Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/b/i/j/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Bijection - Wikipédia</title>
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<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Bijection</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>Une <b>bijection</b> est une <i><a href="../../../../articles/a/p/p/Application_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Application (mathématiques)">application</a> bijective</i>. Une application est <b>bijective</b> si et seulement si tout élément de son <i><a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble_d%27arriv%C3%A9e.html" title="Ensemble d'arrivée">ensemble d'arrivée</a></i> a un et un seul <i><a href="../../../../articles/a/n/t/Ant%C3%A9c%C3%A9dent_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Antécédent (mathématiques)">antécédent</a></i>, c'est-à-dire est <i><a href="../../../../articles/i/m/a/Image_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Image (mathématiques)">image</a></i> d'exactement un élément de son <i><a href="../../../../articles/c/o/r/Correspondance_et_relation.html#D.C3.A9finition_formelle" title="Correspondance et relation">ensemble de départ</a></i>, ou encore si elle est <i><a href="../../../../articles/i/n/j/Injection_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Injection (mathématiques)">injective</a></i> et <i><a href="../../../../articles/s/u/r/Surjective.html" class="mw-redirect" title="Surjective">surjective</a></i>.</p>
<p>On peut remarquer que, dans cette définition, on n'impose pas de condition aux éléments de l'ensemble de départ. La définition de la <b>bijectivité</b> peut ainsi être étendue sans problème aux <i>fonctions</i> (et même aux <i><a href="../../../../articles/c/o/r/Correspondance_et_relation.html" title="Correspondance et relation">correspondances</a></i>), mais une <i>fonction bijective</i> n'est une <i>bijection</i> que si c'est une <i>application</i>, c'est-à-dire si elle est définie en tout point de son ensemble de départ.</p>
<p>De manière équivalente, une bijection est une <a href="../../../../articles/i/n/j/Injection_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Injection (mathématiques)">injection</a> surjective ou une <a href="../../../../articles/s/u/r/Surjection.html" title="Surjection">surjection</a> injective. Les bijections sont aussi appelées correspondances biunivoques.</p>
<p>Il est facile de montrer que l'existence d'une bijection entre deux ensembles <i><a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble_fini.html" title="Ensemble fini">finis</a></i> signifie qu'ils ont le même nombre d'éléments. L'extension de cette équivalence aux ensembles <i><a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble_infini.html" title="Ensemble infini">infinis</a></i> a mené au concept de <i><a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_cardinal.html" title="Nombre cardinal">cardinal</a></i> d’un ensemble, et à distinguer différentes tailles d’ensembles infinis. <a href="../../../../articles/g/e/o/Georg_Cantor_a504.html" title="Georg Cantor">Cantor</a> a le premier démontré que, s'il existe une injection de <i>X</i> vers <i>Y</i> et une injection de <i>Y</i> vers <i>X</i> (pas nécessairement la réciproque de la précédente!), alors il existe une bijection entre les deux ensembles (voir <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor-Bernstein_1f65.html" title="Théorème de Cantor-Bernstein">Théorème de Cantor-Bernstein</a>).</p>
<p><br /></p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#D.C3.A9finition_formelle"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Définition formelle</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Exemple_concret"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Exemple concret</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Exemples_et_contre-exemples"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Exemples et contre-exemples</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Propri.C3.A9t.C3.A9s"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Propriétés</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
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</script>
<p><a name="D.C3.A9finition_formelle" id="D.C3.A9finition_formelle"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Modifier la section : Définition formelle">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Définition formelle</span></h3>
<p>Soit <span class="texhtml"><i>f</i></span> une application de <span class="texhtml"><i>E</i></span> dans <span class="texhtml"><i>F</i></span>. <span class="texhtml"><i>f</i></span> est bijective si et seulement si tout élément de l'ensemble d'arrivée <span class="texhtml"><i>F</i></span> a exactement un antécédent par <span class="texhtml"><i>f</i></span> dans l'ensemble de départ <span class="texhtml"><i>E</i></span>, c'est-à-dire si :</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="\forall\ y \in F ,\ \exist!\ x \in E ,\ f ( x ) = y \," src="../../../../math/0/4/b/04b9aaf84d076c6ec5875aff8515910e.png" /></dd>
</dl>
<p><a name="Exemple_concret" id="Exemple_concret"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Modifier la section : Exemple concret">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemple concret</span></h3>
<p>Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).</p>
<ul>
<li>Les touristes souhaitent que l'application soit <b>injective</b>, c'est-à-dire que <i>chacun d'entre eux ait une chambre individuelle</i>. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.</li>
<li>L'hôtelier souhaite que l'application soit <b>surjective</b>, c'est-à-dire que <i>chaque chambre soit occupée</i>. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.</li>
<li>Ces desiderata sont incompatibles si le nombre de touristes est différent du nombre de chambres. Dans le cas contraire, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : on dira alors que l'application est à la fois injective et surjective ; elle est <i>bijective</i>.</li>
</ul>
<p><a href="../../../../articles/s/u/r/Image%7ESurjection_Injection_Bijection-fr.svg_f688.html" class="image" title="Image:Surjection Injection Bijection-fr.svg"><img alt="Image:Surjection Injection Bijection-fr.svg" src="../../../../images/shared/thumb/7/7b/Surjection_Injection_Bijection-fr.svg/700px-Surjection_Injection_Bijection-fr.svg.png" width="700" height="250" border="0" /></a></p>
<p><a name="Exemples_et_contre-exemples" id="Exemples_et_contre-exemples"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Modifier la section : Exemples et contre-exemples">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Exemples et contre-exemples</span></h3>
<p>Considérons la fonction <img class="tex" alt="f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R" src="../../../../math/9/1/7/917ed245db18c862138949e09539f183.png" /> définie par <var>f</var>(<var>x</var>) = 2<var>x</var> + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_r%C3%A9el.html" title="Nombre réel">nombre réel</a> arbitraire donné <var>y</var>, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l’équation <var>y</var> = 2<var>x</var> + 1 d’inconnue <var>x</var> à savoir <var>x</var> = (<var>y</var> − 1)/2.</p>
<p>D’un autre côté, la fonction <img class="tex" alt="g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R" src="../../../../math/a/4/7/a47268ebba98361718af59034161899f.png" /> définie par <var>g</var>(<var>x</var>) = <var>x</var><sup>2</sup> n’est <i>pas</i> bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) <var>g</var>(1) = 1 = <var>g</var>(−1), et donc <var>g</var> n’est pas injective; la seconde est qu’il n’y a (par exemple) aucun nombre réel <var>x</var> tel que <var>x</var><sup>2</sup> = −1, et donc <var>g</var> n’est pas surjective non plus.</p>
<p>L’une ou l’autre de ces constatations est suffisante pour montrer que <var>g</var> n’est pas bijective.</p>
<p>D’autre part, si nous définissons la fonction <img class="tex" alt="h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+" src="../../../../math/7/8/7/787f2d97369063ed405bb100c54feec7.png" /> par la même relation que <var>g</var>, mais avec les ensembles de définition et d’arrivée restreints à <img class="tex" alt="\mathbb R_+" src="../../../../math/a/f/b/afbbd1bb3676d3f66d189368b66e3c70.png" />, alors la fonction <var>h</var> <i>est</i> bijective.</p>
<p>L’explication est que, pour un nombre réel positif donné <var>y</var>, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l’équation <var>y</var> = <var>x</var><sup>2</sup> qui est <var>x</var> = √<var>y</var>.</p>
<p><a name="Propri.C3.A9t.C3.A9s" id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></a></p>
<h3><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Modifier la section : Propriétés">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Propriétés</span></h3>
<ul>
<li>Une fonction <img class="tex" alt="f:X\rightarrow Y\," src="../../../../math/7/f/0/7f021e274d96399e1a84f3f8604c5e26.png" /> est bijective si et seulement s’il existe une fonction <var>g</var>: <var>Y</var> → <var>X</var> telle que <img class="tex" alt="g\circ f" src="../../../../math/a/5/a/a5a0406f40aa56d878c3c55c0f019d58.png" /> soit l’<a href="../../../../articles/a/p/p/Application_identit%C3%A9.html" title="Application identité">application identité</a> sur <var>X</var> et <img class="tex" alt="f\circ g" src="../../../../math/9/d/d/9dd6c05179403906880d2c028164cea8.png" /> soit l’application identique sur <var>Y</var>. Les bijections sont précisément les <a href="../../../../articles/i/s/o/Isomorphisme.html" title="Isomorphisme">isomorphismes</a> dans la <a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories.html" title="Théorie des catégories">catégorie</a> des ensembles. Dans ce cas, <var>g</var> est déterminée de manière unique par <var>f</var> et nous appelons <var>g</var> l’<i><a href="../../../../articles/a/p/p/Application_r%C3%A9ciproque.html" title="Application réciproque">application réciproque</a></i> de <var>f</var> et nous écrivons <var>f</var><sup> −1</sup> = <var>g</var>. De plus, <var>g</var> est aussi une bijection, et la réciproque de <var>g</var> est <var>f</var> à nouveau.</li>
<li>Si <var>f</var> o <var>g</var> est bijective, alors <var>f</var> est surjective et <var>g</var> est injective.</li>
<li>Si <var>f</var> et <var>g</var> sont toutes deux bijectives, alors <var>f</var> o <var>g</var> est aussi bijective.</li>
<li>Si <var>X</var> est un ensemble, alors les fonctions bijectives de <var>X</var> sur lui-même, forment avec l’opération de composition des applications (<img class="tex" alt="\circ" src="../../../../math/1/0/c/10c3e97d2a3eda0d182b81d48f231b62.png" />), un <a href="../../../../articles/g/r/o/Groupe_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a>, le <i><a href="../../../../articles/g/r/o/Groupe_sym%C3%A9trique.html" title="Groupe symétrique">groupe des permutations</a></i> de <var>X</var>, qui est noté indifféremment S(<var>X</var>), <var>S</var><sub><var>X</var></sub>, <var>σ</var><sub><var>X</var></sub> ou σ(<var>X</var>).</li>
<li>Le nombre de bijections entre deux <a href="../../../../articles/e/n/s/Ensemble.html" title="Ensemble">ensembles</a> de <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_cardinal.html" title="Nombre cardinal">cardinal</a> <i>n</i> est <i>n</i> !</li>
<li>Lorsque <i>X</i> et <i>Y</i> sont tous les deux égaux à la <a href="../../../../articles/n/o/m/Nombre_r%C3%A9el.html" title="Nombre réel">droite réelle</a> <img class="tex" alt="\mathbb R" src="../../../../math/0/c/9/0c95a37acc94ef8c093ce39c36e07886.png" />, une fonction bijective <img class="tex" alt="f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R" src="../../../../math/9/1/7/917ed245db18c862138949e09539f183.png" /> a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point.</li>
</ul>
<p><br /></p>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/j/Bijection.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/s/u/r/Surjection.html" title="Surjection">Surjection</a></li>
<li><a href="../../../../articles/i/n/j/Injection_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Injection (mathématiques)">Injection</a></li>
<li><a href="../../../../articles/t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_bijection.html" title="Théorème de la bijection">Théorème de la bijection</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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