Server : Apache System : Linux webd348.cluster026.gra.hosting.ovh.net 5.15.148-ovh-vps-grsec-zfs-classid #1 SMP Thu Feb 8 09:41:04 UTC 2024 x86_64 User : hednacluml ( 122243) PHP Version : 8.3.9 Disable Function : _dyuweyrj4,_dyuweyrj4r,dl Directory : /home/hednacluml/encyclo/articles/b/i/n/ |
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="fr" lang="fr" dir="ltr">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<!-- headlinks removed -->
<link rel="shortcut icon" href="../../../../misc/favicon.ico"/>
<title>Binôme généralisé - Wikipédia</title>
<style type="text/css">/*<![CDATA[*/ @import "../../../../skins/offline/main.css"; /*]]>*/</style>
<link rel="stylesheet" type="text/css" media="print" href="../../../../skins/common/commonPrint.css" />
<!--[if lt IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE50Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 5.5000]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE55Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE 6]><style type="text/css">@import "../../../../skins/monobook/IE60Fixes.css";</style><![endif]-->
<!--[if IE]><script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/IEFixes.js"></script>
<meta http-equiv="imagetoolbar" content="no" /><![endif]-->
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/common/wikibits.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/md5.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/utf8.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../skins/offline/lookup.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../../../../raw/gen.js"></script> <style type="text/css">/*<![CDATA[*/
@import "../../../../raw/MediaWiki%7ECommon.css";
@import "../../../../raw/MediaWiki%7EMonobook.css";
@import "../../../../raw/gen.css";
/*]]>*/</style> </head>
<body
class="ns-0">
<div id="globalWrapper">
<div id="column-content">
<div id="content">
<a name="top" id="contentTop"></a>
<h1 class="firstHeading">Binôme généralisé</h1>
<div id="bodyContent">
<h3 id="siteSub">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</h3>
<div id="contentSub"></div>
<!-- start content -->
<p>La formule du <b>binôme généralisé</b> permet de développer une puissance réelle ou complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_%28math%C3%A9matiques%29.html" title="Série (mathématiques)">série</a> et généralise la <a href="../../../../articles/f/o/r/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton_f52e.html" title="Formule du binôme de Newton">formule du binôme de Newton</a>.</p>
<p>Nous avons pour tous réels ou complexes <i>r</i>, <i>x</i> et <i>y</i> (<i>y</i> ≠ 0) tels que |<i>x</i>/<i>y</i>|<1,</p>
<dl>
<dd><img class="tex" alt="(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}" src="../../../../math/a/f/4/af4632f68d9678f6369b42a07a05a02a.png" /></dd>
</dl>
<p>où <img class="tex" alt="{r \choose k}=\frac{r(r-1)(r-2)\ldots (r-k+1)}{k!}" src="../../../../math/9/2/e/92edf3dcecef3611a77e60016d37aacb.png" /> est un <a href="../../../../articles/c/o/e/Coefficient_binomial.html" title="Coefficient binomial">coefficient binomial</a>.</p>
<p>(qui dans le cas où <i>k</i> = 0 est un <a href="../../../../articles/p/r/o/Produit_vide.html" title="Produit vide">produit vide</a> et donc égal à 1, et dans le cas où <i>k</i> = 1 est égal à <i>r</i>, les facteurs supplémentaires ( r – 1), etc., ne figurant pas dans ce cas).</p>
<p>La série correspondante est convergente et l'égalité reste valable toutes les fois que les nombres réels ou complexes <i>x</i> et <i>y</i> sont dans un rapport de <a href="../../../../articles/m/o/d/Module_d%27un_nombre_complexe.html" title="Module d'un nombre complexe">module</a> strictement inférieur à 1.</p>
<p>La <a href="../../../../articles/s/%C3%A9/r/S%C3%A9rie_g%C3%A9om%C3%A9trique.html" title="Série géométrique">somme d'une série géométrique</a> est un cas particulier de la formule obtenu en prenant <i>y</i> = 1 et <i>r</i> = -1.</p>
<p>La formule reste également valable pour des éléments <i>x</i> et <i>y</i> d'une <a href="../../../../articles/a/l/g/Alg%C3%A8bre_de_Banach_1527.html" title="Algèbre de Banach">algèbre de Banach</a>, qui commutent (<i>xy</i> = <i>yx</i> ), tels que <i>y</i> soit inversible et ||<i>x</i>.y<sup>-1</sup>||< 1.</p>
<p><a name="Voir_aussi" id="Voir_aussi"></a></p>
<h2><span class="editsection">[<a href="../../../../articles/b/i/n/Bin%C3%B4me_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9.html" title="Modifier la section : Voir aussi">modifier</a>]</span> <span class="mw-headline">Voir aussi</span></h2>
<ul>
<li><a href="../../../../articles/f/o/r/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton_f52e.html" title="Formule du binôme de Newton">Formule du binôme de Newton</a></li>
<li><a href="../../../../articles/f/o/r/Formule_du_bin%C3%B4me_n%C3%A9gatif.html" title="Formule du binôme négatif">Formule du binôme négatif</a></li>
</ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail">
<li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><a href="../../../../articles/r/a/c/Image%7ERacine_carr%C3%A9e_bleue.svg_2864.html" class="image" title="Icône du portail des mathématiques"><img alt="Icône du portail des mathématiques" src="../../../../images/shared/thumb/1/1f/Racine_carrée_bleue.svg/24px-Racine_carrée_bleue.svg.png" width="24" height="24" border="0" /></a></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="../../../../articles/m/a/t/Portail%7EMath%C3%A9matiques_0c04.html" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span></span></li>
</ul>
<!--
NewPP limit report
Preprocessor node count: 48/1000000
Post-expand include size: 736/2048000 bytes
Template argument size: 100/2048000 bytes
Expensive parser function count: 0/500
-->
<div class="printfooter">
</div>
<div id="catlinks"><div id='catlinks' class='catlinks'><div id="mw-normal-catlinks"><a href="../../../../articles/a/c/c/Cat%C3%A9gorie%7EAccueil_1aae.html" title="Catégorie:Accueil">Catégorie</a> : <span dir='ltr'><a href="../../../../articles/a/n/a/Cat%C3%A9gorie%7EAnalyse_combinatoire_9312.html" title="Catégorie:Analyse combinatoire">Analyse combinatoire</a></span></div></div></div> <!-- end content -->
<div class="visualClear"></div>
</div>
</div>
</div>
<div id="column-one">
<div id="p-cactions" class="portlet">
<h5>Views</h5>
<ul>
<li id="ca-nstab-main"
class="selected" ><a href="../../../../articles/b/i/n/Bin%C3%B4me_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9.html">Article</a></li><li id="ca-talk"
><a href="../../../../articles/b/i/n/Discuter%7EBin%C3%B4me_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9_5528.html">Discussion</a></li><li id="ca-current"
><a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%B4me_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9">Version actuelle</a></li> </ul>
</div>
<div class="portlet" id="p-logo">
<a style="background-image: url(../../../../misc/Wiki.png);"
href="../../../../index.html"
title="Accueil"></a>
</div>
<script type="text/javascript"> if (window.isMSIE55) fixalpha(); </script>
<div class='portlet' id='p-navigation'>
<h5>Navigation</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-mainpage"><a href="../../../../index.html">Accueil</a></li>
<li id="n-thema"><a href="../../../../articles/a/c/c/Portail%7EAccueil_bcc9.html">Portails thématiques</a></li>
<li id="n-alphindex"><a href="../../../../articles/t/o/u/Special%7EToutes_les_pages_fabc.html">Index alphabétique</a></li>
<li id="n-randompage"><a href="../../../../articles/p/a/g/Special%7EPage_au_hasard_9c81.html">Un article au hasard</a></li>
<li id="n-contact"><a href="../../../../articles/c/o/n/Wikip%C3%A9dia%7EContact_929e.html">Contacter Wikipédia</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div class='portlet' id='p-Contribuer'>
<h5>Contribuer</h5>
<div class='pBody'>
<ul>
<li id="n-help"><a href="../../../../articles/s/o/m/Aide%7ESommaire_c9f0.html">Aide</a></li>
<li id="n-portal"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_5272.html">Communauté</a></li>
<li id="n-recentchanges"><a href="../../../../articles/m/o/d/Special%7EModifications_r%C3%A9centes_b222.html">Modifications récentes</a></li>
<li id="n-aboutwp"><a href="../../../../articles/a/c/c/Wikip%C3%A9dia%7EAccueil_des_nouveaux_arrivants_0784.html">Accueil des nouveaux arrivants</a></li>
<li id="n-sitesupport"><a href="http://meta.wikimedia.org/wiki/Faire_un_don:_explication">Faire un don</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="p-search" class="portlet">
<h5><label for="searchInput">Rechercher</label></h5>
<div id="searchBody" class="pBody">
<form action="javascript:goToStatic(3)" id="searchform"><div>
<input id="searchInput" name="search" type="text"
accesskey="C" value="" />
<input type='submit' name="go" class="searchButton" id="searchGoButton"
value="Aller" />
</div></form>
</div>
</div>
<div id="p-lang" class="portlet">
<h5>Autres langues</h5>
<div class="pBody">
<ul>
<li>
<a href="../../../../../de/articles/b/i/n/Binomischer_Lehrsatz_eb81.html">Deutsch</a>
</li>
<li>
<a href="../../../../../en/articles/b/i/n/Binomial_theorem.html">English</a>
</li>
<li>
<a href="../../../../../es/articles/t/e/o/Teorema_del_binomio.html">Español</a>
</li>
<li>
<a href="../../../../../ja/articles/%E4%BA%8C/%E9%A0%85/%E5%AE%9A/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86.html">日本語</a>
</li>
</ul>
</div>
</div>
</div><!-- end of the left (by default at least) column -->
<div class="visualClear"></div>
<div id="footer">
<div id="f-poweredbyico"><a href="http://www.mediawiki.org/"><img src="../../../../skins/common/images/poweredby_mediawiki_88x31.png" alt="Powered by MediaWiki" /></a></div> <div id="f-copyrightico"><a href="http://wikimediafoundation.org/"><img src="../../../../misc/wikimedia-button.png" border="0" alt="Wikimedia Foundation"/></a></div> <ul id="f-list">
<li id="f-credits">Cette page a été modifiée pour la dernière fois le 25 décembre 2006 à 01:04 par Utilisateur <a href="../../../../articles/j/i/m/Utilisateur%7EJim2k_ba56.html" title="Utilisateur:Jim2k">Jim2k</a>. Basé sur le travail de Utilisateur(s) <a href="../../../../articles/s/h/e/Utilisateur%7ESherbrooke_9f52.html" title="Utilisateur:Sherbrooke">Sherbrooke</a>, <a href="../../../../articles/b/a/d/Utilisateur%7EBadmood_4dbf.html" title="Utilisateur:Badmood">Badmood</a>, <a href="../../../../articles/x/a/v/Utilisateur%7EXavier_Combelle_ca90.html" title="Utilisateur:Xavier Combelle">Xavier Combelle</a>, <a href="../../../../articles/t/h/e/Utilisateur%7ETheon_db92.html" title="Utilisateur:Theon">Theon</a>, <a href="../../../../articles/b/r/i/Utilisateur%7EBriling_ce0e.html" title="Utilisateur:Briling">Briling</a>, <a href="../../../../articles/m/e/d/Utilisateur%7EMedBot_8f10.html" title="Utilisateur:MedBot">MedBot</a>, <a href="../../../../articles/o/r/t/Utilisateur%7EOrthogaffe_792d.html" title="Utilisateur:Orthogaffe">Orthogaffe</a>, <a href="../../../../articles/c/l/a/Utilisateur%7EClatourre_09c9.html" title="Utilisateur:Clatourre">Clatourre</a> et <a href="../../../../articles/c/o/l/Utilisateur%7ECOLETTE_3dea.html" title="Utilisateur:COLETTE">COLETTE</a>.</li> <li id="f-copyright"><span style="white-space:normal"><a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Droit_d'auteur" title="Droit d'auteur">Droit d'auteur</a> : Tous les textes sont disponibles sous les termes de la <a class="internal" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Licence_de_documentation_libre_GNU" title="GFDL">licence de documentation libre GNU</a> (GFDL).<br/>
Wikipedia® est une marque déposée de la <a href="http://wikimediafoundation.org/wiki/Accueil" title="Wikimedia Foundation">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a class="internal" href="http://en.wikipedia.org/wiki/501(c)" title="501(c)">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br/></li> <li id="f-about"><a href="../../../../articles/%C3%A0/_/p/Wikip%C3%A9dia%7E%C3%80_propos_5de1.html" title="Wikipédia:À propos">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="f-disclaimer"><a href="../../../../articles/a/v/e/Wikip%C3%A9dia%7EAvertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux_fef1.html" title="Wikipédia:Avertissements généraux">Avertissements</a></li> </ul>
</div>
</div>
</body>
</html>