Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/s/p/l/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Spline - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Spline</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="homonymie">Pour les articles <a href="../../../../articles/h/o/m/Homophonie_%28linguistique%29.html" title="Homophonie (linguistique)">homophones</a>, voir <a href="../../../../articles/s/p/l/Spleen.html" title="Spleen">Spleen</a>. <a href="../../../../articles/c/r/y/Image%7ECrystal_multimedia.png_28ab.html" class="image" title="Crystal multimedia.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/3/34/Crystal_multimedia.png/20px-Crystal_multimedia.png" width="20" height="20" border="0" /></a></div>
<p>Dans le domaine <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématique</a> de l'<a href="../../../../articles/a/n/a/Analyse_num%C3%A9rique.html" title="Analyse numérique">analyse numérique</a>, une <b>spline</b> est une <a href="../../../../articles/f/o/n/Fonction_%28math%C3%A9matiques%29.html" class="mw-redirect" title="Fonction (mathématiques)">fonction</a> définie par morceaux par des <a href="../../../../articles/p/o/l/Polyn%C3%B4me.html" title="Polynôme">polynômes</a>.</p>
<p>Dans les problèmes d'<a href="../../../../articles/i/n/t/Interpolation_%28math%C3%A9matiques%29.html" class="mw-redirect" title="Interpolation (mathématiques)">interpolation</a>, la méthode des splines est souvent préférée à l'<a href="../../../../articles/i/n/t/Interpolation_polynomiale.html" title="Interpolation polynomiale">interpolation polynomiale</a>, car on obtient des résultats similaires en se servant de polynômes ayant des degrés inférieurs, tout en évitant le <a href="../../../../articles/p/h/%C3%A9/Ph%C3%A9nom%C3%A8ne_de_Runge_fade.html" title="Phénomène de Runge">phénomène de Runge</a>.</p>
<p>Dans le domaine du <a href="../../../../articles/d/e/s/Design.html" title="Design">design</a>, en construction automobile par exemple, les splines sont utilisées pour approcher des contours complexes. Leur simplicité d'implémentation les rend très populaires et elles sont fréquemment utilisées dans les logiciels de dessin.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9finition"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Définition</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Exemple"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Exemple</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#.C3.89tymologie"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Étymologie</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Prononciation"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Prononciation</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Liens_internes"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Liens internes</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Liens_externes"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Liens externes</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rences"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Références</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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</script>
<p><a name="D.C3.A9finition" id="D.C3.A9finition"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/s/p/l/Spline.html" title="Modifier la section : Définition">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Définition</span></h2>
<p>Étant donnés <i>k</i> points <i>t</i><sub><i>i</i></sub> appelés <b>nœuds</b> dans un intervalle [<i>a</i>,<i>b</i>] avec</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="a=t_0 < t_1 < \ldots < t_{k-2} < t_{k-1} = b" src="../../../../math/b/6/d/b6d15029391c451366b1f5078f24fc4b.png" /></dd>
</dl>
<p>La courbe S</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="S:[a,b] \to \mathbb{R}" src="../../../../math/6/5/7/657900f76cf7e30d7258beca0a49f9ad.png" /></dd>
</dl>
<p>est appelée spline de degré <i>n</i> si</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="S \in \mathrm{C}^{n-1}(a,b)" src="../../../../math/7/1/e/71e88e25f688f593276c9b35f496ae0d.png" /></dd>
</dl>
<p>et sa restriction sur chaque sous-intervalle</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="S_{[t_i,t_{i+1}]} \in P_n \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2" src="../../../../math/7/8/3/783f73e4782aa0e4694a70df39b77c0b.png" /> où <span class="texhtml"><i>P</i><sub><i>n</i></sub></span> est l'ensemble des polynômes de degré <i>n</i>.</dd>
</dl>
<p>En d'autres termes, sur chaque sous-intervalle</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="[t_i,t_{i+1}] \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2" src="../../../../math/c/9/6/c96da3e467f710575dfa0de3a1789f66.png" /></dd>
</dl>
<p><i>S</i> est un polynôme de degré <i>n</i>.</p>
<p>Les (<i>t</i><sub><i>i</i></sub>, <i>S</i>(<i>t</i><sub><i>i</i></sub>)) sont appelés points de contrôle.</p>
<p><a name="Exemple" id="Exemple"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/s/p/l/Spline.html" title="Modifier la section : Exemple">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemple</span></h2>
<p>La fonction spline la plus simple est de degré 1, ce qui correspond à un <a href="../../../../articles/p/o/l/Polygone.html" title="Polygone">polygone</a>.</p>
<p>La plus couramment utilisée est la spline de degré 3 qui vérifie la propriété suivante :</p>
<p><span class="texhtml"><i>S</i>''(<i>a</i>) = <i>S</i>''(<i>b</i>) = 0</span></p>
<p>En dehors de l'intervalle, la courbe est une ligne droite tout en conservant le lissage.</p>
<p><a name=".C3.89tymologie"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/s/p/l/Spline.html" title="Modifier la section : Étymologie">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Étymologie</span></h2>
<p>«Le mot anglais <i>spline</i> a malencontreusement prévalu, alors qu'il se traduit en français par les substantifs <i>latte</i> ou <i>baguette</i>». Pierre BEZIER, <i>Courbes et surfaces pour la CFAO</i>, Techniques de l'ingénieur, Mathématiques pour l'ingénieur.</p>
<p><i>The Oxford English Dictionnary 1989</i> donne les définitions suivantes pour le mot spline: «a long narrow, and relatively thin piece or strip of wood, metal, etc.; a slat. A flexible strip of wood or hard rubber used by draftsmen in laying out broad sweeping curves, especially in railroad work».</p>
<p>Les menuisiers, charpentiers et autres escaliéteurs auront reconnu la <b>cerce</b>, latte souple en bois bien de fil qui sert à tracer les courbes <i>quelconques</i> (Courbes harmonieuses passant par un certain nombre de points mais ne pouvant être tracées à l'aide du compas).</p>
<p>Le curvigraphe est aussi un synonyme d'un tel <a href="../../../../articles/p/i/s/Pistolet_%28dessin%29.html" title="Pistolet (dessin)">pistolet</a> de dessin souple.</p>
<p><a name="Prononciation" id="Prononciation"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/s/p/l/Spline.html" title="Modifier la section : Prononciation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Prononciation</span></h2>
<p>spline se prononce [splain], ce qui le distingue de <a href="../../../../articles/s/p/l/Spleen.html" title="Spleen">spleen</a> [spli:n]</p>
<p><a name="Liens_internes" id="Liens_internes"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/s/p/l/Spline.html" title="Modifier la section : Liens internes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens internes</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/c/o/u/Courbe_de_B%C3%A9zier_2761.html" title="Courbe de Bézier">Courbe de Bézier</a></li>
<li><a href="../../../../articles/b/-/s/B-spline.html" title="B-spline">B-spline</a></li>
<li><a href="../../../../articles/n/u/r/Nurbs.html" class="mw-redirect" title="Nurbs">nurbs</a></li>
</ul>
<p><a name="Liens_externes" id="Liens_externes"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/s/p/l/Spline.html" title="Modifier la section : Liens externes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens externes</span></h2>
<div class="noprint wikilien_alternatif" style="clear:right; float:right;margin:0 0 1em 1em;width:250px;border:solid #AAAAAA 1px; background:#FFFFFF;padding:0px;font-size:90%;text-align:left;">
<table cellpadding="2" cellspacing="0" style="background-color:transparent">
<tr valign="middle">
<td style="line-height:50px;vertical-align:middle;position:relative" align="center" valign="middle">
<div style="position: relative;"><a href="http://fr.wiktionary.org/wiki/" title="wikt:"><img alt="wikt:" src="../../../../images/shared/thumb/9/9f/Wiktprintable_without_text.svg/50px-Wiktprintable_without_text.svg.png" width="50" height="47" border="0" /></a></div>
</td>
<td valign="middle">
<p>Voir « <b><a href="http://fr.wiktionary.org/wiki/spline" class="extiw" title="wikt:spline">spline</a></b> » sur le <a href="../../../../articles/w/i/k/Wiktionnaire.html" title="Wiktionnaire">Wiktionnaire</a>.</p>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<ul>
<li><a href="http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/spline/" class="external free" title="http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/spline/" rel="nofollow">http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/spline/</a> (en anglais)</li>
</ul>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rences" id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/s/p/l/Spline.html" title="Modifier la section : Références">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Références</span></h2>
<ul>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : français">(fr)</span> <i>Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS</i>, G Demengel, JP Pouget, éditions ellipses (Approche pédagogique pour dévoiler la boîte noire de ces modèles utilisés en CAO pour la modélisation des courbes et des surfaces.)</li>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : français">(fr)</span> 'Systemes De Cfao', 'Etudes En Cfao Cao Mecanique ','Elements De Cao Volume 1 Materiels Et Logiciels De Base', 'Cao Mécanique', 'Systèmes De C.F.A.O. : Conception Et Fabrication Assistées Par Ordinateur : - Introduction Dans L'entreprise, Méthode De Réalisation ', 'La Cfao - Introduction, Techniques Et Mises En Oeuvre, 3ème Édition Revue Et Corrigée ', 'La Cfao ', <a href="../../../../articles/y/v/o/Yvon_Gardan_9f10.html" title="Yvon Gardan">Yvon Gardan</a>, Livre, édition Hermes, (modèles CSG, Spline, B-REP, modeleur paramétrique ou variationnel ect...)</li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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