Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/b/i/l/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="fr" lang="fr" dir="ltr">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<!-- headlinks removed -->
<link rel="shortcut icon" href="../../../../misc/favicon.ico"/>
<title>Billard de Sinai - Wikipédia</title>
<style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../skins/offline/main.css"; /*]]>*/</style>
<link rel="stylesheet" type="text/css" media="print" href="../../../../skins/common/commonPrint.css" />
<!--[if lt IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE50Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE55Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 6]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE60Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE]><script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/IEFixes.js"></script>
<meta http-equiv="imagetoolbar" content="no" /><![endif]-->
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/wikibits.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/md5.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/utf8.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/lookup.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../raw/gen.js"></script> <style type="text/css">/*<![CDATA[*/
@import "../../../../raw/MediaWiki%7ECommon.css";
@import "../../../../raw/MediaWiki%7EMonobook.css";
@import "../../../../raw/gen.css";
/*]]>*/</style> </head>
<body
class="ns-0">
<div id="globalWrapper">
<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Billard de Sinai</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="plainlinks bandeau-niveau-ebauche bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="text-align:center;white-space:nowrap"><a href="../../../../articles/l/o/g/Image%7ELogo_physics.svg_c46c.html" class="image" title="Logo physics.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/c/cc/Logo_physics.svg/35px-Logo_physics.svg.png" width="35" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Cet article est une <a href="../../../../articles/%C3%A9/b/a/Aide%7E%C3%89bauche_a94d.html" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant la <a href="../../../../articles/p/h/y/Portail%7EPhysique_e73e.html" title="Portail:Physique">physique</a>.</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. <b>(<a href="../../../../articles/c/o/m/Aide%7EComment_modifier_une_page_32be.html" title="Aide:Comment modifier une page">Comment ?</a>)</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>Le <b>billard de Sinai</b> est un <a href="../../../../articles/s/y/s/Syst%C3%A8me_dynamique.html" title="Système dynamique">système dynamique</a> à deux <a href="../../../../articles/d/e/g/Degr%C3%A9_de_libert%C3%A9.html" title="Degré de liberté">degrés de liberté</a> très simple à décrire, et qui présente des propriétés <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_du_chaos.html" title="Théorie du chaos">chaotiques</a> intéressantes.</p>
<p>La table du billard de <a href="../../../../articles/y/a/k/Yakov_Sinai_0ddf.html" title="Yakov Sinai">Sinai</a> est un carré de coté <i>a</i> au centre duquel a été placé un obstacle circulaire de rayon <i>R < a</i>. La table est plate, <i>sans courbure</i>, et placée horizontalement dans le champ de pesanteur uniforme. Le référentiel du laboratoire étant supposé galiléen, un point matériel se déplaçant sans frottements sur ce billard est un système conservatif qui effectue un mouvement rectiligne uniforme entre deux collisions avec les frontières. Lorsque le point matériel rencontre une frontière (le bord du carré, ou le bord de l'obstacle circulaire situé au centre), il subit un <a href="../../../../articles/c/h/o/Choc_%C3%A9lastique.html" title="Choc élastique">choc élastique</a>.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Origine_du_mod.C3.A8le"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Origine du modèle</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Propri.C3.A9t.C3.A9s_du_mod.C3.A8le"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Propriétés du modèle</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Articles_li.C3.A9s"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Articles liés</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Bibliographie"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Bibliographie</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Notes"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Notes</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
<script type="text/javascript">
//<![CDATA[
if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "afficher"; var tocHideText = "masquer"; showTocToggle(); }
//]]>
</script>
<p><a name="Origine_du_mod.C3.A8le" id="Origine_du_mod.C3.A8le"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/l/Billard_de_Sinai_65ef.html" title="Modifier la section : Origine du modèle">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Origine du modèle</span></h2>
<p>Le « gaz de sphères dures » est le système princeps de la <a href="../../../../articles/p/h/y/Physique_statistique.html" title="Physique statistique">mécanique statistique</a>, étudié dès les origines par les pères fondateurs <a href="../../../../articles/m/a/x/Maxwell.html" title="Maxwell">Maxwell</a> et <a href="../../../../articles/b/o/l/Boltzmann.html" title="Boltzmann">Boltzmann</a>. On considère <i>N</i> atomes, modélisés par des sphères dures impénétrables, confinés dans une enceinte, interagissants seulement par collisions mutuelles ou avec les parois du récipient (interactions de contact). Pour un gaz macroscopique, le nombre <i>N</i> d'atomes est de l'ordre de grandeur du <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_d%27Avogadro_3e2b.html" title="Nombre d'Avogadro">nombre d'Avogadro</a>. Afin de justifier les fondements de la <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/M%C3%A9canique_statistique.html" class="mw-redirect" title="Mécanique statistique">mécanique statistique</a>, Boltzmann avait introduit une « <a href="../../../../articles/h/y/p/Hypoth%C3%A8se_ergodique.html" title="Hypothèse ergodique">hypothèse ergodique</a> » qui a longtemps semblée impossible à démontrer rigoureusement.</p>
<p>Le billard de Sinai émerge de l'étude de la dynamique du plus simple des gaz de « sphères dures » : le gaz composé seulement de <i>deux atomes</i> évoluants dans une enceinte <i>bidimensionnelle</i>. Les deux « disques durs » (nous sommes en dimensions 2) évoluent à l'intérieur d'un domaine plan carré, les disques subissant chacun des collisions élastiques sur les bords du carré, ansi que des collisions mutuelles. En éliminant les degrés de liberté du centre de masse, cette dynamique se réduit à celle du billard de Sinai. Ce modèle de deux particules en interaction par collisions est parfois appelé « <b>gaz de Lorentz</b> »</p>
<p><a name="Propri.C3.A9t.C3.A9s_du_mod.C3.A8le" id="Propri.C3.A9t.C3.A9s_du_mod.C3.A8le"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/l/Billard_de_Sinai_65ef.html" title="Modifier la section : Propriétés du modèle">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Propriétés du modèle</span></h2>
<p>Le billard de Sinai est un prototype de <a href="../../../../articles/m/%C3%A9/c/M%C3%A9canique_hamiltonienne.html" title="Mécanique hamiltonienne">système hamiltonien</a> qui exhibe des propriétés chaotiques intéressantes : il est en effet <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_ergodique.html" title="Théorie ergodique">ergodique</a>. Il possède même un <a href="../../../../articles/e/x/p/Exposant_de_Lyapounov_99cb.html" title="Exposant de Lyapounov">exposant de Lyapounov</a> positif, signe du phénomène de <a href="../../../../articles/s/e/n/Sensibilit%C3%A9_aux_conditions_initiales.html" title="Sensibilité aux conditions initiales">sensibilité aux conditions initiales</a>.</p>
<p><br /></p>
<div class="plainlinks bandeau-niveau-information bandeau">
<table style="background-color:transparent">
<tr>
<td class="bandeau-icone">
<div style="width:45px; text-align:center"><a href="../../../../articles/w/p/-/Image%7EWP-TranslationProject_TwoFlags.svg_10ab.html" class="image" title="WP-TranslationProject TwoFlags.svg"><img alt="" src="../../../../images/shared/thumb/9/91/WP-TranslationProject_TwoFlags.svg/35px-WP-TranslationProject_TwoFlags.svg.png" width="35" height="35" border="0" /></a></div>
</td>
<td>
<div class="bandeau-titre"><strong>Vous venez de demander une traduction de Billard de Sinai</strong></div>
<div class="bandeau-texte">Veuillez créer <a href="../../../../articles/t/r/a/Projet%7ETraduction___Aide_0939.html" class="mw-redirect" title="Projet:Traduction/*/Aide"><small>(exemple détaillé)</small></a> la sous-page qui assurera le suivi du processus de traduction en cliquant sur <b>Projet:Traduction/Billard de Sinai</b>.</div>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<p>Sinai's great achievement with this model was to show that the classical Boltzmann-Gibbs ensemble for an ideal gas is essentially the maximally chaotic Hadamard billiards.</p>
<p><a name="Articles_li.C3.A9s" id="Articles_li.C3.A9s"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/l/Billard_de_Sinai_65ef.html" title="Modifier la section : Articles liés">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Articles liés</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/h/y/p/Hypoth%C3%A8se_ergodique.html" title="Hypothèse ergodique">Hypothèse ergodique</a></li>
<li><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_ergodique.html" title="Théorie ergodique">Théorie ergodique</a></li>
<li><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_du_chaos.html" title="Théorie du chaos">Théorie du chaos</a></li>
<li><a href="../../../../articles/s/y/s/Syst%C3%A8me_dynamique.html" title="Système dynamique">Système dynamique</a></li>
<li><a href="../../../../articles/p/h/y/Physique_statistique.html" title="Physique statistique">Physique statistique</a></li>
</ul>
<p><a name="Bibliographie" id="Bibliographie"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/l/Billard_de_Sinai_65ef.html" title="Modifier la section : Bibliographie">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bibliographie</span></h2>
<ul>
<li>Yakov G. Sinai, <i>On the Foundations of the Ergodic Hypothesis for a Dynamical System of Statistical Mechanics</i>, Dokl. Acad. Nauk. <b>153</b> (1963) No. 6. Traduction anglaise : Sov. Math Dokl. <b>4</b> (1963), 1818-1822).</li>
<li>Yakov G. Sinai, <i>Dynamical Systems with Elastic Reflections</i>, Russian Math. Surveys <b>25</b> (1970), 137-191.</li>
<li>Vladimir I. Arnold & André Avez ; <i>Ergodic Problems of Classical Mechanics</i>, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989), ASIN 0201094061.</li>
<li>D. Heitmann, J.P. Kotthaus, <i>The Spectroscopy of Quantum Dot Arrays</i>, Physics Today (1993), 56-63. Revue des tests expérimentaux de versions quantiques du billard de Sinai réalisées comme structures mésoscopiques (à l'échelle nanométrique) sur des substrats de silicium.</li>
<li>S. Sridhar and W. T. Lu, <i><a href="http://sagar.physics.neu.edu/preprints/sinai-ruelle-jsp2002.pdf" class="external text" title="http://sagar.physics.neu.edu/preprints/sinai-ruelle-jsp2002.pdf" rel="nofollow">Sinai Billiards, Ruelle Zeta-functions and Ruelle Resonances: Microwave Experiments</a></i>, Journal of Statistical Physics <b>108 (5/6)</b> (2002), 755-766.</li>
<li>Linas Vepstas, <i><a href="http://www.linas.org/art-gallery/billiards/billiards.html" class="external text" title="http://www.linas.org/art-gallery/billiards/billiards.html" rel="nofollow">Sinai's Billiards</a></i>, (2001). (Provides ray-traced images of Sinai's billiards in three-dimensional space. These images provide a graphic, intuitive demonstration of the strong ergodicity of the system.)</li>
</ul>
<p><a name="Notes" id="Notes"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/l/Billard_de_Sinai_65ef.html" title="Modifier la section : Notes">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Notes</span></h2>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/l/o/g/Image%7ELogo_physics.svg_c46c.html" class="image" title="Icône du portail de la physique"><img alt="Icône du portail de la physique" src="../../../../images/shared/thumb/c/cc/Logo_physics.svg/24px-Logo_physics.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/p/h/y/Portail%7EPhysique_e73e.html" title="Portail:Physique">Portail de la physique</a></span></span></li>
</ul>
<!--
NewPP limit report
Preprocessor node count: 456/1000000
Post-expand include size: 6757/2048000 bytes
Template argument size: 1427/2048000 bytes
Expensive parser function count: 3/500
-->
<div class="printfooter">
</div>
<div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/p/h/y/Cat%C3%A9gorie%7EPhysique_math%C3%A9matique_51ea.html" title="Catégorie:Physique mathématique">Physique mathématique</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/p/h/y/Cat%C3%A9gorie%7EPhysique_statistique_8848.html" title="Catégorie:Physique statistique">Physique statistique</a></span></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/w/i/k/Cat%C3%A9gorie%7EWikip%C3%A9dia%7E%C3%A9bauche_physique_0ad1.html" title="Catégorie:Wikipédia:ébauche physique">Wikipédia:ébauche physique</a></span> | <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/a/r/t/Cat%C3%A9gorie%7EArticle_%C3%A0_traduire_7476.html" title="Catégorie:Article à traduire">Article à traduire</a></span></div></div></div> <!-- end content -->
<div class="visualClear"></div>
</div>
</div>
</div>
<div id="column-one">
<div id="p-cactions" class="portlet">
<h5>Views</h5>
<ul>
<li id="ca-nstab-main"
class="selected" ><a href="../../../../articles/b/i/l/Billard_de_Sinai_65ef.html">Article</a></li><li id="ca-talk"
><a href="../../../../articles/b/i/l/Discuter%7EBillard_de_Sinai_538f.html">Discussion</a></li><li id="ca-current"
><a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Billard_de_Sinai">Version actuelle</a></li> </ul>
</div>
<div class="portlet" id="p-logo">
<a style="background-image: url(../../../../misc/Wiki.png);"
href="../../../../index.html"
title="Accueil"></a>
</div>
<script type="text/javascript"> if (window.isMSIE55) fixalpha(); </script>
<div class='portlet' id='p-navigation'>
<h5>Navigation</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-mainpage"><a href="../../../../index.html">Accueil</a></li>
<li id="n-thema"><a href="../../../../articles/a/c/c/Portail%7EAccueil_bcc9.html">Portails thématiques</a></li>
<li id="n-alphindex"><a href="../../../../articles/t/o/u/Special%7EToutes_les_pages_fabc.html">Index alphabétique</a></li>
<li id="n-randompage"><a href="../../../../articles/p/a/g/Special%7EPage_au_hasard_9c81.html">Un article au hasard</a></li>
<li id="n-contact"><a href="../../../../articles/c/o/n/Wikip%C3%A9dia%7EContact_929e.html">Contacter Wikipédia</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class='portlet' id='p-Contribuer'>
<h5>Contribuer</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-help"><a href="../../../../articles/s/o/m/Aide%7ESommaire_c9f0.html">Aide</a></li>
<li id="n-portal"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_5272.html">Communauté</a></li>
<li id="n-recentchanges"><a href="../../../../articles/m/o/d/Special%7EModifications_r%C3%A9centes_b222.html">Modifications récentes</a></li>
<li id="n-aboutwp"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_des_nouveaux_arrivants_0784.html">Accueil des nouveaux arrivants</a></li>
<li id="n-sitesupport"><a href="http://meta.wikimedia.org/wiki/Faire_un_don:_explication">Faire un don</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="p-search" class="portlet">
<h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5>
<div id="searchBody" class="pBody">
<form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div>
<input id="searchInput" name="search" type="text"
accesskey="C" value="" />
<input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton"
value="Aller" />
</div></form>
</div>
</div>
</div><!-- end of the left (by default at least) column -->
<div class="visualClear"></div>
<div id="footer">
<div id="f-poweredbyico"><a href="http://www.mediawiki.org/"><img src="../../../../skins/common/images/poweredby_mediawiki_88x31.png" alt="Powered by MediaWiki" /></a></div> <div id="f-copyrightico"><a href="http://wikimediafoundation.org/"><img src="../../../../misc/wikimedia-button.png" border="0" alt="Wikimedia Foundation"/></a></div> <ul id="f-list">
<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 3 avril 2008 à 19:33 par Utilisateur <a href="../../../../articles/b/a/d/Utilisateur%7EBadmood_4dbf.html" title="Utilisateur:Badmood">Badmood</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/d/u/m/Utilisateur%7EDumZiBoT_1015.html" title="Utilisateur:DumZiBoT">DumZiBoT</a>, <a href="../../../../articles/m/m/b/Utilisateur%7EMMBot_510c.html" title="Utilisateur:MMBot">MMBot</a>, <a href="../../../../articles/c/h/i/Utilisateur%7EChicobot_8e22.html" title="Utilisateur:Chicobot">Chicobot</a>, <a href="../../../../articles/p/o/k/Utilisateur%7EPok148_a0be.html" title="Utilisateur:Pok148">Pok148</a>, <a href="../../../../articles/c/h/a/Utilisateur%7EChaoborus_2b04.html" title="Utilisateur:Chaoborus">Chaoborus</a> et <a href="../../../../articles/z/w/e/Utilisateur%7EZweistein_84c7.html" title="Utilisateur:Zweistein">Zweistein</a>.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
Wikipedia® est une marque déposée de la <a href="http://wikimediafoundation.org/wiki/Accueil" title="Wikimedia Foundation">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a class="internal" href="http://en.wikipedia.org/wiki/501(c)" title="501(c)">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br/></li> <li id="f-about"><a href="../../../../articles/%C3%A0/_/p/Wikip%C3%A9dia%7E%C3%80_propos_5de1.html" title="Wikipédia:À propos">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="f-disclaimer"><a href="../../../../articles/a/v/e/Wikip%C3%A9dia%7EAvertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux_fef1.html" title="Wikipédia:Avertissements généraux">Avertissements</a></li> </ul>
</div>
</div>
</body>
</html>