Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/b/i/s/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
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<title>Bissectrice - Wikipédia</title>
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<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Bissectrice</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:182px;"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBissectrice_angle.png_b602.html" class="image" title="Bissectrice d'un angle"><img alt="Bissectrice d'un angle" src="../../../../images/local/thumb/c/ca/Bissectrice_angle.png/180px-Bissectrice_angle.png" width="180" height="101" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBissectrice_angle.png_b602.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Bissectrice d'un angle</div>
</div>
</div>
<p>La <b>bissectrice</b> d'un <a href="../../../../articles/a/n/g/Angle.html" title="Angle">secteur angulaire</a> est la <a href="../../../../articles/d/e/m/Demi-droite.html" title="Demi-droite">demi-droite</a> issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'<a href="../../../../articles/s/y/m/Sym%C3%A9trie_%28transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique%29.html" title="Symétrie (transformation géométrique)">axe de symétrie</a> de cet angle.</p>
<table id="toc" class="toc" summary="Sommaire">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
<h2>Sommaire</h2>
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1"><a href="#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_la_bissectrice"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Théorème de la bissectrice</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Bissectrices_d.27un_ensembe_de_droites"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Bissectrices d'un ensembe de droites</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Bissectrices_d.27un_triangle"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Bissectrices d'un triangle</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Construction_g.C3.A9om.C3.A9trique"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Construction géométrique</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Bissectrices_du_plan"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Bissectrices du plan</span></a></li>
<li class="toclevel-1"><a href="#Voir_aussi"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Voir aussi</span></a></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
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</script>
<p><a name="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_la_bissectrice" id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_la_bissectrice"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/s/Bissectrice.html" title="Modifier la section : Théorème de la bissectrice">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Théorème de la bissectrice</span></h2>
<p>Soit un angle <img class="tex" alt="\widehat{xOy}\," src="../../../../math/3/0/2/3023921ff53baf1e47a67a1fa372dbe7.png" /> et sa bissectrice <img class="tex" alt="[Oz)\," src="../../../../math/f/a/c/faceb64dbc9b000d816e78b0748f61b5.png" />. Tout point <img class="tex" alt="A\," src="../../../../math/7/b/8/7b80ebccd4420d9579e7d488396b7f5c.png" /> de <img class="tex" alt="[Oz)\," src="../../../../math/f/a/c/faceb64dbc9b000d816e78b0748f61b5.png" /> vérifie :<br />
<img class="tex" alt="dist(A,[Ox))= dist(A,[Oy))\," src="../../../../math/d/3/6/d367a7d84576809465a4b1c51c1174b9.png" />.</p>
<p>C'est-à-dire que tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant à ses côtés.</p>
<div style="clear:both" class="NavFrame">
<div class="NavHead" align="center"><b>Démonstration</b></div>
<div class="NavContent" align="left">
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:402px;"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBissectrice_angle2.png_8f1a.html" class="image" title="Démonstration du théorème de la bissectrice"><img alt="Démonstration du théorème de la bissectrice" src="../../../../images/shared/6/60/Bissectrice_angle2.png" width="400" height="223" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">Démonstration du théorème de la bissectrice</div>
</div>
</div>
<blockquote>
<p>Soient <img class="tex" alt="B\," src="../../../../math/d/5/7/d5742827d055e40cd568fd71271f4681.png" /> et <img class="tex" alt="C\," src="../../../../math/7/6/1/761e195b5e8196bddef5841e9451e2a6.png" /> les projetés orthogonaux de <img class="tex" alt="A\," src="../../../../math/7/b/8/7b80ebccd4420d9579e7d488396b7f5c.png" /> respectivement sur <img class="tex" alt="[Ox)\," src="../../../../math/5/1/9/519fe4c09fa043727e3e11686147faf0.png" /> et sur <img class="tex" alt="[Oy)\," src="../../../../math/c/c/d/ccdd44c39b5fc9bddbfb0e9bb4a6ffe6.png" />. On sait que <img class="tex" alt="dist(A,[Ox))= AB\," src="../../../../math/6/a/8/6a8e826c9280a106c76f41dcc12df237.png" /> et <img class="tex" alt="dist(A,[Oy))= AC\," src="../../../../math/7/0/d/70dae60a8d1edfafa05c861e5a95a1ad.png" />. Les triangles <img class="tex" alt="OAB\," src="../../../../math/7/0/6/70687eef0edde88a35fc1486ec694bda.png" /> et <img class="tex" alt="OAC\," src="../../../../math/2/2/d/22de7e405307df166df8e79580f6ccd5.png" /> sont des triangles rectangles respectivement en <img class="tex" alt="B\," src="../../../../math/d/5/7/d5742827d055e40cd568fd71271f4681.png" /> et <img class="tex" alt="C\," src="../../../../math/7/6/1/761e195b5e8196bddef5841e9451e2a6.png" />. D'après les relations <a href="../../../../articles/t/r/i/Trigonom%C3%A9trie.html" title="Trigonométrie">trigonométriques</a> dans le <a href="../../../../articles/t/r/i/Triangle_rectangle.html" title="Triangle rectangle">triangle rectangle</a>, on en déduit que</p>
<center><img class="tex" alt="AB = OA \times \sin(\widehat{xOz})\," src="../../../../math/6/b/c/6bc990f069cb528630ea76a29405bacf.png" />    et     <img class="tex" alt="AC = OA \times \sin(\widehat{yOz})\," src="../../../../math/1/4/2/14219206c52c7d8b506f1fa31fa8dc67.png" /></center>
<p>Puisque <img class="tex" alt="[Oz)\," src="../../../../math/f/a/c/faceb64dbc9b000d816e78b0748f61b5.png" /> est la bissectrice de <img class="tex" alt="\widehat{xOy}\," src="../../../../math/3/0/2/3023921ff53baf1e47a67a1fa372dbe7.png" /> , on a <img class="tex" alt="\widehat{xOz} = \widehat{yOz}\," src="../../../../math/0/f/7/0f7da83ffbc7b4bbe0f362889cb9bb2c.png" />.</p>
<p>On en déduit que <img class="tex" alt="AB = AC\," src="../../../../math/7/3/4/734cacb8fc5cf62624a61d26070a9c30.png" /> d'où le théorème.</p>
</blockquote>
</div>
<div class="NavEnd"> </div>
</div>
<p><br /></p>
<p>Ce théorème peut également s'interpréter comme le fait que tout point de la bissectrice est le centre d'un cercle tangent simultanément aux deux droites. Réciproquement tout cercle tangent aux deux droites a son centre sur une des bissectrices.</p>
<p><br /></p>
<p><b>Remarque:</b> On peut également voir que la bissectrice est un axe de symétrie pour les deux droites séquentes (formant l'angle), ainsi la distance entre un point <span class="texhtml"><i>A</i></span> de la bissectrice et un point <span class="texhtml"><i>B</i></span> d'une des deux droite est égale à la distance entre le point <span class="texhtml"><i>A</i></span> et le et <span class="texhtml"><i>B</i>'</span> le symétrique du point <span class="texhtml"><i>B</i></span> par rapport à la bissectrice. Cette démonstration est accessible à une classe de quatrième et explique pourquoi il est possible de la tracer avec un compas...!</p>
<p><a name="Bissectrices_d.27un_ensembe_de_droites" id="Bissectrices_d.27un_ensembe_de_droites"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/s/Bissectrice.html" title="Modifier la section : Bissectrices d'un ensembe de droites">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bissectrices d'un <b>ensembe</b> de droites</span></h2>
<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width:182px;"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBissectrice_droites.png_8439.html" class="image" title="Les bissectrices (en rouge) de deux droites sont orthogonales entre elles."><img alt="Les bissectrices (en rouge) de deux droites sont orthogonales entre elles." src="../../../../images/local/thumb/c/cf/Bissectrice_droites.png/180px-Bissectrice_droites.png" width="180" height="145" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBissectrice_droites.png_8439.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Les bissectrices (en rouge) de deux droites sont orthogonales entre elles.</div>
</div>
</div>
<p>Les bissectrices d'un couple de <a href="../../../../articles/d/r/o/Droite_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Droite (mathématiques)">droites</a> sécantes sont par définition les bissectrices des secteurs angulaires définis par les deux droites. Ce sont deux droites perpendiculaires. Elles sont également les deux axes de symétrie de la figure formée par les deux droites.</p>
<p><a name="Bissectrices_d.27un_triangle" id="Bissectrices_d.27un_triangle"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/s/Bissectrice.html" title="Modifier la section : Bissectrices d'un triangle">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bissectrices d'un triangle</span></h2>
<p>On appelle bissectrices d'un <a href="../../../../articles/t/r/i/Triangle.html" title="Triangle">triangle</a> les trois bissectrices des trois angles de ce triangle.</p>
<p>Ces bissectrices sont concourantes. Leur point commun est le centre d'un cercle tangent aux 3 côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du <a href="../../../../articles/c/e/r/Cercles_inscrit_et_exinscrits_d%27un_triangle.html" title="Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle">cercle inscrit</a> dans le triangle.</p>
<p><u>Remarque</u>: Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.</p>
<div style="clear:both;"></div>
<p><a name="Construction_g.C3.A9om.C3.A9trique" id="Construction_g.C3.A9om.C3.A9trique"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/s/Bissectrice.html" title="Modifier la section : Construction géométrique">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Construction géométrique</span></h2>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:182px;"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBisection_construction.gif_633c.html" class="image" title="Animation montrant les étapes de la construction"><img alt="Animation montrant les étapes de la construction" src="../../../../images/shared/thumb/1/14/Bisection_construction.gif/180px-Bisection_construction.gif" width="180" height="180" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBisection_construction.gif_633c.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Animation montrant les étapes de la construction</div>
</div>
</div>
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:182px;"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBissectrice_construction.png_87ab.html" class="image" title="Construction de la bissectrice à la règle et au compas"><img alt="Construction de la bissectrice à la règle et au compas" src="../../../../images/local/thumb/6/66/Bissectrice_construction.png/180px-Bissectrice_construction.png" width="180" height="112" border="0" class="thumbimage" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify"><a href="../../../../articles/b/i/s/Image%7EBissectrice_construction.png_87ab.html" class="internal" title="Agrandir"><img src="../../../../skins/common/images/magnify-clip.png" width="15" height="11" alt="" /></a></div>
Construction de la bissectrice à la règle et au compas</div>
</div>
</div>
<p>Voici une méthode de <a href="../../../../articles/c/o/n/Construction_%C3%A0_la_r%C3%A8gle_et_au_compas.html" title="Construction à la règle et au compas">construction à la règle et au compas</a> de la bissectrice d'un angle.</p>
<ol>
<li>Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.</li>
<li>Pointer successivement le compas aux points d'intersection tracer deux arcs de cercle <i>de même rayon</i> (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.</li>
<li>Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles et vous avez tracé la bissectrice de l'angle.</li>
</ol>
<p>Il vous faut un compas et un crayon gris bien taillé</p>
<p><a name="Bissectrices_du_plan" id="Bissectrices_du_plan"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/s/Bissectrice.html" title="Modifier la section : Bissectrices du plan">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Bissectrices du plan</span></h2>
<p>Lorsque le plan est muni d'un <a href="../../../../articles/r/e/p/Rep%C3%A8re_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Repère (mathématiques)">repère</a> direct <img class="tex" alt="(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})" src="../../../../math/d/2/5/d2556e72e4d386754121c72f9ebbb8a9.png" />, on appelle</p>
<ul>
<li>première bissectrice du plan la bissectrice de l'angle orienté <img class="tex" alt="(\widehat{\vec{\imath}, \vec{\jmath}})" src="../../../../math/7/4/3/74329854919a4e3224d318f166b007a2.png" /> en <i>O</i> ;</li>
<li>deuxième bissectrice du plan la bissectrice de l'angle <img class="tex" alt="(\widehat{\vec{\imath}, -\vec{\jmath}})" src="../../../../math/4/a/d/4ad07360d5bfe478251b4b3956c9d185.png" /> en <i>O</i>.</li>
</ul>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/s/Bissectrice.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/t/r/i/Trissectrice.html" title="Trissectrice">Trissectrice</a></li>
<li><a href="../../../../articles/a/n/g/Angle.html" title="Angle">Angle</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
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