Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/b/â/t/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Bâtons de Napier - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Bâtons de Napier</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="floatright"><span><a href="../../../../articles/b/a/t/Image%7EBatons_de_Napier.png_ec2e.html" class="image" title="Batons de Napier.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/5/54/Batons_de_Napier.png" width="421" height="390" border="0" /></a></span></div>
<p>Le mathématicien écossais <a href="../../../../articles/j/o/h/John_Napier_b0fa.html" title="John Napier">John Napier</a> inventa en <a href="../../../../articles/1/6/1/1617.html" title="1617">1617</a> un <a href="../../../../articles/a/b/a/Abaque_%28calcul%29.html" title="Abaque (calcul)">abaque</a> facilitant le calcul des produits, quotients, puissances et racines, qui est connue en français sous le nom de <b>bâtons de Napier</b>.</p>
<p>Napier, qui est déjà inventeur des <a href="../../../../articles/l/o/g/Logarithme_naturel.html" title="Logarithme naturel">logarithmes</a> qui portent son nom, décrit sa nouvelle invention dans son ouvrage <i>Rhabdologie</i> (du Grec ραβδoς, règle, et λóγoς, étude). Comme pour les logarithmes, son procédé est basé sur la transformation de puissances en produits et de racines en divisions.</p>
<p>L'abaque est constituée d'un <b>plateau</b> à rebord sur lequel peuvent être placées des réglettes gravées. Le bord gauche du plateau est gravé lui aussi, divisé en neuf cases numérotées de 1 à 9. Les dix types de réglettes, qui ont donné leur nom à l'ensemble du dispositif, étaient originellement en os, d'où le nom anglais de <i>Napier's bones</i>. Elles sont divisées en neuf cases. La case supérieure porte un nombre de 0 à 9. Les huit autres cases sont divisées en deux par un trait diagonal.</p>
<p>Sur chaque réglette est portée la <a href="../../../../articles/t/a/b/Table_de_multiplication.html" title="Table de multiplication">table de multiplication</a> du nombre qui apparaît sur la case supérieure. Ainsi sur la réglette qui débute par le 7, les cases suivantes contiendront 14, 21, 28, ... jusqu'à 63. Ce sont des nombres à deux chiffres, on fait figurer le chiffre des dizaines et celui des unités de part et d'autre du trait diagonal (voir illustration ci-contre).</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Principe_de_la_multiplication_et_de_la_division"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Principe de la multiplication et de la division</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Multiplication_par_un_nombre_inf.C3.A9rieur_.C3.A0_10"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Multiplication par un nombre inférieur à 10</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Multiplication_de_nombres_.C3.A0_plusieurs_chiffres"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">Multiplication de nombres à plusieurs chiffres</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Application_.C3.A0_la_division"><span class="tocnumber">1.3</span> <span class="toctext">Application à la division</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Histoire_et_.C3.A9volution"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Histoire et évolution</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Extraction_de_racine_carr.C3.A9e"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Extraction de racine carrée</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Description_du_mode_op.C3.A9ratoire_sur_un_exemple"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">Description du mode opératoire sur un exemple</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Justification"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">Justification</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Sources"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Sources</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Liens_externes"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Liens externes</span></a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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//<![CDATA[
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//]]>
</script>
<p><a name="Principe_de_la_multiplication_et_de_la_division" id="Principe_de_la_multiplication_et_de_la_division"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Principe de la multiplication et de la division">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Principe de la multiplication et de la division</span></h2>
<p><a name="Multiplication_par_un_nombre_inf.C3.A9rieur_.C3.A0_10" id="Multiplication_par_un_nombre_inf.C3.A9rieur_.C3.A0_10"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Multiplication par un nombre inférieur à 10">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Multiplication par un nombre inférieur à 10</span></h3>
<p>À titre d'exemple, on effectue le produit de <b>46 785 399</b> par <b>7</b>. Pour cela, on forme le nombre 46 785 399 sur la partie supérieure du tableau. On lit ensuite sur la septième ligne le résultat de la mutliplication de chaque chiffre par 7. La disposition obtenue est telle que le résultat se lit directement en sommant les chiffres qui apparaissent dans les bandes diagonales, de droite à gauche et avec <a href="../../../../articles/t/e/c/Technique_de_l%27addition.html" title="Technique de l'addition">retenues</a> si nécessaire.</p>
<div class="center">
<div class="floatnone"><span><a href="../../../../articles/n/a/p/Image%7ENapier-example-1.png_bccf.html" class="image" title="Napier-example-1.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/3/37/Napier-example-1.png" width="659" height="185" border="0" /></a></span></div>
</div>
<p>Sur l'exemple on obtient successivement les unités (3), dizaines (6+3=9), centaines (6+1=7), etc.</p>
<p><a name="Multiplication_de_nombres_.C3.A0_plusieurs_chiffres" id="Multiplication_de_nombres_.C3.A0_plusieurs_chiffres"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Multiplication de nombres à plusieurs chiffres">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Multiplication de nombres à plusieurs chiffres</span></h3>
<p>On multiplie cette fois <b>46 785 399</b> par <b>96 431</b>. On trouve facilement par le procédé précédent les produits partiels par 9, 6, 4, 3 et 1. Il reste simplement à les placer de façon adéquate et à les sommer.</p>
<div class="center">
<div class="floatnone"><span><a href="../../../../articles/n/a/p/Image%7ENapier_example_2.png_c68e.html" class="image" title="Napier example 2.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/2/2b/Napier_example_2.png" width="496" height="185" border="0" /></a></span></div>
</div>
<p><a name="Application_.C3.A0_la_division" id="Application_.C3.A0_la_division"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Application à la division">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Application à la division</span></h3>
<p>Le fait de disposer d'un algorithme de calcul des produits facilite également la <a href="../../../../articles/d/i/v/Division.html" title="Division">division</a>. On suit la disposition de l'<a href="../../../../articles/p/o/s/Poser_une_division.html" title="Poser une division">algorithme traditionnel de calcul de la division</a>. Parallèlement, on forme sur la première ligne du plateau la suite des chiffres du diviseur, ce qui permet de lire très rapidement le produit du diviseur par les chiffres de 1 à 9. Il suffit de choisir parmi eux celui qui est immédiatement inférieur au dividende. On calcule alors le reste par soustraction, et on poursuit l'algorithme.</p>
<div class="center">
<div class="floatnone"><span><a href="../../../../articles/a/b/a/Image%7EAbaco_de_Napier_%28ejemplo3%29.png_2af0.html" class="image" title="Abaco de Napier (ejemplo3).png"><img alt="" src="../../../../images/shared/f/f6/Abaco_de_Napier_(ejemplo3).png" width="417" height="185" border="0" /></a></span></div>
</div>
<p>Bien entendu, cette technique s'applique aussi bien pour déterminer le résultat d'une <a href="../../../../articles/d/i/v/Division_euclidienne.html" title="Division euclidienne">division entière avec reste</a>, que d'une division à virgule.</p>
<p><a name="Histoire_et_.C3.A9volution" id="Histoire_et_.C3.A9volution"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Histoire et évolution">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Histoire et évolution</span></h2>
<p>Le système des bâtons de Napier est une amélioration de la <a href="../../../../articles/t/e/c/Technique_de_la_multiplication_par_jalousies.html" title="Technique de la multiplication par jalousies">technique de la multiplication par jalousies</a> (<i>per gelosia</i>).</p>
<div class="floatleft"><span><a href="../../../../articles/n/a/p/Image%7ENapier_Modification.png_7e21.html" class="image" title="Napier Modification.png"><img alt="" src="../../../../images/shared/3/3f/Napier_Modification.png" width="301" height="239" border="0" /></a></span></div>
<p>Au cours du <a href="../../../../articles/x/i/x/XIXe_si%C3%A8cle_ab42.html" title="XIXe siècle"><span class="romain" title="Nombre écrit en chiffres romains">XIX</span><sup class="exposant">e</sup> siècle</a>, l'abaque connut une amélioration, avec l'introduction de bâtons inclinés de l'ordre de 65º par rapport au bord du plateau, et dont les cases sont délimitées de façon différente, par des traits parallèles au bord du plateau (voir la figure). L'avantage est de mieux faire apparaître le résultat du produit puisque les cases triangulaires dont il faut ajouter le contenu apparaissent l'une au-dessus de l'autre.</p>
<p>Pour faciliter encore la lecture, les gravures délimitant les cases sont rendues bien visibles, plus que les bords des bâtons. Les produits partiels apparaissent alors très clairement, avec par exemple, sur la figure ci-contre</p>
<dl>
<dd>987654321 x 5 = 4938271605</dd>
</dl>
<p>À la fin du <a href="../../../../articles/x/i/x/XIXe_si%C3%A8cle_ab42.html" title="XIXe siècle"><span class="romain" title="Nombre écrit en chiffres romains">XIX</span><sup class="exposant">e</sup> siècle</a> un nouveau procédé est introduit : les <a href="../../../../articles/r/%C3%A9/g/R%C3%A9glettes_de_Genaille-Lucas_7bb3.html" title="Réglettes de Genaille-Lucas">réglettes de Genaille-Lucas</a> rendent les calculs de produits plus automatiques en prenant en compte les additions nécessaires lors des produits partiels. Seule reste à effectuer à la main l'addition finale.</p>
<p><a name="Extraction_de_racine_carr.C3.A9e" id="Extraction_de_racine_carr.C3.A9e"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Extraction de racine carrée">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Extraction de racine carrée</span></h2>
<p><a name="Description_du_mode_op.C3.A9ratoire_sur_un_exemple" id="Description_du_mode_op.C3.A9ratoire_sur_un_exemple"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Description du mode opératoire sur un exemple">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Description du mode opératoire sur un exemple</span></h3>
<p>En ajoutant une baguette spécifique (en jaune sur les figures ci-dessous), il est possible de calculer rapidement des racines carrées. Cette baguette jaune contient les carrés des nombres de 1 à 9.</p>
<p>Soit à calculer la <a href="../../../../articles/r/a/c/Racine_carr%C3%A9e.html" title="Racine carrée">racine carrée</a> de 46 785 399. La méthode utilise fortement les puissances du nombre <a href="../../../../articles/c/e/n/Cent.html" title="Cent">cent</a> comme il sera expliqué par la suite. Elle s'applique à un nombre ayant un nombre pair de chiffres avant la virgule (au besoin on peut rajouter un zéro avant). Sur l'exemple donné, les étapes sont les suivantes.</p>
<ul>
<li>Détermination du premier chiffre de la racine carrée</li>
</ul>
<dl>
<dd>
<ul>
<li>isoler les deux premiers chiffres du nombre initial (46, marqués en rouge)</li>
<li>chercher le chiffre dont le carré précède immédiatement 46 : ici le chiffre 6 ; il constitue le premier chiffre du résultat</li>
<li>soustraire le carré de 6 à 46 : reste 10, et abaisser deux chiffres suivants du nombre initial. On obtient 1078 nombre avec lequel l'algorithme se poursuit.</li>
</ul>
</dd>
</dl>
<ul>
<li>Détermination du second chiffre de la racine carrée</li>
</ul>
<dl>
<dd>
<ul>
<li>doubler le premier chiffre de la racine (6 x 2 donne 12), le former sur la première ligne du plateau, et ajouter la baguette jaune à la suite</li>
<li>parmi tous les nombres qui apparaissent en ligne chercher celui qui précède immédiatement 1078 : ici c'est 1024 dans la ligne 8</li>
<li>le deuxième chiffre de la racine carrée est donc 8, on forme 1078 - 1024 = 54 et on abaisse deux nouveaux chiffres, l'algorithme se poursuivra avec 5453.</li>
</ul>
</dd>
</dl>
<div class="center">
<div class="floatnone"><span><a href="../../../../articles/a/b/a/Image%7EAbaco_de_Napier_%28raiz_cuadrada%29.png_acde.html" class="image" title="Abaco de Napier (raiz cuadrada).png"><img alt="" src="../../../../images/shared/7/79/Abaco_de_Napier_(raiz_cuadrada).png" width="754" height="418" border="0" /></a></span></div>
</div>
<ul>
<li>Détermination du troisième chiffre de la racine carrée</li>
</ul>
<dl>
<dd>
<ul>
<li>doubler le second chiffre de la racine (8 x 2 donne 16), le rajouter au nombre déjà formé multiplié par 10 (12 x 10 + 16 = 136), et ajouter la baguette jaune à la suite</li>
<li>parmi tous les nombres apparaissant en ligne celui qui précède immédiatement 5453 est 4089, en ligne 3</li>
<li>le troisième chiffre de la racine carrée est donc 3, on forme 5453 - 4089 = 1364 et on poursuit en abaissant deux chiffres</li>
</ul>
</dd>
</dl>
<ul>
<li>ensuite l'algorithme se poursuit : le chiffre suivant est un 9. On peut poursuivre indéfiniment après la virgule, en abaissant des "00" à chaque étape. Mais il faut placer une virgule dans le résultat au moment où on utilise des chiffres après la virgule dans le nombre initial.</li>
</ul>
<p><a name="Justification" id="Justification"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Justification">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Justification</span></h3>
<p>L'idée sous-jacente à l'algorithme est l'utilisation des puissances de 100. Concrètement, cela revient à grouper les chiffres deux par deux, de part et d'autre de la virgule, selon le schéma suivant (en ajoutant, au besoin, un zéro avant le premier chiffre)</p>
<dl>
<dd>... xx xx xx xx <b>,</b> xx xx xx ...</dd>
</dl>
<p>Ce qui revient par exemple à écrire</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="46785399=46\times 100^3+78\times 100^2+53\times 100^1+99\times 100^0" src="../../../../math/b/2/3/b23a315a5ab1efc92242060ee7e9fa7e.png" /></dd>
</dl>
<p>La première étape consiste à casser le premier terme en un carré parfait plus un terme résiduel qui va s'ajouter avec le second terme</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="46785399=(6\times 10^3)^2+1078\times 100^2+53\times 100^1+99\times 100^0" src="../../../../math/9/6/f/96f46426952ebca45fe791b2c7bc2625.png" /></dd>
</dl>
<p>À l'issue de la seconde étape on désire aboutir à un résultat de la forme</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="46785399=(6\times 10^3+a\times 10^2)^2+R\times 100^1+99\times 100^0" src="../../../../math/3/7/b/37b65510fdf8d805ad2e2c3777141bc7.png" /></dd>
</dl>
<p>où <i>a</i> est un chiffre de 0 à 9 et <i>R</i> le plus petit possible. En développant et en refactorisant, on peut mettre cela sous la forme</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="46785399=(6\times 10^3)^2+\left(2\times 6\times 10 + a\right)\times a\times (10^2)^2+R\times 100^1+99\times 100^0" src="../../../../math/b/7/6/b76ce0810dcd9c12006c8f57a20e2367.png" /></dd>
</dl>
<p>Justement, le procédé décrit ci-dessus est celui qui permet de trouver <i>a</i> convenable, le plus grand possible, comme le montrent les calculs gravés sur la planche 1. Il n'y a plus qu'à calculer <i>R</i> et à poursuivre.</p>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<p><a name="Sources" id="Sources"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Sources">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Sources</span></h3>
<ul>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : espagnol">(es)</span> <i>Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano</i>, Montaner i Simon (1887).</li>
</ul>
<p><a name="Liens_externes" id="Liens_externes"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/%C3%A2/t/B%C3%A2tons_de_Napier_9ce9.html" title="Modifier la section : Liens externes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Liens externes</span></h3>
<ul>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue : anglais">(en)</span> <a href="http://www.cut-the-knot.org/blue/Napier.shtml" class="external text" title="http://www.cut-the-knot.org/blue/Napier.shtml" rel="nofollow">Une abaque en ligne en java</a> fonctionnant dans différentes <a href="../../../../articles/b/a/s/Base_%28arithm%C3%A9tique%29.html" title="Base (arithmétique)">bases</a>.</li>
<li><a href="http://www.dma.ens.fr/culturemath/materiaux/poissard/fiche4.pdf" class="external text" title="http://www.dma.ens.fr/culturemath/materiaux/poissard/fiche4.pdf" rel="nofollow">Les bâtons à multiplier</a> sur culture math</li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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