Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/t/h/é/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="fr" lang="fr" dir="ltr"> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" /> <!-- headlinks removed --> <link rel="shortcut icon" href="../../../../misc/favicon.ico"/> <title>Discuter:Théorème de Cantor-Bernstein - Wikipédia</title> <style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../skins/offline/main.css"; /*]]>*/</style> <link rel="stylesheet" type="text/css" media="print" href="../../../../skins/common/commonPrint.css" /> <!--[if lt IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE50Fixes.css";</style><![endif]--> <!--[if IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE55Fixes.css";</style><![endif]--> <!--[if IE 6]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE60Fixes.css";</style><![endif]--> <!--[if IE]><script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/IEFixes.js"></script> <meta http-equiv="imagetoolbar" content="no" /><![endif]--> <script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/wikibits.js"></script> <script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/md5.js"></script> <script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/utf8.js"></script> <script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/lookup.js"></script> <script type="text/javascript" src="../../../../raw/gen.js"></script> <style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../raw/MediaWiki%7ECommon.css"; @import "../../../../raw/MediaWiki%7EMonobook.css"; @import "../../../../raw/gen.css"; /*]]>*/</style> </head> <body class="ns-1"> <div id="globalWrapper"> <div id="column-content"> <div id="content"> <a name="top" id="contentTop"></a> <h1 class="firstHeading">Discuter:Théorème de Cantor-Bernstein</h1> <div id="bodyContent"> <h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3> <div id="contentSub"></div> <!-- start content --> <table class="messagebox standard-talk plainlinks" style="font-size:90%; text-align: left;"> <tr> <td> <div class="center"> <div class="floatnone"><span><a href="../../../../articles/n/u/v/Image%7ENuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg_8d81.html" class="image" title="WikiProjet Mathématiques"><img alt="WikiProjet Mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/70px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" width="70" height="70" border="0" /></a></span></div> </div> </td> <td><b>Théorème de Cantor-Bernstein</b> fait partie du <b><a href="../../../../articles/m/a/t/Projet%7EMath%C3%A9matiques_a98f.html" title="Projet:Mathématiques">projet Mathématiques</a></b>, qui a pour but d'enrichir le contenu de Wikipédia sur les sujets liés aux <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>. Si vous voulez participer, vous pouvez <a href="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_b1e4.html" class="external text" title="http://fr.wikipedia.org../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_b1e4.html" rel="nofollow">modifier cet article</a> ou visiter la <a href="../../../../articles/m/a/t/Projet%7EMath%C3%A9matiques_a98f.html" title="Projet:Mathématiques">page du projet</a>, où vous pourrez vous joindre au projet et consulter la liste des tâches et des objectifs. Le <b><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">portail Mathématiques</a></b> pourrait aussi vous intéresser.</td> </tr> <tr> <td style="background: #666666; text-align: center; white-space:nowrap;"><font color="#fff"><b>À évaluer</b></font></td> <td>Cet article a été classé comme d'<b>Avancement ?</b> selon le <b><a href="../../../../articles/m/a/t/Projet%7EMath%C3%A9matiques_%C3%89valuation_e5cf.html#Avancement" title="Projet:Mathématiques/Évaluation">Tableau d'évaluation</a></b> du projet. (<a href="../../../../articles/m/a/t/Projet%7EMath%C3%A9matiques_%C3%89valuation_Statistiques_d%C3%A9taill%C3%A9es_ecad.html" title="Projet:Mathématiques/Évaluation/Statistiques détaillées">Voir les statistiques</a>)</td> </tr> <tr> <td style="background: #666666; text-align: center;"><font color="#FFFFFF"><b>À évaluer</b></font></td> <td>Cet article a été classé comme d'<b>Importance ?</b> selon le <b><a href="../../../../articles/m/a/t/Projet%7EMath%C3%A9matiques_%C3%89valuation_e5cf.html#Importance" title="Projet:Mathématiques/Évaluation">Tableau d'évaluation</a></b> du projet.</td> </tr> </table> <p>Voir ma <a href="http://spoirier.lautre.net/cant-bern.html" class="external text" title="http://spoirier.lautre.net/cant-bern.html" rel="nofollow">nouvelle démonstration</a> qui tient en deux ou trois lignes modulo un lemme qui devrait être mieux connu.--<a href="../../../../articles/s/p/o/Utilisateur%7ESpoirier_3baf.html" title="Utilisateur:Spoirier">Spoirier</a> 19:42, 11 novembre 2005 (CET)</p> <dl> <dd>Dans la première démonstration, j'ai supprimé la partie qui montrait que les <span class="texhtml"><i>C</i><sub><i>i</i></sub></span> étaient disjoints et qui, sauf erreur de ma part, n'est pas indispensable pour la suite. Il conviendrait également d'intégrer dans la l'article la démo de Spoirier ci-dessus, qui est fort intéressante. Mais garde-t-on alors les trois démos, ou alors une seule seulement, la plus courte ? <a href="../../../../articles/t/h/e/Utilisateur%7ETheon_db92.html" title="Utilisateur:Theon">Theon</a> 24 février 2006 à 15:47 (CET)</dd> </dl> <dl> <dd> <dl> <dd>Tant que les démonstrations sont vraiment différentes, autant présenter les trois : wikipedia a une vocation encyclopédique, non ? Donc on peut se permettre de montrer toute la richesse des mathématiques. Et comme ce n'est pas une science figée, il serait aussi intéressant de présenter les différentes preuves historiques. <a href="../../../../articles/m/e/s/Utilisateur%7EMeskiangasher_e1e5.html" title="Utilisateur:Meskiangasher">Meskiangasher</a> 21 mars 2006 à 20:26 (CET)</dd> </dl> </dd> </dl> <p><a name="Corollaires_et_liens_.C3.A0__ecrire" id="Corollaires_et_liens_.C3.A0__ecrire"></a></p> <h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_b1e4.html" title="Modifier la section : Corollaires et liens à ecrire">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Corollaires et liens à ecrire</span></h2> <dl> <dd>il faudrait une section <i>Corollaires</i> et des liens depuis <a href="../../../../articles/s/u/r/Surjection.html" title="Surjection">surjection</a>, <a href="../../../../articles/i/n/j/Injection_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Injection (mathématiques)">injection</a>, <a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Bijection">bijection</a>.</dd> </dl> <dl> <dd>il faudrait (pour cela/aussi) préciser dans quel mesure (AC ?) on peut passer d'une surjection de B sur A à une injection de A sur B et inversement. (voir aussi <a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Discuter:Axiome_du_choix#un_point_.C3.A0_pr.C3.A9ciser" class="external text" title="http://fr.wikipedia.org/wiki/Discuter:Axiome_du_choix#un_point_.C3.A0_pr.C3.A9ciser" rel="nofollow">un point à préciser</a>)   <<a href="../../../../articles/s/t/y/Utilisateur%7ESTyx_3f2c.html" title="Utilisateur:STyx">STyx</a></dd> </dl> <p>Il faut préciser que le produit de 2 applications injectives est une application injective. Dans la démonstration du théorèm( première démonstration finale), il n'est pas prouvé que la restriction à g est bijective, en vertu de quel théorème? Si cela avait été le cas on aurait tout simplement dit que la restriction de l'image de f dans F est bijective. Il manque quelque chose pour rendre cette démonstration correcte.</p> <dl> <dd>Le fait que la composée de deux injections est une injection n'est pas l'objet de cet article. La propriété figure dans l'article <a href="../../../../articles/i/n/j/Injection.html" title="Injection">injection</a> vers lequel pointe le présent article. Le fait que g, étant injective de F dans E, est bijective de F sur B = g(F), relève de la définition de g(F). <a href="../../../../articles/t/h/e/Utilisateur%7ETheon_db92.html" title="Utilisateur:Theon">Theon</a> (<a href="../../../../articles/t/h/e/Discussion_Utilisateur%7ETheon_cac4.html" title="Discussion Utilisateur:Theon">d</a>) 26 février 2008 à 18:56 (CET)</dd> </dl> <p>Est-on assuré que B n'est pas l'ensemble vide?<a href="../../../../articles/w/a/l/Utilisateur%7EWalkanaers_ef65.html" title="Utilisateur:Walkanaers">Walkanaers</a> le 27 février 2008</p> <p>Donc dans l'énoncé il faut préciser que E et F ne sont pas vides, même si cela semble évident. On aurait préférer traiter le cas où E et F sont des ensembles disjoints pour compléter la démonstration.</p> <dl> <dd>Si B = g(F) est vide, alors F est vide (ainsi que E). <a href="../../../../articles/t/h/e/Utilisateur%7ETheon_db92.html" title="Utilisateur:Theon">Theon</a> (<a href="../../../../articles/t/h/e/Discussion_Utilisateur%7ETheon_cac4.html" title="Discussion Utilisateur:Theon">d</a>) 27 février 2008 à 17:53 (CET)</dd> </dl> <p>Donc dans l'énoncé il faut préciser que E et F ne sont pas vides, même si cela semble évident. On aurait préférer traiter le cas où E et F sont des ensembles disjoints pour compléter la démonstration.Walkanaers.</p> <p>Voici l'énoncé du théorème de Cantor Bernstein (tiré de Topology without Tears de Sidney Morris page 34)</p> <p>"Soit S et T deux ensembles. Si S est équipotent à un sous ensemble de T et si T est équipotent à un sous ensemble de S, alors S est équipotent à T.</p> <dl> <dd>Si E et F sont vides, ils sont en bijection et la démonstration de l'article reste parfaitement valable. Il n'y a donc pas lieu de les supposer non vides. De même, le fait que E et F soient disjoints ou non n'a aucune importance. <a href="../../../../articles/t/h/e/Utilisateur%7ETheon_db92.html" title="Utilisateur:Theon">Theon</a> (<a href="../../../../articles/t/h/e/Discussion_Utilisateur%7ETheon_cac4.html" title="Discussion Utilisateur:Theon">d</a>) 28 février 2008 à 08:02 (CET)</dd> </dl> <p>Si seulement un des ensembles E ou F est vide?</p> <dl> <dd>C'est incompatible avec les hypothèses. <a href="../../../../articles/t/h/e/Utilisateur%7ETheon_db92.html" title="Utilisateur:Theon">Theon</a> (<a href="../../../../articles/t/h/e/Discussion_Utilisateur%7ETheon_cac4.html" title="Discussion Utilisateur:Theon">d</a>) 28 février 2008 à 20:57 (CET)</dd> </dl> <!-- NewPP limit report Preprocessor node count: 106/1000000 Post-expand include size: 2949/2048000 bytes Template argument size: 8/2048000 bytes Expensive parser function count: 0/500 --> <div class="printfooter"> </div> <div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/a/r/t/Cat%C3%A9gorie%7EArticle_de_math%C3%A9matiques_d%27avancement_inconnu_6036.html" title="Catégorie:Article de mathématiques d'avancement inconnu">Article de mathématiques d'avancement inconnu</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/a/r/t/Cat%C3%A9gorie%7EArticle_de_math%C3%A9matiques_d%27importance_inconnue_d5af.html" title="Catégorie:Article de mathématiques d'importance inconnue">Article de mathématiques d'importance inconnue</a></span></div></div></div> <!-- end content --> <div class="visualClear"></div> </div> </div> </div> <div id="column-one"> <div id="p-cactions" class="portlet"> <h5>Views</h5> <ul> <li id="ca-nstab-main" ><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html">Article</a></li><li id="ca-talk" class="selected" ><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Discuter%7ETh%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_b1e4.html">Discussion</a></li><li id="ca-current" ><a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Discuter:Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein">Version actuelle</a></li> </ul> </div> <div class="portlet" id="p-logo"> <a style="background-image: url(../../../../misc/Wiki.png);" href="../../../../index.html" title="Accueil"></a> </div> <script type="text/javascript"> if (window.isMSIE55) fixalpha(); </script> <div class='portlet' id='p-navigation'> <h5>Navigation</h5> <div class='pBody'> <ul> <li id="n-mainpage"><a href="../../../../index.html">Accueil</a></li> <li id="n-thema"><a href="../../../../articles/a/c/c/Portail%7EAccueil_bcc9.html">Portails thématiques</a></li> <li id="n-alphindex"><a href="../../../../articles/t/o/u/Special%7EToutes_les_pages_fabc.html">Index alphabétique</a></li> <li id="n-randompage"><a href="../../../../articles/p/a/g/Special%7EPage_au_hasard_9c81.html">Un article au hasard</a></li> <li id="n-contact"><a href="../../../../articles/c/o/n/Wikip%C3%A9dia%7EContact_929e.html">Contacter Wikipédia</a></li> </ul> </div> </div> <div class='portlet' id='p-Contribuer'> <h5>Contribuer</h5> <div class='pBody'> <ul> <li id="n-help"><a href="../../../../articles/s/o/m/Aide%7ESommaire_c9f0.html">Aide</a></li> <li id="n-portal"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_5272.html">Communauté</a></li> <li id="n-recentchanges"><a href="../../../../articles/m/o/d/Special%7EModifications_r%C3%A9centes_b222.html">Modifications récentes</a></li> <li id="n-aboutwp"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_des_nouveaux_arrivants_0784.html">Accueil des nouveaux arrivants</a></li> <li id="n-sitesupport"><a href="http://meta.wikimedia.org/wiki/Faire_un_don:_explication">Faire un don</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-search" class="portlet"> <h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5> <div id="searchBody" class="pBody"> <form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div> <input id="searchInput" name="search" type="text" accesskey="C" value="" /> <input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton" value="Aller" /> </div></form> </div> </div> </div><!-- end of the left (by default at least) column --> <div class="visualClear"></div> <div id="footer"> <div id="f-poweredbyico"><a href="http://www.mediawiki.org/"><img src="../../../../skins/common/images/poweredby_mediawiki_88x31.png" alt="Powered by MediaWiki" /></a></div> <div id="f-copyrightico"><a href="http://wikimediafoundation.org/"><img src="../../../../misc/wikimedia-button.png" border="0" alt="Wikimedia Foundation"/></a></div> <ul id="f-list"> <li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 28 février 2008 à 23:15 par Utilisateur <a href="../../../../articles/t/h/e/Utilisateur%7ETheon_db92.html" title="Utilisateur:Theon">Theon</a>. 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