="texhtml">π(<i>x</i>) / <i>x</i></span> tend vers <span class="texhtml">1 / log(<i>x</i>)</span> quand <span class="texhtml"><i>x</i></span> croît.</p>
<p>Autrement dit<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3" title=""><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, le <span class="texhtml"><i>n</i></span><sup class="exposant">e</sup> nombre premier est à peu près de l'ordre de grandeur de <span class="texhtml"><i>n</i>log(<i>n</i>)</span>.</p>
<p>La démonstration originelle fait appel à des notions délicates d'analyse complexe, en particulier sur la fonction Zéta de Riemann. Il existe aussi maintenant des démonstrations plus élémentaires. Des variantes, précisant en particulier le théorème de Dirichlet, sont aussi connues.</p>
<div class="detail"><span><a href="../../../../articles/s/e/a/Image%7ESearchtool-80%25.png_e347.html" class="image" title="Icône de détail"><img alt="Icône de détail" src="../../../../images/shared/thumb/1/1a/Searchtool-80%.png/15px-Searchtool-80%.png" width="15" height="15" border="0" /></a> <span>Article détaillé : <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers.html" title="Théorème des nombres premiers">Théorème des nombres premiers</a>.</span></span></div>
<p><a name="Notes" id="Notes"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers_8d23.html" title="Modifier la section : Notes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Notes</span></h2>
<div class="references-small" style="column-count:1; -moz-column-count:1; -webkit-column-count:1;">
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
<li id="cite_note-0"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-0" title="">↑</a></span> Euclide, <i>Éléments</i>, <a href="http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html|Livre" class="external text" title="http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html|Livre" rel="nofollow">IX, proposition 20</a>.</li>
<li id="cite_note-1"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-1" title="">↑</a></span> Euclide, <i>Les Éléments</i>, commentaires et notes de Bernard Vitrac <small>[<a href="../../../../articles/%C3%A9/l/%C3%A9/R%C3%A9f%C3%A9rence%7E%C3%89l%C3%A9ments_%28Euclide_Vitrac%29_2b11.html" title="Référence:Éléments (Euclide Vitrac)">détail des éditions</a>]</small>, vol. 2, p. 444-446.</li>
<li id="cite_note-2"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-2" title="">↑</a></span> Gérald Tenenbaum, <i>Introduction à la théorie analytique et probabilistique des nombres</i> <small>[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/R%C3%A9f%C3%A9rence%7ETh%C3%A9orie_analytique_et_probabilistique_des_nombres_%28Tenenbaum%29_b384.html" title="Référence:Théorie analytique et probabilistique des nombres (Tenenbaum)">détail des éditions</a>]</small>, p. 10.</li>
<li id="cite_note-3"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-3" title="">↑</a></span> Gérald Tenenbaum et Michel Mendès-France, <i>Les Nombres premiers</i>, Que Sais-je? 571, Paris, PUF, 1997, p.12.</li>
</ol>
</div>
</div>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers_8d23.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_premier.html" title="Nombre premier">Nombre premier</a></li>
<li><a href="../../../../articles/e/u/c/Euclide.html" title="Euclide">Euclide</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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<div class="visualClear"></div>
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</div>
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class="selected" ><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers_8d23.html">Article</a></li><li id="ca-talk"
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