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    <title>Bivecteur - Wikipédia</title>
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      <div id="column-content">
	<div id="content">
	  <a name="top" id="contentTop"></a>
	        <h1 class="firstHeading">Bivecteur</h1>
	  <div id="bodyContent">
	    <h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
	    <div id="contentSub"></div>
	    	    	    <!-- start content -->
	    <p>En <a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre.html" title="Algèbre">algèbre</a>, le terme de <b>bivecteur</b> désigne un <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur.html" title="Tenseur">tenseur</a> antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantité <b>X</b> pouvant s'écrire</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="{\mathbf{X}} = X_{ab} {\mathbf{\omega}}^a \wedge {\mathbf{\omega}}^b " src="../../../../math/5/2/d/52d63f9308a7ed4e2a4c5f9a066ccfe8.png" />,</dd>
</dl>
<p>où les quantités <i><b>ω</b><sup class="exposant">a</sup></i> sont des <a href="../../../../articles/f/o/r/Forme_lin%C3%A9aire.html" title="Forme linéaire">formes linéaires</a> et le signe <img class="tex" alt="\wedge" src="../../../../math/1/b/a/1ba4f06f68614e5da79a8ebd378d532a.png" /> désigne le <a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_ext%C3%A9rieur.html" title="Produit extérieur">produit extérieur</a>.</p>
<p>Un bivecteur peut être vu comme une <a href="../../../../articles/a/p/p/Application_lin%C3%A9aire.html" title="Application linéaire">application linéaire</a> agissant sur les <a href="../../../../articles/v/e/c/Vecteur.html" title="Vecteur">vecteurs</a> et les transformant en formes linéaires. Les coefficients <i>X<small style="line-height:1.5em;font-size:80%"><sub>ab</sub></small></i> peuvent être vus comme formant une <a href="../../../../articles/m/a/t/Matrice_%28alg%C3%A8bre%29.html" class="mw-redirect" title="Matrice (algèbre)">matrice</a> antisymétrique.</p>
<p>Les bivecteurs sont abondamment utilisées en <a href="../../../../articles/r/e/l/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9rale.html" title="Relativité générale">relativité générale</a>, où plusieurs tenseurs peuvent être reliés à des bivecteurs. En particulier, le <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique.html" title="Tenseur électromagnétique">tenseur électromagnétique</a> est un bivecteur, et le <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur_de_Weyl_d2fb.html" title="Tenseur de Weyl">tenseur de Weyl</a> peut être vu comme une application agissant sur les bivecteurs. Ce fait est d'ailleurs à l'orginie d'une classification des différents espaces en fonction des caractéristiques que présentent leur tenseur de Weyl dans ce contexte&#160;: il s'agit de la classification de Petrov.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9finitions_vari.C3.A9es"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Définitions variées</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2"><a href="#Bivecteur_simple"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Bivecteur simple</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Bivecteur_dual"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">Bivecteur dual</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Bivecteur_autodual"><span class="tocnumber">1.3</span> <span class="toctext">Bivecteur autodual</span></a></li>
<li class="toclevel-2"><a href="#Vecteur_tridimensionnel_complexe_associ.C3.A9_.C3.A0_un_bivecteur"><span class="tocnumber">1.4</span> <span class="toctext">Vecteur tridimensionnel complexe associé à un bivecteur</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Un_exemple_:_le_tenseur_.C3.A9lectromagn.C3.A9tique"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Un exemple&#160;: le tenseur électromagnétique</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#R.C3.A9f.C3.A9rence"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Référence</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Note"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Note</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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</script>
<p><a name="D.C3.A9finitions_vari.C3.A9es" id="D.C3.A9finitions_vari.C3.A9es"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Définitions variées">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Définitions variées</span></h2>
<p><a name="Bivecteur_simple" id="Bivecteur_simple"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Bivecteur simple">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bivecteur simple</span></h3>
<p>Un bivecteur <b>X</b> est dit simple s'il peut s'exprimer sous la forme du produit extérieur de deux formes linéaires <b>u</b> et <b>v</b>, c'est-à-dire si l'on a</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="{\mathbf{X}} = {\mathbf{u}} \wedge {\mathbf{v}}" src="../../../../math/0/0/4/004736d6af0c4952be1c2c308766c6cc.png" />,</dd>
</dl>
<p>ou bien, en terme de composantes,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="X_{ab} = \frac{1}{2} \left(u_a v_b - v_a u_b\right)." src="../../../../math/6/4/2/64215c734765e8e9ffde3df1fd8e4631.png" /></dd>
</dl>
<p>Dans le cas d'une forme simple, la quantité <span class="texhtml"><i>X</i><sub><i>a</i><i>b</i></sub><i>X</i><sup><i>a</i><i>b</i></sup></span> est dite de genre temps, de genre espace ou de genre lumière selon sa valeur (respectivement positive, négative et nulle dans le cas où la convention de signe de la métrique est (-+++) et respectivement négative, positive et nulle dans le cas de la convention inverse (+---)).</p>
<p><a name="Bivecteur_dual" id="Bivecteur_dual"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Bivecteur dual">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bivecteur dual</span></h3>
<p>Dans un espace à quatre dimensions sur lequel est défini une <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/t/M%C3%A9trique_riemannienne.html" title="Métrique riemannienne">métrique riemannienne</a>, on peut utiliser le <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur_de_Levi-Civita_50b6.html" title="Tenseur de Levi-Civita">tenseur de Levi-Civita</a> pour associer un bivecteur <img class="tex" alt="{\mathbf{X}}" src="../../../../math/8/3/9/839f4be4bad4bf280da5a22f0cc75614.png" /> à son bivecteur dual, noté <img class="tex" alt="\tilde{\mathbf{X}}" src="../../../../math/7/9/d/79d864cc74e4700317739bbc2a97d95f.png" />,<sup id="cite_ref-0" class="reference"><a href="#cite_note-0" title=""><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> selon la formule</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\tilde X_{ab} = \frac{1}{2} \epsilon_{abcd} X^{cd}" src="../../../../math/7/8/d/78dc93775ecb8c07624fc07b6499c65f.png" />.</dd>
</dl>
<p>Le dual d'un bivecteur dual correspond au signe près au vecteur d'origine&#160;:</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\left(\tilde X_{ab}\right){}\tilde{} = - X_{ab}" src="../../../../math/b/6/d/b6d8ddf7af4d3eaa8175f9a940fd71a8.png" />.</dd>
</dl>
<p>Deux bivecteurs <b>X</b> et <b>Y</b> satisfont à l'aide de leurs bivecteurs duaux quelques proprétés comme</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="X_{ab} \tilde Y^{ab} = \tilde X_{ab} Y^{ab}" src="../../../../math/c/f/7/cf7fcb759ffb76f5eb42f63beefece30.png" />,</dd>
<dd><img class="tex" alt="X_{ac} Y_b{}^c - \tilde X_{bc} \tilde Y_a^c = \frac{1}{2} g_{ab} X_{cd} Y^{cd}" src="../../../../math/9/e/6/9e6d446027856aaf2524cd725772ffaf.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="Bivecteur_autodual" id="Bivecteur_autodual"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Bivecteur autodual">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bivecteur autodual</span></h3>
<p>Un bivecteur complexe est dit autodual s'il satisfait à</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\tilde {\mathbf{X}} = - i {\mathbf{X}}" src="../../../../math/8/4/d/84d6003b01b9553b5de812796fe79a68.png" />.</dd>
</dl>
<p>Tout bivecteur <b>X</b> peut se voir associer un bivecteur autodual <b>X</b><sup class="exposant">*</sup> en le combinant avec son dual, selon la formule</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="{\mathbf{X}}^* = {\mathbf{X}} + i \tilde {\mathbf{X}}" src="../../../../math/8/6/0/860def6c381ac00bea90b7017362f3d7.png" />.</dd>
</dl>
<p><a name="Vecteur_tridimensionnel_complexe_associ.C3.A9_.C3.A0_un_bivecteur" id="Vecteur_tridimensionnel_complexe_associ.C3.A9_.C3.A0_un_bivecteur"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Vecteur tridimensionnel complexe associé à un bivecteur">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Vecteur tridimensionnel complexe associé à un bivecteur</span></h3>
<p>La signification physique d'un bivecteur autodual apparaît en remarquant que les six composantes indépendantes d'un bivecteur réel peuvent être transformées en un vecteur tridimensionnel complexe. Il suffit pour cela de choisir un vecteur de genre temps, <b>u</b> et de définir la quantité <i>X<small style="line-height:1.5em;font-size:80%"><sub>a</sub></small></i> par</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="X_a =  X^*_{ab} u^b" src="../../../../math/d/7/4/d7492811a591f9c42eb7f7d3f4d4daa7.png" />.</dd>
</dl>
<p>Un calcul simple permet immédiatement de reconstituer le bivecteur original, par</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="X_{ab}^* = 2 u_{[a} X_{b]} + i \epsilon_{abcd} u^c X^d = 2 \left(u_{[a} X_{b]} \right)^*" src="../../../../math/3/5/b/35b14f202794bb32a1852c859ee4abdc.png" />.</dd>
</dl>
<p><a name="Un_exemple_:_le_tenseur_.C3.A9lectromagn.C3.A9tique" id="Un_exemple_:_le_tenseur_.C3.A9lectromagn.C3.A9tique"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Un exemple&#160;: le tenseur électromagnétique">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Un exemple&#160;: le tenseur électromagnétique</span></h2>
<p>Le <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique.html" title="Tenseur électromagnétique">tenseur électromagnétique</a> est un tenseur antisymétrique d'ordre 2. C'est donc un bivecteur. Le vecteur <i>X</i> calculé par la méthode ci-dessus donne</p>
<dl>
<dd><span class="texhtml"><i>X</i><sup><i>j</i></sup> = <i>E</i><sup><i>j</i></sup> − <i>i</i><i>c</i><i>B</i><sup><i>j</i></sup></span>.</dd>
</dl>
<p><a name="R.C3.A9f.C3.A9rence" id="R.C3.A9f.C3.A9rence"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Référence">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Référence</span></h2>
<ul>
<li><span style="cursor:help;font-family:monospace;font-weight:bold;font-size:small" title="Langue&#160;: anglais">(en)</span> D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum &amp; E. Herlt, <i>Exact solutions of Einstein's field equations</i>, <a href="../../../../articles/c/a/m/Cambridge_University_Press_6c23.html" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <a href="../../../../articles/c/a/m/Cambridge.html" title="Cambridge">Cambridge</a>, <a href="../../../../articles/a/n/g/Angleterre.html" title="Angleterre">Angleterre</a>, 1980, 428 pages <small>(<a href="../../../../articles/o/u/v/Special%7EOuvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence_0521230411_1fc0.html" class="internal">ISBN 0521230411</a>)</small>, pages 47 à 49.</li>
</ul>
<p><a name="Note" id="Note"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/v/Bivecteur.html" title="Modifier la section&#160;: Note">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Note</span></h2>
<div style="font-size: 85%">
<ol class="references">
<li id="cite_note-0"><span class="renvois_vers_le_texte"><a href="#cite_ref-0" title="">↑</a></span> Dans de nombreuses références, le dual, au sens de <a href="../../../../articles/d/u/a/Dualit%C3%A9_de_Hodge_6c0f.html" title="Dualité de Hodge">dualité de Hodge</a> est noté avec une astérisque et non un «&#160;~&#160;». Cependant, dans le cas des bivecteurs, l'astérisque est réservée à bivecteur autodual. Ainsi, la quantité notée <i>F</i><sup class="exposant">*</sup> dans l'article <a href="../../../../articles/t/e/n/Tenseur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique.html" title="Tenseur électromagnétique">tenseur électromagnétique</a> correspond-elle à la quantité <img class="tex" alt="\tilde F" src="../../../../math/1/0/0/100d8315236ad136e328ced7f58a99bc.png" />.</li>
</ol>
</div>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/i/c/o/Image%7EIcosahedron.jpg_f99b.html" class="image" title="Icône du portail de la géométrie"><img alt="Icône du portail de la géométrie" src="../../../../images/shared/thumb/e/eb/Icosahedron.jpg/25px-Icosahedron.jpg" width="25" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/g/%C3%A9/o/Portail%7EG%C3%A9om%C3%A9trie_99f5.html" title="Portail:Géométrie">Portail de la géométrie</a></span></span></li>
</ul>


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	  </div>
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      </div>
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