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    <title>Lemme des noyaux - Wikipédia</title>
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      <div id="column-content">
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	  <a name="top" id="contentTop"></a>
	        <h1 class="firstHeading">Lemme des noyaux</h1>
	  <div id="bodyContent">
	    <h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
	    <div id="contentSub"></div>
	    	    	    <!-- start content -->
	    <div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/e/v/a/Image%7EEvariste_galois.jpg_d216.html" class="image" title="Evariste galois.jpg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/27px-Evariste_galois.jpg" width="27" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant l'<a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre.html" title="Algèbre">algèbre</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>En <a href="../../../../articles/m/a/t/Math%C3%A9matiques.html" title="Mathématiques">mathématiques</a>, et plus particulièrement en <a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire.html" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a>, le <b>lemme des noyaux</b> est un <a href="../../../../articles/l/e/m/Lemme.html" title="Lemme">lemme</a> traduisant l'<a href="../../../../articles/i/d/e/Identit%C3%A9_de_Bezout_b92b.html" class="mw-redirect" title="Identité de Bezout">identité de Bezout</a> portant sur les <a href="../../../../articles/p/o/l/Polyn%C3%B4me.html" title="Polynôme">polynômes</a> à des <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_vectoriel.html" title="Espace vectoriel">sous-espaces vectoriels</a>, <a href="../../../../articles/n/o/y/Noyau_%28alg%C3%A8bre%29.html" title="Noyau (algèbre)">noyaux</a> de <a href="../../../../articles/p/o/l/Polyn%C3%B4me_d%27endomorphisme.html" title="Polynôme d'endomorphisme">polynômes d'endomorphismes</a>. C'est un résultat utile dans la théorie de la <a href="../../../../articles/r/%C3%A9/d/R%C3%A9duction_d%27endomorphisme.html" title="Réduction d'endomorphisme">réduction des endomorphismes</a>.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Enonc.C3.A9"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Enoncé</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#D.C3.A9monstration"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Démonstration</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-3"><a href="#Initialisation"><span class="tocnumber">1.1.1</span> <span class="toctext">Initialisation</span></a></li>
<li class="toclevel-3"><a href="#H.C3.A9r.C3.A9dit.C3.A9"><span class="tocnumber">1.1.2</span> <span class="toctext">Hérédité</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Applications"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Applications</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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<p><a name="Enonc.C3.A9" id="Enonc.C3.A9"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/l/e/m/Lemme_des_noyaux.html" title="Modifier la section&#160;: Enoncé">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Enoncé</span></h2>
<div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;">
<p><strong class="theoreme-nom">Lemme des noyaux</strong><span class="theoreme-tiret">&#160;—&#160;</span>Soit <span class="texhtml"><i>E</i></span> un <a href="../../../../articles/e/s/p/Espace_vectoriel.html" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a> sur un <a href="../../../../articles/c/o/r/Corps_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Corps (mathématiques)">corps</a> <span class="texhtml"><i>K</i></span> et soit <span class="texhtml"><i>f</i></span> un <a href="../../../../articles/e/n/d/Endomorphisme.html" title="Endomorphisme">endomorphisme</a> de <span class="texhtml"><i>E</i></span>. Si <img class="tex" alt="P_1,\ldots,P_n \in K[X]" src="../../../../math/1/9/2/192527f1c86d44ab5e67ee58757eb75c.png" /> (avec <img class="tex" alt=" n \in \N^*" src="../../../../math/5/0/2/50255e20f71b6333135744dd3dbe7f1f.png" />) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels <span class="texhtml">ker(<i>P</i><sub><i>i</i></sub>(<i>f</i>))</span> (où <img class="tex" alt="1 \leq i \leq n" src="../../../../math/e/0/1/e0126ca144c4391269883a91304ade8d.png" />) sont en <a href="../../../../articles/s/o/m/Somme_directe.html" title="Somme directe">somme directe</a> et</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\bigoplus_{i=1}^n \ker \left[ P_i(f) \right] = \ker \left[ \left( \prod_{i=1}^n P_i \right)(f) \right]." src="../../../../math/b/a/4/ba40b11861f53424230392d973cac669.png" /></dd>
</dl>
</div>
<p><a name="D.C3.A9monstration" id="D.C3.A9monstration"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/l/e/m/Lemme_des_noyaux.html" title="Modifier la section&#160;: Démonstration">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Démonstration</span></h3>
<p>Par récurrence sur <span class="texhtml"><i>n</i></span>. On pose</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="P=\prod_{i=1}^n P_i." src="../../../../math/e/f/1/ef1770ff66f43f597296a11d0ae1e1d7.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="Initialisation" id="Initialisation"></a></p>
<h4><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/l/e/m/Lemme_des_noyaux.html" title="Modifier la section&#160;: Initialisation">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Initialisation</span></h4>
<p>On suppose <span class="texhtml"><i>n</i> = 2</span>. On a alors <span class="texhtml"><i>P</i> = <i>P</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>2</sub></span>. D'après le théorème de Bézout, il existe <img class="tex" alt="(U_1,U_2) \in (K[X])^2" src="../../../../math/8/1/4/8146e0bab86c36289ba6736b00e7c5cc.png" /> tel que <span class="texhtml"><i>U</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>1</sub> + <i>U</i><sub>2</sub><i>P</i><sub>2</sub> = 1</span>. On en déduit que <span class="texhtml">(<i>U</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>1</sub> + <i>U</i><sub>2</sub><i>P</i><sub>2</sub>)(<i>f</i>) = id<sub><i>E</i></sub></span> (<span class="texhtml">id<sub><i>E</i></sub></span> désignant l'<a href="../../../../articles/a/p/p/Application_identit%C3%A9.html" title="Application identité">application identité</a> de <span class="texhtml"><i>E</i></span>).</p>
<p>Soit <img class="tex" alt="x \in \ker P_1(f) \cap \ker P_2(f)" src="../../../../math/f/d/3/fd350b3e11e3527b04e597da3be97861.png" />. On a <img class="tex" alt="x=[U_1(f) \circ P_1(f)](x)+[U_2(f) \circ P_2(f)](x)=0" src="../../../../math/1/8/9/18927d1e0d42f7911716d19789b0459d.png" />, donc <img class="tex" alt="\ker P_1(f) \cap \ker P_2(f)=\{0\}" src="../../../../math/3/5/4/3541cca2c9dce6d409073b0cfd53d228.png" />.</p>
<p>Soit <img class="tex" alt="x \in \ker P(f)" src="../../../../math/0/b/0/0b0cf389afed9791ecb816adc7dbe69a.png" />. On a alors <span class="texhtml"><i>x</i> = [(<i>U</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>1</sub>)(<i>f</i>)](<i>x</i>) + [(<i>U</i><sub>2</sub><i>P</i><sub>2</sub>)(<i>f</i>)](<i>x</i>)</span>. Or</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="P_2(f)\{[(U_1P_1)(f)](x)\}=[(U_1P_1P_2)(f)](x)=[U_1(f) \circ P(f)](x)=0;" src="../../../../math/0/c/0/0c02733ddfe05b757fce27990462f96a.png" /></dd>
</dl>
<p>ce qui montre que <img class="tex" alt="[(U_1P_1)(f)](x) \in \ker P_2(f)" src="../../../../math/d/6/d/d6db253332dc2cb528d8891fe30193c0.png" />. De même, on montre que <img class="tex" alt="[(U_2P_2)(f)](x) \in \ker P_1(f)" src="../../../../math/b/e/1/be11d9e6555d228ef629bd849f55068b.png" />.</p>
<p>On en déduit donc que</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\ker P(f) = \ker P_1(f) \oplus \ker P_2(f)." src="../../../../math/b/7/b/b7b75ef050fd9851e65e40d6a16ca875.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="H.C3.A9r.C3.A9dit.C3.A9" id="H.C3.A9r.C3.A9dit.C3.A9"></a></p>
<h4><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/l/e/m/Lemme_des_noyaux.html" title="Modifier la section&#160;: Hérédité">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Hérédité</span></h4>
<p>Supposons le lemme des noyaux démontré pour un <img class="tex" alt="n \in \N-\{0,1\}" src="../../../../math/8/1/1/8118a155f53f63b33c976be71e6444f2.png" />. On a <img class="tex" alt="P=P_1P_2\cdots P_{n+1}" src="../../../../math/4/c/c/4cccd8096d3e61707a99dde5aecbebd3.png" />. On pose <img class="tex" alt="Q_1=P_1P_2\cdots P_n" src="../../../../math/8/9/9/899608aa633795432109938e64fd60f7.png" /> et <span class="texhtml"><i>Q</i><sub>2</sub> = <i>P</i><sub><i>n</i> + 1</sub></span>. On a donc <span class="texhtml"><i>P</i> = <i>Q</i><sub>1</sub><i>Q</i><sub>2</sub></span>. Les polynômes <span class="texhtml"><i>Q</i><sub>1</sub></span> et <span class="texhtml"><i>Q</i><sub>2</sub></span> sont premiers entre eux, donc d'après l'étude ci-dessus, on a <img class="tex" alt="\ker P(f)=\ker Q_1(f) \oplus \ker Q_2(f)" src="../../../../math/a/4/e/a4e13e7e577fa36b977ab5c4fd34ae50.png" />. Or en appliquant l'hypothèse de récurrence, <img class="tex" alt="\ker Q_1(f)= \ker P_1(f) \oplus \cdots \oplus \ker P_n(f)" src="../../../../math/1/4/e/14e67b77b567b20c629d8fd47818f52c.png" />. Finalement,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\ker P(f)=\ker Q_1(f) \oplus \ker Q_2(f)= [\ker P_1(f) \oplus \cdots \oplus \ker P_n(f)]\oplus \ker P_{n+1}(f)=\bigoplus_{i=1}^{n+1} \ker P_i(f);" src="../../../../math/6/0/3/603a1ad3a1e9863aa2f0cb76f3d9fd6e.png" /></dd>
</dl>
<p>ce qui montre que le lemme des noyaux est vrai pour <span class="texhtml"><i>n</i> + 1</span>.</p>
<p><a name="Applications" id="Applications"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/l/e/m/Lemme_des_noyaux.html" title="Modifier la section&#160;: Applications">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Applications</span></h2>
<p>Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple&#160;:</p>
<div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;">
<p><strong class="theoreme-nom">Réduction à une forme diagonale par blocs</strong><span class="theoreme-tiret">&#160;—&#160;</span>Soit <span class="texhtml"><i>E</i></span> un espace vectoriel de <a href="../../../../articles/d/i/m/Dimension.html" title="Dimension">dimension</a> finie sur un corps <span class="texhtml"><i>K</i></span> et soit <span class="texhtml"><i>f</i></span> un endomorphisme de <span class="texhtml"><i>E</i></span>. Soit <img class="tex" alt="P\in K[X]" src="../../../../math/4/f/a/4facb36da11821b818abd66b424a6a76.png" /> un <a href="../../../../articles/p/o/l/Polyn%C3%B4me_annulateur.html" class="mw-redirect" title="Polynôme annulateur">polynôme annulateur</a> de <span class="texhtml"><i>f</i></span> (par exemple son <a href="../../../../articles/p/o/l/Polyn%C3%B4me_caract%C3%A9ristique.html" title="Polynôme caractéristique">polynôme caractéristique</a>, d'après le <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cayley-Hamilton_4ba6.html" title="Théorème de Cayley-Hamilton">théorème de Cayley-Hamilton</a>) et <img class="tex" alt="\prod_{i=1}^n P_i" src="../../../../math/0/e/7/0e70d79b0d614716d1b0deb02dbf442c.png" /> une factorisation de <span class="texhtml"><i>P</i></span> dont les facteurs sont deux à deux premiers entre eux. Alors il existe une <a href="../../../../articles/b/a/s/Base_%28alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire%29.html" title="Base (algèbre linéaire)">base</a> <img class="tex" alt="\mathcal{B}" src="../../../../math/8/d/7/8d7c27e339945f6c96cc234d1248d3fc.png" /> de <span class="texhtml"><i>E</i></span> et des matrices <img class="tex" alt="A_i \in \mathbf{M}_{n_i}(K)" src="../../../../math/3/2/9/329723228a1552f2cd4cb7b2617bfecc.png" /> telles que</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(f)=\begin{pmatrix} A_1 &amp; 0 &amp; \dots &amp; 0 \\ 0 &amp; A_2 &amp; \dots &amp; 0 \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 0 &amp; 0 &amp; \dots &amp; A_n \end{pmatrix};" src="../../../../math/d/1/f/d1f3763ea5b65c3a037fd9f5a5e7b150.png" /></dd>
</dl>
<p>où <span class="texhtml"><i>n</i><sub><i>i</i></sub> = dimker<i>P</i><sub><i>i</i></sub>(<i>f</i>)</span>.</p>
</div>
<div class="NavFrame demonstration" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify;">
<div class="NavHead" style="background-color:transparent; padding:0;"><strong>Démonstration</strong></div>
<div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">
<p>Par hypothèse <span class="texhtml">ker<i>P</i>(<i>f</i>) = <i>E</i></span>, donc, d'après le lemme des noyaux&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="E=\bigoplus_{i=1}^n \ker P_i(f)." src="../../../../math/7/4/b/74bf62532c23fb73d338869f71815c80.png" /></dd>
</dl>
<p>Chaque sous-espace <span class="texhtml">ker<i>P</i><sub><i>i</i></sub>(<i>f</i>)</span> est stable par <span class="texhtml"><i>f</i></span>, donc la matrice de <span class="texhtml"><i>f</i></span> dans n'importe quelle base de <span class="texhtml"><i>E</i></span> adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.</p>
</div>
<div style="clear:both;"></div>
</div>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>


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	  </div>
	</div>
		<div id="p-search" class="portlet">
	  <h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5>
	  <div id="searchBody" class="pBody">
	    <form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div>
	      <input id="searchInput" name="search" type="text"
	        accesskey="C" value="" />
	      <input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton"
	        value="Aller" />
	    </div></form>
	  </div>
	</div>
	      </div><!-- end of the left (by default at least) column -->
      <div class="visualClear"></div>
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