Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon - Wikipédia</title>
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<div id="content">
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<h1 class="firstHeading">Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>Le <b>théorème de Nyquist-Shannon</b>, nommé d'après <a href="../../../../articles/h/a/r/Harry_Nyquist_5898.html" title="Harry Nyquist">Harry Nyquist</a> et <a href="../../../../articles/c/l/a/Claude_Shannon_8ca9.html" title="Claude Shannon">Claude Shannon</a>, énonce que la <a href="../../../../articles/f/r/%C3%A9/Fr%C3%A9quence.html" title="Fréquence">fréquence</a> d'<a href="../../../../articles/%C3%A9/c/h/%C3%89chantillonnage_%28signal%29.html" title="Échantillonnage (signal)">échantillonnage</a> d'un <a href="../../../../articles/t/r/a/Traitement_du_signal.html" title="Traitement du signal">signal</a> doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans ce signal, afin de convertir ce signal d'une forme <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/e/%C3%89lectronique_analogique.html" title="Électronique analogique">analogique</a> à une forme <a href="../../../../articles/%C3%A9/l/e/%C3%89lectronique_num%C3%A9rique.html" title="Électronique numérique">numérique</a>. Ce théorème est à la base de la conversion numérique des signaux.</p>
<p>La meilleure illustration de l'application de ce théorème est la détermination de la fréquence d'échantillonnage d'un <a href="../../../../articles/c/d/_/CD_audio_0d96.html" class="mw-redirect" title="CD audio">CD audio</a>, qui est de 44,1 k<a href="../../../../articles/h/e/r/Hertz.html" title="Hertz">Hz</a>. En effet, l'oreille humaine peut capter les <a href="../../../../articles/s/o/n/Son_%28physique%29.html" title="Son (physique)">sons</a> jusqu'à 16 kHz, quelquefois jusqu'à 20 kHz. Il convient donc, lors de la conversion, d'échantillonner le signal audio à au moins 40 kHz. 44,1 kHz est la valeur <a href="../../../../articles/n/o/r/Norme.html" title="Norme">normalisée</a> par l'industrie.</p>
<p><a name="Consid.C3.A9rations_.C3.A9l.C3.A9mentaires" id="Consid.C3.A9rations_.C3.A9l.C3.A9mentaires"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27%C3%A9chantillonnage_de_Nyquist-Shannon_0a04.html" title="Modifier la section : Considérations élémentaires">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Considérations élémentaires</span></h2>
<p>Si on veut utiliser un signal <a href="../../../../articles/%C3%A9/c/h/%C3%89chantillonnage_%28signal%29.html" title="Échantillonnage (signal)">échantillonné</a>, il faut être sûr que celui-ci contienne toute l'information du signal analogique d'origine. Il est souvent commode de considérer celui-ci comme une somme de <a href="../../../../articles/s/i/n/Sinuso%C3%AFde.html" class="mw-redirect" title="Sinusoïde">sinusoïdes</a> (cf <a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_spectrale.html" title="Analyse spectrale">analyse spectrale</a>). Or il est intuitivement évident qu'une perte d'information se produit si le pas d'échantillonnage est trop grand par comparaison avec les périodes en cause, la fréquence d'échantillonnage étant trop faible par rapport aux fréquences considérées.</p>
<div class="floatright"><span><a href="../../../../articles/e/x/e/Image%7EExemple_echantillonnage_de_deux_signaux.png_4fe0.html" class="image" title="Exemple echantillonnage de deux signaux.png"><img alt="" src="../../../../images/local/4/45/Exemple_echantillonnage_de_deux_signaux.png" width="314" height="206" border="0" /></a></span></div>
<p>Soit un signal sinusoïdal d'amplitude a et de fréquence f :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="x(t) = a \cos(2\pi f t)\," src="../../../../math/d/8/d/d8dcdf93340e68bd2ff7a0b6accc7f31.png" /></dd>
</dl>
<p>En l'échantillonnant avec un pas T soit une fréquence 1/T on obtient la suite de valeurs numériques</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="x_n = a \cos(2\pi n f T)\," src="../../../../math/2/8/a/28afd57fc61c6fed329f3535bd44c3ec.png" /></dd>
</dl>
<p>Considérons maintenant le signal d'amplitude b et de fréquence 1/T - f :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\textstyle y(t) = b \cos\left(2\pi\left(\frac1T - f\right)t\right)" src="../../../../math/f/b/c/fbce4fce5f0995648e81288b89851a28.png" /></dd>
</dl>
<p>Une fois échantillonné à la même fréquence, il devient</p>
<center><img class="tex" alt="\textstyle y_n = b\cos\left(2\pi n\left(\frac1T - f\right)T\right) = b \cos\left(2\pi n\left(1 - f T\right)\right)\," src="../../../../math/0/2/7/027d0187f1d84947742a65a49515514e.png" /></center>
<p>La <a href="../../../../articles/t/r/i/Trigonom%C3%A9trie.html" title="Trigonométrie">trigonométrie</a> élémentaire conduit à</p>
<center><img class="tex" alt="y_n = b \cos(2\pi n f T)\," src="../../../../math/9/5/4/9545590e4c158597cb4638dad744daf6.png" /></center>
<p>Ainsi, dans la somme x<sub>n</sub> + y<sub>n</sub>, il est impossible de distinguer ce qui appartient au signal de fréquence f et à celui de fréquence 1/T - f. Ce résultat conduit à l'effet de <i><a href="../../../../articles/c/r/%C3%A8/Cr%C3%A8nelage.html" class="mw-redirect" title="Crènelage">crènelage</a></i>, <i>repli de spectre</i> ou encore <i>aliasing</i>, qui indique que l'on prend une sinusoïde pour une autre (<i>alias</i>).</p>
<p>Si la plus haute fréquence d'un signal est f<sub>M</sub>, la fréquence 1/T - f<sub>M</sub> ne doit pas appartenir au spectre du signal, ce qui conduit à l'inégalité :</p>
<center><img class="tex" alt="\frac 1T > 2 f_M" src="../../../../math/d/1/a/d1adecbec49913cbf4380bf80967eb2f.png" /></center>
<p><i>Pour qu'un signal ne soit pas perturbé par l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la plus haute fréquence contenue dans le signal. Cette fréquence limite s'appelle la fréquence de Nyquist.</i></p>
<p><a name="Pr.C3.A9cisions" id="Pr.C3.A9cisions"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27%C3%A9chantillonnage_de_Nyquist-Shannon_0a04.html" title="Modifier la section : Précisions">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Précisions</span></h2>
<div class="floatright"><span><a href="../../../../articles/t/r/a/Image%7ETransformee_Fourier_signal_continu.png_1e41.html" class="image" title="Transformee Fourier signal continu.png"><img alt="" src="../../../../images/local/2/20/Transformee_Fourier_signal_continu.png" width="314" height="206" border="0" /></a></span></div>
<p>On peut interpréter le résultat précédent en considérant un signal <a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_spectrale.html" title="Analyse spectrale">transitoire</a> x(t), donc muni d'une <a href="../../../../articles/t/r/a/Transform%C3%A9e_de_Fourier_b403.html" title="Transformée de Fourier">transformée de Fourier</a> X(f).</p>
<div class="floatright"><span><a href="../../../../articles/t/r/a/Image%7ETransformee_Fourier_signal_correctement_echantillonne.png_a2ed.html" class="image" title="Transformee Fourier signal correctement echantillonne.png"><img alt="" src="../../../../images/local/d/d2/Transformee_Fourier_signal_correctement_echantillonne.png" width="314" height="206" border="0" /></a></span></div>
<p>Considérons la fonction obtenue en multipliant le signal x(t) par un <a href="../../../../articles/p/e/i/Peigne_de_Dirac_ba72.html" title="Peigne de Dirac">peigne de Dirac</a>, somme de deltas d'intensité T distants de T.</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="x^*(t) = x(t) \delta_T (t)\," src="../../../../math/2/3/5/23585bd932102ea02619008ee68dc9c4.png" /></dd>
</dl>
<p>Compte tenu de la propriété fondamentale du peigne de Dirac, la transformée de Fourier de x*(t) est l'approximation de la transformée de x(t) obtenue par la méthode des rectangles :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="X^*(f) = T \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n T) e^{- i n 2\pi f T}" src="../../../../math/c/b/1/cb1d58ffefbbb293fccbf4f29cbd03fb.png" /></dd>
</dl>
<p>En utilisant le développement en série de Fourier du peigne, cette transformée se calcule aussi sous la forme</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="X^*(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{i 2\pi n t/T} x(t) e^{- i 2\pi f\mathrm dt}\mathrm dt" src="../../../../math/e/b/e/ebe5fbc36dfa8415f99722e75a6ed0ac.png" /></dd>
</dl>
<p>En regroupant les exponentielles et en échangeant les opérateurs, on obtient :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="X^*(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(f - n/T)" src="../../../../math/0/5/6/0565bc23a1e4dfa15f2c5b9ea92fb90e.png" /></dd>
</dl>
<div class="floatright"><span><a href="../../../../articles/t/r/a/Image%7ETransformee_Fourier_signal_incorrectement_echantillonne.png_73cf.html" class="image" title="Transformee Fourier signal incorrectement echantillonne.png"><img alt="" src="../../../../images/local/9/9a/Transformee_Fourier_signal_incorrectement_echantillonne.png" width="314" height="206" border="0" /></a></span></div>
<p><i>Le rapprochement des deux résultats montre que le calcul de la transformée d'un signal échantillonné au pas T par la méthode des rectangles donne la somme de la transformée vraie et de toutes les translatées de celle-ci avec un pas égal à la fréquence d'échantillonnage 1/T.</i></p>
<p>Toute l'information utile est contenue dans l'<a href="../../../../articles/i/n/t/Intervalle_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Intervalle (mathématiques)">intervalle</a> [-1/(2T), 1/(2T)].</p>
<p><i>Si les fréquences présentes dans le signal ne débordent pas de cet intervalle, c'est-à-dire si la fréquence d'échantillonnage est supérieure au double de la plus haute fréquence, on obtient la transformée vraie. Dans le cas contraire, les translatées voisines viennent se superposer. Ce phénomène est appelé "recouvrement du spectre"</i></p>
<p>Du fait de la symétrie, tout se passe comme si le spectre vrai était replié (l'énergie associée aux fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage est transférée en dessous de cette fréquence). Si on veut éviter le franglais on utilise en général le terme repliement de préférence à <a href="../../../../articles/a/l/i/Aliasing.html" class="mw-redirect" title="Aliasing">aliasing</a>.</p>
<p>Ces résultats s'appliquent sans modification à un signal <a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_spectrale.html" title="Analyse spectrale">à variance finie</a>.</p>
<p><a name="Formule_de_Shannon" id="Formule_de_Shannon"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27%C3%A9chantillonnage_de_Nyquist-Shannon_0a04.html" title="Modifier la section : Formule de Shannon">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Formule de Shannon</span></h2>
<p>Puisque la transformée X*(f) du signal correctement échantillonné contient, dans l'intervalle [-½T,½T], la transformée du signal d'origine x(t), on peut reconstituer celui-ci en calculant la transformée inverse, l’<a href="../../../../articles/i/n/t/Int%C3%A9gration.html" title="Intégration">intégration</a> étant bornée à cet intervalle.</p>
<p>On obtient ainsi</p>
<center><img class="tex" alt="x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n T)
\frac{\sin\left(\frac\pi T(t - nT)\right)}{\frac\pi T(t - nT)}
" src="../../../../math/f/0/e/f0eaa77f2b5b20e11c02cb889819a46a.png" /></center>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
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